电磁场的矢势和标势
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第五章 电磁波的辐射
Electromagnetic Wave Radiation
本章所研究的问题是电磁波的辐射。方法和稳恒场 情况一样，当考虑由电荷、电流分布激发电磁场的问题时 ，引入势的概念来描述电磁场比较方便。
本章首先把势的概念推广到一般变化电磁场情况， 然后通过势来解辐射问题。
本章主要内容
D t
D 0E , B 0H .
针对磁场
B 0
引入
B A
A 的物理意义可由下 式看出：
L
A dl
B ds
S
即在任一时刻，矢量 A 沿任一闭合回路L的线积
分等于该时刻通过以L为边线的曲面S的磁通量
。
对于电场 E 不能像静电场那样直接引入电势。由 Faraday电磁感应定律可得：
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
通过例子可看到：
库仑规范的优点是：它的标势 描述 库仑
作用，可直接由电荷分布 求出，它的矢势A 只
有横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独
立偏振。
洛仑兹规范的优点是：它的标势 构成的势方程具有对称性。它的矢势
A的纵和向矢部势A
分和标势 的选择还可以有任意性，即存在多余
A
1 c2
)
t
0
j
2
A
t
0
a) 采用库仑规范
( A 0)
上述方程化为
2
2
A
0
1 c2
2A t 2
1 c2
t
()
0 j
此时，标势所满足的方程与静电场相同。
b)
采用洛仑兹规范(
A
1
0
)
c 2 t
上述方程化为
2
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0 0
j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
不再是保守力场，不存在势能的概念，
这就是说现在的 ，在数值上不等于把单位正电
荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为
了区别于静电场的电势，把这里的 称为标势
（Scalar potential)。
的整体c)，在必时须变把场矢中势A ，磁和场标和势电场是作相为互一作个用整着体
来描述电磁场。
2、规范变换和规范不变性
i
c2k (k 来自A)c2k
B
cnˆ
B
如果取 有
A
A横
，即只取 A具有横向分量，那么
k A k A横 0
从而得到：
c2
k
A
0
因此有：
B
E
A ik
A
t
A
AikiA横A
t
iA横
其中： (k A 0)
如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变
为
2
库仑规范条件为 A 0 ，即规定A 是一
个有旋无源场（横场）。这个规范的特点是E 的
纵场部分完全由
横
A
描述（即
A
具有无旋性)，
场部分由 描述（E即 t具有无A 源性）。由
t
可见，
项对应库仑场 E库
A
， t
对应着感
应
场E感 。
b) 洛仑兹规范(Lorentz gauge)
规
洛仑兹规范条件为
电磁场的矢势和标势 推迟势 电偶极辐射 电磁波的干涉和衍射 电磁场的动量
§5. 1 电磁场的矢势和标势
Vector and Scalar Potential of Electromagnetic
1、用势 描A述, 电磁场
为简单起见，讨论真空中的电磁场：
D
E
B t
B 0
H
j
2
A
0
1 c2
2A t 2
1 c2
t
0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势
，则只有0
2 A
1 c2
2A t 2
0
其解的形式为
A
A ei(k xt) 0
由库仑规范条件得到
即保证了
A
A ik A 0
只有横向分量，即A
A横
到
，从而得
B
E
A ik
A
A
C12
t
0
，即
A
A
定 是一个有旋有源场（即 包含横场和纵场两
部分），这个规范的特点是把势的基本方程化为
特别简单的对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations
及
B=0H
D 0E
E
A
B A
出：发推导2 A矢 势c12A和2t 2A标势t(
所满足的方程，得到
的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变 性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。
E
B
(
A)
A
t t
t
E
A t
0
E
A
t
是标势不 是静电势
即
E
A
t
电磁场和势之间的关系如下
B
E
A
A t
注意： a) 当A 与时间无关，即
这时 就直接归结为电势；
A t
0
时,且E
b)
绝对不要把E
A
t
中的标势
与电势 况下，
E
(E ) 混为一谈。因为在非稳恒情
1
0
ik
A
1 c2
c 2 t
(i)
0
，即得
c2
k
A
这表明，只要给定了
A
，就可以确定单色平面电
磁波，这是因为：
B
A
ik
A
ik
(
A横
A纵
)
ik
A横
ik
A纵
E
ik A横
A
0（对于单色平面波而言）
ik iA
t
ik (
c
2
k
A)
iA
i c2
k (k A) k 2 A
两微对函数的但种数应梯分E等的的度方虽价 梯，在程然的 度这的EE方是，关和因式结系B为果，，A，矢不但所A以势影由以B及A响于Et它A们可B中之和以，、对间加而E 的上这是A和关一个描要系个任述发、不任意电生是意标磁之影一标场量间响一量的函是，
将
t 中的 与此融合也作相应的
E
设
为任意的标量函数，即
4、举例讨论
试求单色平面电磁波的势
Solution: 单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的
自由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在 Lorentz规范条件下）变为波动方程：
2
其解的形式为：
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0 0
i(k xt
e0
)
A
A ei(k xt ) 0
由Lorentz规范条件 A
(x,t)
，作
下述变换式：
A
A
A
t
于是我们得到了一组新的 A . ，很容易证明
：
A (A ) A ( )
A
A
(
B
)
( A
)
t
t t
( ) A ( )
t A
E
t t
t
由此可见，(A . ) 和 ( A. ) 描述同一电磁
场。
a) 库仑规范(Coulomb gauge)
Electromagnetic Wave Radiation
本章所研究的问题是电磁波的辐射。方法和稳恒场 情况一样，当考虑由电荷、电流分布激发电磁场的问题时 ，引入势的概念来描述电磁场比较方便。
本章首先把势的概念推广到一般变化电磁场情况， 然后通过势来解辐射问题。
本章主要内容
D t
D 0E , B 0H .
针对磁场
B 0
引入
B A
A 的物理意义可由下 式看出：
L
A dl
B ds
S
即在任一时刻，矢量 A 沿任一闭合回路L的线积
分等于该时刻通过以L为边线的曲面S的磁通量
。
对于电场 E 不能像静电场那样直接引入电势。由 Faraday电磁感应定律可得：
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
通过例子可看到：
库仑规范的优点是：它的标势 描述 库仑
作用，可直接由电荷分布 求出，它的矢势A 只
有横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独
立偏振。
洛仑兹规范的优点是：它的标势 构成的势方程具有对称性。它的矢势
A的纵和向矢部势A
分和标势 的选择还可以有任意性，即存在多余
A
1 c2
)
t
0
j
2
A
t
0
a) 采用库仑规范
( A 0)
上述方程化为
2
2
A
0
1 c2
2A t 2
1 c2
t
()
0 j
此时，标势所满足的方程与静电场相同。
b)
采用洛仑兹规范(
A
1
0
)
c 2 t
上述方程化为
2
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0 0
j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
不再是保守力场，不存在势能的概念，
这就是说现在的 ，在数值上不等于把单位正电
荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为
了区别于静电场的电势，把这里的 称为标势
（Scalar potential)。
的整体c)，在必时须变把场矢中势A ，磁和场标和势电场是作相为互一作个用整着体
来描述电磁场。
2、规范变换和规范不变性
i
c2k (k 来自A)c2k
B
cnˆ
B
如果取 有
A
A横
，即只取 A具有横向分量，那么
k A k A横 0
从而得到：
c2
k
A
0
因此有：
B
E
A ik
A
t
A
AikiA横A
t
iA横
其中： (k A 0)
如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变
为
2
库仑规范条件为 A 0 ，即规定A 是一
个有旋无源场（横场）。这个规范的特点是E 的
纵场部分完全由
横
A
描述（即
A
具有无旋性)，
场部分由 描述（E即 t具有无A 源性）。由
t
可见，
项对应库仑场 E库
A
， t
对应着感
应
场E感 。
b) 洛仑兹规范(Lorentz gauge)
规
洛仑兹规范条件为
电磁场的矢势和标势 推迟势 电偶极辐射 电磁波的干涉和衍射 电磁场的动量
§5. 1 电磁场的矢势和标势
Vector and Scalar Potential of Electromagnetic
1、用势 描A述, 电磁场
为简单起见，讨论真空中的电磁场：
D
E
B t
B 0
H
j
2
A
0
1 c2
2A t 2
1 c2
t
0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势
，则只有0
2 A
1 c2
2A t 2
0
其解的形式为
A
A ei(k xt) 0
由库仑规范条件得到
即保证了
A
A ik A 0
只有横向分量，即A
A横
到
，从而得
B
E
A ik
A
A
C12
t
0
，即
A
A
定 是一个有旋有源场（即 包含横场和纵场两
部分），这个规范的特点是把势的基本方程化为
特别简单的对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations
及
B=0H
D 0E
E
A
B A
出：发推导2 A矢 势c12A和2t 2A标势t(
所满足的方程，得到
的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变 性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。
E
B
(
A)
A
t t
t
E
A t
0
E
A
t
是标势不 是静电势
即
E
A
t
电磁场和势之间的关系如下
B
E
A
A t
注意： a) 当A 与时间无关，即
这时 就直接归结为电势；
A t
0
时,且E
b)
绝对不要把E
A
t
中的标势
与电势 况下，
E
(E ) 混为一谈。因为在非稳恒情
1
0
ik
A
1 c2
c 2 t
(i)
0
，即得
c2
k
A
这表明，只要给定了
A
，就可以确定单色平面电
磁波，这是因为：
B
A
ik
A
ik
(
A横
A纵
)
ik
A横
ik
A纵
E
ik A横
A
0（对于单色平面波而言）
ik iA
t
ik (
c
2
k
A)
iA
i c2
k (k A) k 2 A
两微对函数的但种数应梯分E等的的度方虽价 梯，在程然的 度这的EE方是，关和因式结系B为果，，A，矢不但所A以势影由以B及A响于Et它A们可B中之和以，、对间加而E 的上这是A和关一个描要系个任述发、不任意电生是意标磁之影一标场量间响一量的函是，
将
t 中的 与此融合也作相应的
E
设
为任意的标量函数，即
4、举例讨论
试求单色平面电磁波的势
Solution: 单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的
自由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在 Lorentz规范条件下）变为波动方程：
2
其解的形式为：
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0 0
i(k xt
e0
)
A
A ei(k xt ) 0
由Lorentz规范条件 A
(x,t)
，作
下述变换式：
A
A
A
t
于是我们得到了一组新的 A . ，很容易证明
：
A (A ) A ( )
A
A
(
B
)
( A
)
t
t t
( ) A ( )
t A
E
t t
t
由此可见，(A . ) 和 ( A. ) 描述同一电磁
场。
a) 库仑规范(Coulomb gauge)