第二节 两个简谐振动的合成
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2、简谐振动的合成
A A1 A2
x
x1 A1 cos t x2 A2 cos(ωt π ) x x ( A2 A1 ) cos(ωt π)
o 2
A 2
A1
o
T
t
A
1) 相位相同 φ2 φ1 或 Δφ φ2 φ1 0
A A1 A2
相互加强
x A cos( t 1 ) A cos( t 2 ) 2) 相位相反 Δφ φ2 φ1 π
此结论对讨论各种波的干射、衍射极为有用。
二、 两个同方向不同频率简谐振动的合成 x1 A1 cos 1t A1 cos 2 π 1t
x2 A2 cos 2t A2 cos 2 π 2t
讨论 A1 A2 ,
x x1 x2
2 1 1 2 的情况
x y 2 1 2 A1 A2
π y A2 cos( t ) 2 0 质点沿顺时针方向运动
2 2
y
A1
A2
o
x
A2 y
x A1 cos t
o
A1
x
2 质点沿逆时针方向运动
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
两 相 互 简 垂 振 直 动 同 的 频 合 率、 成 不 图 同 相 位
1 1 可见 π ( 2 1 )T拍 ∴ T拍 2 1 拍
拍 2 1
拍频（振幅变化的频率）
注意:书上的拍频写成，此处的拍频写成拍
2 1 1 2
( 1 2 ) / 2 1 2 , 1 2
(C)
3k / m /( 2π )
8.5 简谐运动的合成
4 sin 0 + 2 sin π / 3 3 = = 41 cos 01 + 22 cos π / 3 5
= 0.33
合振动方程
x = 2 7 cos(3t + 0.33)
(2)多个同方向、 (2)多个同方向、同频率简谐振动合成 多个同方向
x1 = A1 cos(ωt + 1 ) x 2 = A2 cos(ωt + 2 )
两个同方向但频率有微小差异的简谐振动的合成？ 两个同方向但频率有微小差异的简谐振动的合成？ 比较大； 两简谐振动的频率ν1、ν2都比较大； 两谐振动的频率相差比较小: 两谐振动的频率相差比较小: ν 1
x1 = A cos(ω1t + ) x2 = A cos(ω 2 t + )
≈ ν2
为计算方便，设两振动的振幅和初相位均相同。 为计算方便，设两振动的振幅和初相位均相同。
利用旋转矢量法（向量图法）求合振动？ 利用旋转矢量法（向量图法）求合振动？
A=
A + A + 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
A1 sin 1 + A2 sin 2 tg = A1 cos 1 + A2 cos 2
ω
A
两个同 方向同 两个 同 方向 同 频率简 谐振动合成 后仍为简谐 合成后仍为 简谐振 谐振动 合成 后仍为 简谐 振 角频率不变。 动，角频率不变。
n1 = δ 2
(3) 沿同一直线、不同频率简谐振动的合成 沿同一直线、 一般言之， 一般言之，不同频率的简谐振动的叠加将形成较 复杂性的振动。 复杂性的振动。
x
x = x1 + x2
x1
x2
t
= 0.33
合振动方程
x = 2 7 cos(3t + 0.33)
(2)多个同方向、 (2)多个同方向、同频率简谐振动合成 多个同方向
x1 = A1 cos(ωt + 1 ) x 2 = A2 cos(ωt + 2 )
两个同方向但频率有微小差异的简谐振动的合成？ 两个同方向但频率有微小差异的简谐振动的合成？ 比较大； 两简谐振动的频率ν1、ν2都比较大； 两谐振动的频率相差比较小: 两谐振动的频率相差比较小: ν 1
x1 = A cos(ω1t + ) x2 = A cos(ω 2 t + )
≈ ν2
为计算方便，设两振动的振幅和初相位均相同。 为计算方便，设两振动的振幅和初相位均相同。
利用旋转矢量法（向量图法）求合振动？ 利用旋转矢量法（向量图法）求合振动？
A=
A + A + 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
A1 sin 1 + A2 sin 2 tg = A1 cos 1 + A2 cos 2
ω
A
两个同 方向同 两个 同 方向 同 频率简 谐振动合成 后仍为简谐 合成后仍为 简谐振 谐振动 合成 后仍为 简谐 振 角频率不变。 动，角频率不变。
n1 = δ 2
(3) 沿同一直线、不同频率简谐振动的合成 沿同一直线、 一般言之， 一般言之，不同频率的简谐振动的叠加将形成较 复杂性的振动。 复杂性的振动。
x
x = x1 + x2
x1
x2
t
§3.3 简谐振动的合成
2 1 2 2
x
x
o ϕ2
ω A2
A1
A = A1 − A2 ϕ = ϕ2
o
T
t
A
相位差
ϕ 2 − ϕ1 = 2 k π
A = A1 + A2
ϕ 2 − ϕ1 = (2k + 1)π
A = A1 − A2
当A1=A2 时，A=0
(k = 0 ， 1， ) ± L
相互加强
相位差
(k = 0 ， 1， ) ± L
A1
在任一时刻离开坐标原点位移为： 在任一时刻离开坐标原点位移为： (2) ϕ 2 − ϕ1 = π 两个分运动反相位， 两个分运动反相位， 得
A2 y= x A1
y A2
o
A1
x
(3) φ2−φ1=π/2，得
x y + 2=1 2 A1 A2
2
2
这是坐标轴为主轴的椭圆，质 这是坐标轴为主轴的椭圆， 点的轨迹是顺时针旋转。 点的轨迹是顺时针旋转。 (4) φ2−φ1=3π/2，仍然得
三、相互垂直的简谐振动的合成 1. 频率相同
若质点同时参与两个同频率的相互垂直的分运 动，其位移表达式分别为
x = A1 cos(ωt + ϕ1 ) y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
消去时间参数， 消去时间参数，得
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
x = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) y = A2 cos(ω 2t + ϕ 2 )
李 萨 如 图
ϕ1 = 0
π π 3π π ϕ 2 = 0, , , , 8 4 8 2
x
x
o ϕ2
ω A2
A1
A = A1 − A2 ϕ = ϕ2
o
T
t
A
相位差
ϕ 2 − ϕ1 = 2 k π
A = A1 + A2
ϕ 2 − ϕ1 = (2k + 1)π
A = A1 − A2
当A1=A2 时，A=0
(k = 0 ， 1， ) ± L
相互加强
相位差
(k = 0 ， 1， ) ± L
A1
在任一时刻离开坐标原点位移为： 在任一时刻离开坐标原点位移为： (2) ϕ 2 − ϕ1 = π 两个分运动反相位， 两个分运动反相位， 得
A2 y= x A1
y A2
o
A1
x
(3) φ2−φ1=π/2，得
x y + 2=1 2 A1 A2
2
2
这是坐标轴为主轴的椭圆，质 这是坐标轴为主轴的椭圆， 点的轨迹是顺时针旋转。 点的轨迹是顺时针旋转。 (4) φ2−φ1=3π/2，仍然得
三、相互垂直的简谐振动的合成 1. 频率相同
若质点同时参与两个同频率的相互垂直的分运 动，其位移表达式分别为
x = A1 cos(ωt + ϕ1 ) y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
消去时间参数， 消去时间参数，得
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
x = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) y = A2 cos(ω 2t + ϕ 2 )
李 萨 如 图
ϕ1 = 0
π π 3π π ϕ 2 = 0, , , , 8 4 8 2
第2节_简谐振动的合成
2
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个 简谐振动，且频率不变。 简谐振动，且频率不变。 由
若 A1 = A2 , A = 2A1
= A1 + A2
合振动振幅最大。 合振动振幅最大。
（ ） 2.当 ∆ϕ=ϕ2 −ϕ1 = 2k +1 π ( k = 0,±1,±2,⋯) 时, 当
2 2 A = A1 + A2 + 2A1A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A2
=| A1 − A2 |
A
A2 A1
2 2
ϕ 2 − ϕ1 = π / 2
2 2
x y + =1 A1 A2
•当 当
16
A1 = A2 ,
x +y =A
2
为圆方程
2.
∆ϕ = π / 2
y
8
1 2
y
7 6 5
4
7 6 5
4
8
1 2 2 1
x
3
3
4
播 放 动 画
17
3
5 6 7
x
8
4.
3π (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2
9
由于余弦函数绝对值的周期为π。 ω 2 − ω1 t ) 的频率的两倍。 所以， 的频率的两倍。 所以，拍频是振动 cos( 2 即拍频为： 即拍频为：
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个 简谐振动，且频率不变。 简谐振动，且频率不变。 由
若 A1 = A2 , A = 2A1
= A1 + A2
合振动振幅最大。 合振动振幅最大。
（ ） 2.当 ∆ϕ=ϕ2 −ϕ1 = 2k +1 π ( k = 0,±1,±2,⋯) 时, 当
2 2 A = A1 + A2 + 2A1A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A2
=| A1 − A2 |
A
A2 A1
2 2
ϕ 2 − ϕ1 = π / 2
2 2
x y + =1 A1 A2
•当 当
16
A1 = A2 ,
x +y =A
2
为圆方程
2.
∆ϕ = π / 2
y
8
1 2
y
7 6 5
4
7 6 5
4
8
1 2 2 1
x
3
3
4
播 放 动 画
17
3
5 6 7
x
8
4.
3π (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2
9
由于余弦函数绝对值的周期为π。 ω 2 − ω1 t ) 的频率的两倍。 所以， 的频率的两倍。 所以，拍频是振动 cos( 2 即拍频为： 即拍频为：
大学物理教程3.2 简谐振动的合成
Ay tg = A x
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
3. 两种特殊情况
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 - 1 )
(1)若两分振动同相
2- 1=0（2k，k=0,1,2,…）
x =A cos( t+ )
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
x =A cos( t+ )
由图知：
Ax = A1cos1 + A2cos2 Ay = A1sin1 + A2sin2 由： A2 = Ax2 + Ay2
y Ay
A A2
o
1
A1 A
x
2
x
2 2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 - 1 )
x1 4 cos 3t cm x2 2 cos(3t π) cm
求合成振动的振幅、初相位和振动表达式。
解 这两个谐振动的频率相同 3rad s ，振动方向相 同。所以它们的合成振动仍然是在x方向的、具有相同频 率的简谐振动。
-1
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
由于这两个振动反相，因此在旋转矢量图上，振幅矢 量 A1 和 A2 的方向始终相反，而合矢量 A 沿 A1 方向。
A 的模，即合成振动振幅为
A (4 - 2) 2
合振动的初相
1 0
x 2cos 3t cm
合振动的表达式为
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
二 同方向不同频率的简谐振动的合成 拍
§4-2 简谐振动的合成 (2)
§4-2 简谐振动的合成
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的谐振动 x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) 合振动
x x1 x2 A1 cos(t 1 ) A2 cos(t 2 )
x A cos(t ) （仍为同频率谐振动）
A A1 A2
A
合振幅最大，振动加强
2.
A 1
A2
2 1 (2k 1)π k 0,1,2,
A A1 A2
A2
合振幅减小，振动减弱
3.
A
A1
A2 A A1
2
一般情况下为任意值
2 1 π
A1 A2 A A1 A2
而是一种复杂振动
矢量图解法（如图） 由矢量图得合振动的振幅为
ω2
A
A2 ω 1 A 1
A
OБайду номын сангаас
x
A2
ω2
A A12 A2 2 2 A1 A2 cos[( 2 1 )t ( 2 1 )]
3
由上式可见，由于两个分振动频率的微小差异
而产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象。
合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。 拍频为 三角函数法 设两个简谐振动的振幅和初相位相同
x1 A cos(1t )
2 1
x2 A cos(2t )
合振动为 x x1 x2 A cos(1t ) A cos( 2t )
-A O
-B A y -A O -A
A
x
合振动沿顺时针方向进行；
β = /2 时，
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的谐振动 x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) 合振动
x x1 x2 A1 cos(t 1 ) A2 cos(t 2 )
x A cos(t ) （仍为同频率谐振动）
A A1 A2
A
合振幅最大，振动加强
2.
A 1
A2
2 1 (2k 1)π k 0,1,2,
A A1 A2
A2
合振幅减小，振动减弱
3.
A
A1
A2 A A1
2
一般情况下为任意值
2 1 π
A1 A2 A A1 A2
而是一种复杂振动
矢量图解法（如图） 由矢量图得合振动的振幅为
ω2
A
A2 ω 1 A 1
A
OБайду номын сангаас
x
A2
ω2
A A12 A2 2 2 A1 A2 cos[( 2 1 )t ( 2 1 )]
3
由上式可见，由于两个分振动频率的微小差异
而产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象。
合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。 拍频为 三角函数法 设两个简谐振动的振幅和初相位相同
x1 A cos(1t )
2 1
x2 A cos(2t )
合振动为 x x1 x2 A cos(1t ) A cos( 2t )
-A O
-B A y -A O -A
A
x
合振动沿顺时针方向进行；
β = /2 时，
§11-4相互垂直的简谐振动的合成
x
20 10 π 2
20 10 π 2
合振动运动轨迹为园
二、两个频率不同的相互垂直的简谐振动的合成
两个频率不同的相互垂直的简谐振动合成之后运动轨迹 随时间变化，不是稳定曲线。
1.频率相差很小，合运动轨迹缓慢变化。
2.频率相差较大，数值有简单的整数比值关系时，运动轨迹
为闭合曲线，称为李萨如图形。
y A2 x A1
合振动运动轨迹为直线
2、 20 10 π
y A2 x A1
合振动运动轨迹为直线
y
A2
A1 x
y
x A2
o A1
3、20 10 π 2
x2 A12
y2 A22
1
合振动运动轨迹为正椭圆
4、 两个简谐振动振幅相同时 y
A2 y
o A1 x
y
x
10 )
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
椭圆的形状由两个振动的初相位差 20 决1定0
用旋转矢量描绘振动合成动画
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
当初相位差不同时两个沿垂直方向的同频简谐振动的合成
或
讨论几种特殊情形 1、20 10 0 或 2 π
如图所示，图中所描绘的是
yA
x :y=3:2， 2 0= 0， 10 = /4 时的
李萨如图形。
图形与y轴切点数 图形与x轴切点数
-A2
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x 3 nx y 2
1
x
o
A2
- A1
不同频率比不同初相位差的李萨如图
在电子技术中常用李萨如图测定未知频率
完
第二篇
简谐振动简谐振动的合成课件
1、细线质量不计
约 定 2、 50 sin
0
3、阻力不计
M m glsin m gl 质点 m 受力如图重力矩： 波动：振动的传播（振动状态的传播）
弹性介质:是指由弹性力组合的连续介质。
二、超声波与次声波及其生物效应
相互垂直的简谐振动的合成
l 根据质点的动量距定理 （2）t =T/4 时，质点的位置、速度、加速度；
• •代数方法：设两个振动具有相同频率，
同一直线上运动，有不同的振幅和初相位
x1(t) A1 cos(t 1)
的仍 简然
x2(t) A2 cos(t 2)
x(t) x1(t) x2(t)
谐是 振同 动频
( A1 cos1 A2 cos2 ) cost。 率
( A1 sin1 A2 sin2 ) sint
质量可忽略的弹簧，一端固定，一端系一有质量的物体，称此系统为弹簧振子。
Ep
xA
X
波传播一个波长的距离所需时间
0
317.
13
1440
（2）波谷经过原点的时刻
（3）第一次通过平衡位置的时刻。
E
与地球、海洋及大气的大规模运动有关。
0
331.
E p Ek
t
x
胡玉才：e-mail
五、阻尼振动 受迫振动 共振
用李萨如图形 在无线电技术 中可以测量频 率：
Tx :Ty 1: 2
在示波器上，垂直方向与水平方向同时 输入两个振动，已知其中一个频率，则 可根据所成图形与已知标准的李萨如图 形去比较，就可得知另一个未知的频率。
0
几幅典型的利萨如图形
1:2
1:3
2:3
2
x :y 2 :1 2
大学物理-14 简谐振动的合成
1 2
2
Δ 1 2
则
2 A0
cos 1
2
2
t
较
cos 1 2 t
2
随时间变化缓慢得多，
将合成式写成谐振动形式 x A(t)cos t
合振动的振幅
A(t )
2 A0
cos 1
2
2
t
合振动可看做是振幅缓慢、周期变化的谐振动
x
[2
A0
cos
1
2
2
t ]cos
1
2
2
t
1
1
2π
2
2
/22））cos(
t
N 2
1
)
(1) 如果各分振动的初相相同，即 0，则有
sin N
A
A lim a
0
2
sin
Na
o
A1
A2
A3 A4
A5
x
0
2 合振幅最大 同相 A Na
(2) N 2kπ
A4
A3
(k' 1,2,, 但k' kN ) A5
A2
A0
O
A6
A1
x
二、振动方向相同、频率略有差别、振幅相等
（同频率或不同频率）
消去参数 t ，得合运动的轨迹方程： 椭圆方程
x2 A12
y2 A22
2
x A1
y A2
cos(
2
1 ) sin2 (2
1)
一般而言，合振动轨迹为椭圆。椭圆的性质
（方位、长短轴、左右旋）在 A1、A2确定之
后，主要取决于相位差 Δ 2 1
x2 A12
y2 A22
简谐振动的合成
8
合成振动表达式：
x(t ) A cos(1t ) A cos( 2 t )
( 2 1 t ） ( 2 1 )t 2 A cos cos[ ] 2 2
当 1与 2 都很大，且相差甚微时，可将 | 2 A cos( 2 1 )t / 2 |视为振幅变化部分， 合成振动是以 ( 2 1 ) / 2 为角频率的谐振动。
17
2 1 0
2 1
4
2 1
2
3 2 1 4
5 4
3 2
7 4
18
2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，
合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有 周期。这种运动轨迹的图形 称为李萨如图形。 用李萨如图形 在无线电技术 中可以测量频 率：
4
上面得到：
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
讨论一：
A1 sin 1 A2 sin 2 arctg A1 cos1 A2 cos 2
k 0,1,2,
合振幅最大。
2 1 2k
A A1 A2
当 A1 A2 称为干涉相长。
2
2 2 0 x 0 令k m 0 x 2 T 0 x(t ) A cos( 0 t 0 )
g 0 g mgl sin 0 2 l l I 为m绕O点转动的转动惯量 O mgh sin I mgh 2 C 0 mgh 0 I I 简谐振动的能量 * 任一简谐振动总能量 mg
x2 y2 2 xy 2 2 cos sin 2 A1 A2 A1 A2
上式是个椭圆方程，具体形状由 ( 20 10 )相位差决定。 质点的运动方向与 有关。当 0 时， 质点沿顺时针方向运动；当 2 时， 质点沿逆时针方向运动。 当 A1 A2 时，正椭圆退化为圆。
合成振动表达式：
x(t ) A cos(1t ) A cos( 2 t )
( 2 1 t ） ( 2 1 )t 2 A cos cos[ ] 2 2
当 1与 2 都很大，且相差甚微时，可将 | 2 A cos( 2 1 )t / 2 |视为振幅变化部分， 合成振动是以 ( 2 1 ) / 2 为角频率的谐振动。
17
2 1 0
2 1
4
2 1
2
3 2 1 4
5 4
3 2
7 4
18
2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，
合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有 周期。这种运动轨迹的图形 称为李萨如图形。 用李萨如图形 在无线电技术 中可以测量频 率：
4
上面得到：
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
讨论一：
A1 sin 1 A2 sin 2 arctg A1 cos1 A2 cos 2
k 0,1,2,
合振幅最大。
2 1 2k
A A1 A2
当 A1 A2 称为干涉相长。
2
2 2 0 x 0 令k m 0 x 2 T 0 x(t ) A cos( 0 t 0 )
g 0 g mgl sin 0 2 l l I 为m绕O点转动的转动惯量 O mgh sin I mgh 2 C 0 mgh 0 I I 简谐振动的能量 * 任一简谐振动总能量 mg
x2 y2 2 xy 2 2 cos sin 2 A1 A2 A1 A2
上式是个椭圆方程，具体形状由 ( 20 10 )相位差决定。 质点的运动方向与 有关。当 0 时， 质点沿顺时针方向运动；当 2 时， 质点沿逆时针方向运动。 当 A1 A2 时，正椭圆退化为圆。
简谐振动的合成
(A1 sin1 A2 sin2 )sint
合振幅
令： A1 cos1 A2 cos2 Acos 代入上式：
A1 sin1 A2 sin2 Asin
2
x ( A1 cos1 A2 cos2)cost (A1 sin1 A2 sin2 )sint
Acos cost Asin sint Acos(t ) x Acos(t )
x1(t) a cost
M aN
x2 (t) a cos(t ) x3(t) a cos(t 2 )
C
R N
A
a3
xN (t) a cos[t (N 1) ]O a1 P
在COM中：A 2R sin(N / 2)
上两式相除得：
在OCP中： a 2Rsin( / 2)
7
A a sin(N / 2) sin / 2
若 A1 A2, A 2A1
2.当 2 1 （2k 1） (k 0,1,2, ) 时,
A
A12
A
2 2
2 A1
A2
cos(
2
1
)
| A1 A2 | 合振动振幅最小。
若 A1 A2, A 0
A2
3.一般情况 | A1 A2 | A | A1 A2 |
5
A A2 A1
A2 A A1 A A1
第二节
简谐振动的合成
1
一、同方向同频率简谐振动的合成
在同一直线上同频率的两个简谐振
动分别为：
x1 A1 cos(t 1),
x2 A2 cos( t 2 )
• 代数方法： 振动合成
x x1 x2 A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2) cost
《大学物理》同方向的简谐振动的合成
同方向的简谐振动的合成
§10-5 同方向的简谐振动的合成
1.同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与沿同一方向的两个独立的 同频率的简谐振动，两个简谐振动的频率为 ω，
振动方向为 X 轴方向，以 x1和 x2 分别代表同一
个质点的两个运动位移：
x1 A1 cos(t 10) x2 A2 cos(t 20)
解：已知 A = 20 cm
A1 = 17.3 cm A2 =[A2 +A12 -2AA1cos( - １)]1/2
= 10 cm
o
A
A2
１ A1 x
∵A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos ( 1 - 2 ) ∴ cos (1 - 2 ) = [A2 - A12 - A22] / 2A1A2
同相迭加，合振幅最大。
(2)当D 2010(2k+1) (k=0及 正负整数), cos(20-10)=0, 有
O
A1
A A1 A2 A A1 A2
A2
O
X
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。
(3)通常情况下，合振幅介于 和
之间。
A1 A2 A1 A2
补例1两个同方向同频率的简谐振动，其合 振动的振幅为 20 cm，与第一个简谐振动的 相位差为 - １= π/6，若第一个简谐动的振 幅为 17.3 cm，试求： 1、第二个简谐振动的振幅 A2 2、第一、二两个简谐振动的相位差 1 - 2
旋转矢量图示法
矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
A1
10
X
O
x2
x x1
A
同方向同频率的两个简谐振动的合成
§10-5 同方向的简谐振动的合成
1.同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与沿同一方向的两个独立的 同频率的简谐振动，两个简谐振动的频率为 ω，
振动方向为 X 轴方向，以 x1和 x2 分别代表同一
个质点的两个运动位移：
x1 A1 cos(t 10) x2 A2 cos(t 20)
解：已知 A = 20 cm
A1 = 17.3 cm A2 =[A2 +A12 -2AA1cos( - １)]1/2
= 10 cm
o
A
A2
１ A1 x
∵A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos ( 1 - 2 ) ∴ cos (1 - 2 ) = [A2 - A12 - A22] / 2A1A2
同相迭加，合振幅最大。
(2)当D 2010(2k+1) (k=0及 正负整数), cos(20-10)=0, 有
O
A1
A A1 A2 A A1 A2
A2
O
X
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。
(3)通常情况下，合振幅介于 和
之间。
A1 A2 A1 A2
补例1两个同方向同频率的简谐振动，其合 振动的振幅为 20 cm，与第一个简谐振动的 相位差为 - １= π/6，若第一个简谐动的振 幅为 17.3 cm，试求： 1、第二个简谐振动的振幅 A2 2、第一、二两个简谐振动的相位差 1 - 2
旋转矢量图示法
矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
A1
10
X
O
x2
x x1
A
同方向同频率的两个简谐振动的合成
物理-相互垂直的简谐运动的合成
y A2 x A1
质点离开 平衡位置 的位移
r(t) A12 A22 cos(t 1 )
y
A2
o A1 x
合振动是与分振动同频率的简谐振动
一、两个相互垂直的谐振动的合成
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2 A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
(3)
若
2
1
2
x2 A12
y2 A22
合运动的 轨道方程
( x )2 ( y )2 2xycos sin2
A1
A2
A1 A2
其中： (2 1 )t (2 1 ) ——随时间变化
一般情况下，合运动的轨迹是不稳定的。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
分振动： x A1 cos(ω1t φ1 ) y A2 cos(ω2t φ2 )
二、振动频谱分析
数学上已经证明：
任意周期函数（周期为T）：x(ωt) 其中 ω 2π /T
均可展开为三角级数
基频
x(ωt ) a0 (ak cos kωt bk sin kωt )
k 1
k次谐频
1 T/2
a0 T
f (ωt )dt
T / 2
2
ak T
T /2
f (ωt)cos kωtdt (k 0)
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2
A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
合运动一般是在 x A1, y A2 范围内的一个椭圆。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
2
2
x A1
y A2
简谐运动的合成
(2)若另有一振动x3 0.07cos10t 0 ，问0为何值时，
x1 x3的振幅为最大；问0为何值时，x2 x3的振幅为最小。
解：根据题意，画出旋转矢量图
A A12 A22
0.052 0.062
A1
0.078(m)
0 10 0
0 =10
3 4
时，x1
x3的振幅最大
A
A2
tan
A1 sin 1 A1 cos1
A2 A2
sin 2 cos2
讨论 A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
0，1， 2,)
合振幅最大
A A1 A2
xx
oo
A1 A2
t
A
A A12 A22 2 A1 A2 cos(2 1)
2、两个分振动的相位反相：
相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1,)
合振幅最小 A A1 A2
x
x
A1
2
o
o
t
A
A2
例题 有两个同方向、同频率的简谐振动，它们 的振动表式（SI制）为：
x1
0.05
cos
10t
3 4
x2
0.06 cos 10t
1 4
(1)求它们合成振动的振幅。
简谐运动的合成
一、同方向、同频率两个简谐运动的合成
x1 A1 cos( t 1 )
A2
Q
A
x2 A2 cos( t 2 )
用旋转矢量法求合运动
2 1
P A1
O x2
x1 x
X
合振动位移为： x x1 x2 两个同方向同频率简谐运
x A cos( t ) 动合成后仍为简谐运动
两个简谐振动的合成课件
质点同时参与两个同方向、
同频率的简谐振动
x1A 1co ts (1) x2A 2co ts(2)
合振动仍是一个角
频率为ω的简谐振动：
x x 1 x 2A co t s)(
AA 1 2A 2 22A 1A 2co2 s(1)
tanA A11cso i 学n习1 1 s交流 PPTA A2 2scio n2s2
消去时间t，得
A x1 2 2A y2 2 2A 2 1 x A 2c yo2 s(1)si2(n21)
椭圆方程。质点的运动轨迹是椭圆。
学习交流PPT
8
（1）2 1 0，两分振动同相：
x A1 y A2
质点在Ⅰ、Ⅲ象限沿 过原点的直线运动。t时 刻质点离开原点的位移
s x2 y2
A12A22cost ()
xx1x22A co (2 s 21)tco (1s 2 2)t
合振动不是简谐振动。一种重要的特殊情况：
2、1 较大，21 12
振幅：2Acos(2 1)t ，角频率：1 2
2
2
学习交流PPT
5
频率都较大且频率差很小的两个同方向简谐
振动，在合成时会产生合振幅时强、时弱的现 象，这称为拍。
学习交流PPT
6
拍频 ：单位时间内振动加强或减弱的次数
振幅 2Acos(2 1)t 的频率
2
由于是绝对值，所以
221221
拍频等于两个分振动的频率之差
学习交流PPT
7
10.2.3 互相垂直的同频率简谐振动的合成
质点同时参与沿x、y轴方向的两个同频率的 简谐振动
xA 1cots (1),yA 2co ts (2)
按顺时针方向作右旋正 椭圆运动，运动周期仍等 于分振动的周期。
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A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
A值的讨论，有三种情况：
(1) 2k
cos 1
A A1 A2
A值最大
(2) (2k 1) cos 1
A A1 A2 (3) 为其它值
波器显示屏上出现合成结果的图形，见右图。求x ?
解：
x y
m n
Y方向切点数 X方向切点数
x 3 x y 2 1000
x 1500 Hz
本节小结
同方向
1
2
简谐振动 A A12 A22 2A1A2 cos
同方向 1 2 拍 2 1
垂直方向
x m y n
李萨如图
x y
两个简谐振动的步调比较
同相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相同，则两个简谐 振动的位移同时达到最大和最小。
x
1
2
t3
t1
t2
t4
t
0 ,同相
反相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相差π，则一个振
动到达最大位移处时，另一个振动到达反向最大位移处。
1
x
t1
t2
t3
t4
t
2
,反相
超前与落后：若两个简谐振动的频率相同，初相位之差为
Y2 B2
1
X 0 t1 0 Y B
t2
2
X A Y 0
X 0 t3 Y B
t4
3 2
X A Y 0
t4 t3
t2
t1 Y超前π/2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π/2
左旋振动
例七
一质点同时参与相互垂直的两个振动：
X
8 c os (
t
)
cm
36
Y 6cos( t ) cm
A值最小
A1 A2 A A1 A2
M2
A
A2
02
A1
01
O x1
X
M
tan Y
X
y2
Y y1 y2 x1 x2
M1 y1
x2 P x
A1 sin 01 A2 sin 02 A1 cos01 A2 cos02
例六
已知一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,求合 振动的方程。
02 则称01 2振0 动超前1振动，也称1振动落后2振动。
x
21
t
02 01 0, 2振动超前
返回
两个同方向、同频率的简谐振动的合成 -----简谐振动
已知两个同方向、同频率的简谐振动方程为：
x1 A1 cos(t 01) x2 A2 cos(t 02 )
x x1 x2
A1 cos(t 01) A2 cos(t 02 )
2
A0
cos
2
2
1
t
注： 2t 1t
1 2
(1
c os )
cos
2
从角度可分析：
t
2
1
2
t
1t
AA
2 1 t
2
O
X
将A与ωt表达式代入 x Acost
x
2A0
cos 1
2
2
t
cos
1
2
2
t
可以看出，合振动x出现振幅时大时小、时强时弱的现象---拍
因为ω1和ω2差值很小，所以有：
第二节 两个简谐振动的合成
2020/9/16
制作：于国伟 吉林大学
本节主要内容
（1）两个简谐振动的步调比较.
（2）两个同方向、同频率的简谐振动的合 成 ------简谐振动.
（3）两个同方向、频率近似相等的简谐振动 的合成 --------拍现象。
（4）两个方向互相垂直、频率成简单整数比的 简谐振动的合成 -------李萨如图形。
33
请你画出合振动运动轨迹图。
解：
36
2
2B ∵Y落后π/2，左旋振动
∴画一个2A*2B的矩形，内切
画椭圆，标出左旋箭头即可
2A
（2） 2 m 的情况： 1 n
若频率不相等，但是整数比，则合振动的轨迹 是有规则的稳定的闭合曲线-------李萨如图形。
49s
例八
在示波器Y端输入一个简谐振动信号 y 1000，Hz 同时在X端输入另一个未知频率的简谐振动信号，在示
?
用矢量图解法求得合成结果：
w M2
A
A2φ02φ
A1
φ01
O x2
x1
X
w
M
w
M1 x2 P x
x Acos(t )
如图：
A2
X
2
2
MP
代入得
A2
X
2
2
MP
( A1 cos01 A2 cos02 )2 ( A1 sin 01 A2 sin 02 )2
A12 A22 2A1A2[cos01 cos02 sin01 sin02]
求（1）合振动的振幅和周期。
x2 6cos(10t 4)
（2）另有一同方向的简谐振动
x3 7 cos(10t ) 问α何值时， x1 的x振3 幅最大，
的x振2 幅最x3小。
作业三
两个同频、同向的简谐振动合成后的振幅0.10m，合振动与第 一分振动的位相差为π/6，若后者振幅A1 = 0.080m ，求第二
t时刻(设 ω2 > ω1 ) 2 M2 A
A2
ω2tωt
A1
ω1t
O
ω
1 M1
为研究方便，我们令A1 = A2 = A0
A
M
x
某一时刻 t 以后 A A02 A02 2A02 cos
2
M2
M
A 1
A0
A0
M1
O
X
A0 2(1 cos)
2 A0
1 (1 cos )
2
2 A0 cos 2
Y方向切点数 X方向切点数
作业一
两物体作简谐振动，它们的振幅和周期分别是10cm和2s。当 t=0时，它们的位移分别为10cm和-10cm，二者的位相差是 多少？是同相还是反相？当t=1s时，它们的位移各是多少？
作业二
已知 )
其中x、t的单位采用SI制。
x1 0.05 cos(2t 3) m x2 0.06 cos(2t 2 3) m
解：设合振动的方程为 x Acos(t )
01 02
( 2 )
33
A A12 A22 2A1A2 cos
0.052 0.062 20.050.06cos 0.01m
1 3
A 2
3
也可以用矢量图解法直接看出：
A A2 A1 0.01m
x
02
2
3
4
3
返回
两个同方向、频率近似相等的简谐振动的合成 -----拍现象
已知两个同方向、频率近似相等的简谐振动，若设初相位相等， 则：
x1 A1 cos1t
x2 A2 cos2t
设合振动为 x Acost
t=0时刻
A2
A1
分振动的振幅以及第一、第二两个分振动的位相差。
2 XY AB
cos(
)
sin2 (
)
讨论
若 0
YBX A
若 Y BX A
同相，1、3象限振动 反相，2、4象限振动
2
X2 A2
Y2 B2
1
X A t1 0 Y 0
X 0 t2 2 Y B
t3
X A Y 0
3 X 0 t4 2 Y B
2
X2 A2
x1 t
x2 t
x1+ x2 t
拍的视频演示
返回 40s
两个方向互相垂直、频率成简单整数比
的简谐振动的合成------李萨如图形
（1） 2 1 的情况： 1
若两个弹簧的劲度系数都是k,则
1 2
X Acos(t )
Y B cos(t )
k
利用消元法消去变量t，得方程：
k
m
X2 A2
Y2 B2
2 1 2 1
则有: cos 2 随时1 间t 变化比
2
c慢os得多2 1 t
2
可以将拍看成以
2
A0
cos
1
2
2
t
为振幅，
以 1 2 为圆频率的简谐振动。
2
A
2
A0
cos
2
2
1
t
而函数 cos 1 2 t 的周期为π
2
2
T
2 1
1 2 1 T 2
2 1
2 1
是拍振动时振幅周期性变化的频率-----拍频