修改从海岸线长度谈起——分形几何共87页文档
分形几何学
整理课件
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分形几何图形
自然界中有许多分形的例子，如雪花、植物的枝条分叉、海岸线 等。在数学中，历史上也构造了许多分形模型，如Koch曲线、 weierstrass函数等。它们共同的特点是①处处连续但处处不可 微，即曲线处处是不光滑的，总有无穷的细节在里面；②具有自 相似性或统计自相似性，即在不同的标度下，它们的形状是相似 的，不可区分的；③刻划它们的维数不是整数，而是分数。这是 因为，这类曲线都有无穷的细节，所以用1维的直线来测量它， 其值为无穷大，然而它们又没有填满一个有限的平面，所以其维 数又不能等于2，因此，要想得到一个有限的长度，它的测量维 数必定在1和2之间。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把 研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的 世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图 形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则 提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结 构的新方法。
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普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维 的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。但是现实生活中象弯弯曲曲的 海岸线这些对象就不能用传统欧几里德几何学的整数维描述或者说测量了。要描 述这一大类复杂无规的几何对象，就引入了分形理论，把维数视为分数维数。这 是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。
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一、什么是分形几何学
通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相 似图形和结构的几何学。
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层 次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方 面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁 铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去， 每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次 结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
分形理论及其应用
X 1 ： ( x1，x2，，xm )
X X
2 3
：
(
x
，
2
x
3，，
x
m
1
)
：
(
x
，
3
x
4，，
x
m
2
)
X
4
：
(
x
，
4
x5，，
x
m
3
)
把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一 条轨线。因为点与点之间的距空间共生成
个相点X1，X2，…，XN，给定一个数r，检查有 多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离 小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，
•分形理论及其应用
Cantor集合 ，考虑多重分形，把同样的均匀质量棒
从其左端3/5处一分为二，然后把左段压缩为长度
r1=1/4，其质量P1=3/5，而右段保持原长度r2=2/5，其
质量P2=2/5；第二步按着上述的比例对两段分别进行
同样的变换就得到4段，左两段的长度分别为 r12 r1r2
质量分别为 P12 ，P1 P2 ，右两段的长度分别为 ， r2 r1 r22 ，
质量分别为
， P2 P1
P
2 2
；如此操作下去就会得到一个不
均匀的Cantor集合。在这个集合中分布着众多长宽相
同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个
单分形子集合，其标度指数为α，分维为f(α)。
•分形理论及其应用
最后每段线条的质量相当于二项式 (P1 P2)n展开中的
一项， n。因此可以用P1的q阶矩 Piq 取代单分形 i
分形几何概述
三、分形几何的研究方法
1、以分数维数来描述分形；
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
在Euchlid几何学中我们知道维数的概念
点---0维；
线---1维；
面---2维；
分形几何与传统几何相比有什么特点：
⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的，它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
例如：Mandelbrot集，简称M集，是人类有史以来最奇异最瑰丽的几何图形. 它由一个主要的心形图与一系列大小不一的圆盘芽苞突起连在一起构成．你看，有的地方象日冕，有的地方象燃烧的火焰，那心形圆盘上饰以多姿多彩的荆棘，上面挂着鳞茎状下垂的微小颗粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累硕果．它的每一个细部都可以演绎出美丽的梦幻般仙境似的图案，因为只要把它的细部放大，展现在眼前的景象会更令人赏心悦目．而这种放大可以无限地进行下去，无论放大到哪一个层次，都会显示同样复杂的局部，这些局部与整体有某种相似的地方，但又不完全相同，仿佛里面酝藏着无穷的创造力，使你感到这座具有无穷层次结构的雄伟建筑的每一个角落都存在无限嵌套的迷宫和回廊，催生起你无穷的探究欲望.。
6、可以制作成各种尺寸的分形挂历、台历、贺卡、书签等等。
7、装点科技馆、少年宫、旅游景点等地点，美化公众环境。
�
我们来看曼德勃罗的分析：
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。
如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
海岸线与分形
海岸线与分形摘要：本文以海岸线的测量为线索通俗易懂地介绍了规整几何图形的测量及其相关特征，引出分维的概念，最后由海岸线过渡到分形，展示了分形在生活中无处不在和应用。
关键字：海岸线；规整几何；分形英国科学家理查逊曾探索过大量关于自然复杂现象的问题，并对海岸线和国境线的测量问题感到怀疑，他核查了西班牙、葡萄牙、比利时和荷兰的百科全书，发现这些国家对他们共同边界的长度的估计相差竟达20%！他向世界提出了海岸线的问题，难道是海岸线不可以测量吗？为了探讨这个问题，先来谈谈我们对平时所学的几何对象是如何测量的。
一、规整几何图形的测量所谓规整的几何图形是指，直线与直线段；平面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、三角形以及正多边形；三维空间中的长方体、正六面体与正四面体等。
另一类就是由曲线或曲面所围成的几何图形；平面上的圆与椭圆；空间中的球、椭球、圆柱、圆台与圆锥等。
[1] 在规整几何中，为了测量一块平面图形的面积，可以用一个边长为l ，面积为2l 的“标准”方块去覆盖它。
所得的方块数目就是它的面积（以2l 为单位）： 面积有限数平面图形面积==2l。
[2]因此，也就是说，先确定一个“标准”，然后求得的含有这样“标准”的个数就是测量的结果。
这个“标准”也就是特征尺度。
下面，我们用这个方法去测量海岸线的长度吧！设想测量员用两脚规，把它张成一定的长度，例如1r ，然后沿着海岸线一步一步地测量，所得数为1r N ，则海岸线在这一尺度下的近似长度为111r N l r ⨯=，说“近似”，是出于为测量时忽略了小于1r 的那些曲曲弯弯的曲线。
如果把两脚规张成较1r 小的长度，比如2r （12r r <），再沿着海岸线一步一步地测量，所得的数为2r N ，则海岸线在该尺度下的近似长度为222r N l r ⨯=，“近似”理由同上，此时，那些小于2r 的弯弯曲曲的海岸线仍被忽略了，……，如此 ，会得到关于海岸线长度的一系列不同的结果：,,21l l …，n l ，…，并且显然有<<21l l …<<n l …。
海岸线究竟有多长
海岸线究竟有多长？PB08207006 王婷一节微积分课上，宣老师简单的说了一句话，“海岸线的长度是无穷大的”。
说者无心，听者有意，百度一下，终于明白了个中究竟。
海岸线长度依赖于测量单位，若以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于1km的曲折都忽略掉了，若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。
但仔细一想：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。
海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。
为什么？答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。
实际测量中，我们将海岸线折线化，得出一个有意义的长度，这就是我们通常所说的海岸线的长度了。
下面我们来看一下经典的科赫曲线（科赫雪花）：科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线，它是分形曲线中的一种，具体画法如下：1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；3、重复上述两步，画出更小的三角形。
4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。
科赫曲线有以下几个特点：1、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的2、总长度趋向无穷大3、曲线上任意两点距离无穷大4、面积是有限的雪花曲线的面积是原来生成它的三角形的面积的8/5；面积计算方法如下Ⅰ．假定等边△ABC的面积是k。
Ⅱ．分△ABC为九个全等等边三角形，各具有面积a，如图所示。
因此k=9a。
现在确定雪花曲线六个初始尖角中每一个面积的极限。
我们知道大尖角的面积是a，因为它是九个三角形之一向外翻转而形成的。
在由它生成的下一批尖角中，每一尖角具有面积a/9，因为和原来的三角形一样，它也被分为九个全等三角形后再把其中一个向外翻转而形成下一批的一个尖角。
事实上，每一个相继的尖角都被分为九个全等三角形，同时在两边生出两个三角形。
分形几何 ppt课件
❖ f(z) = |z2|
分形几何
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分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
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分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
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分形几何
❖ 我们照这个思路（加0.2然 后平方）迭代12次后，可 得到右图图形。可以看见 整个图形已经具有了分形 图形的复杂程度（图形的 “黑边”其实是密集的等 高线）。
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分形几何
❖ 上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直 达无穷。而原点附近这个四叶草形区域内的数， 至少目前还不算太大。
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分形几何
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分形几何 ❖康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于
非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其 局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
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分形几何
4. Mandelbrot集合 曼德博集合可以用复二次多项式来定义： fc(z)=z2+C; 其中 c 是一个复数参数。
➢ 从 z = 0 开始对 fc(z) 进行迭代：
① 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； ② 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角
形DMC ； ③ 将线段CD移去； ④ 分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
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分形几何
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第八章 分形几何
Peano-Hilbert曲线的出现，曾令数学界大吃一惊： （1）它是一条曲线，但又是一个平面； （2）Peano-Hilbert曲线的方程只有一个参数，但它却 能确定了一个平面；而在欧几里德几何学中，确定一条 曲线需要一个参数，确定一个平面需要两个参数。
“病态”原因：一维曲线却能充满二维平面。 分形维数：D=ln4/ln2=2.0。
对于典型的分形曲线，例如Koch曲线，构成方法 如下：取一段直线，将其三等分，保留两端的两段， 将中间一段拉起构造等边三角形的两条边。N=4，S=3， 分维D=ln4/ln3=1.26186。可以看出Koch曲线点点连 续，但点点不可导，属于病态曲线；Koch曲线局部与 整体相似，具有自相似性。因此可以使用Koch曲线来 模拟海岸线。根据Mandelbrot的计算，英国海岸线的 分维为D=1.25。
L0 ( P1 .x P0 .x) 2 ( P1 . y P0 . y ) 2
设递归n次后的最小线元长度为d，则
d L0 /(2(1 + cos ))
n
（8-4）
Koch 雪花
void CTestView::Koch(int n)//Koch函数 { if(0==n) { P1.x=P0.x+d*cos(Alpha); P1.y=P0.y+d*sin(Alpha); pDC->MoveTo(ROUND(P0.x),ROUND(P0.y)); pDC->LineTo(ROUND(P1.x),ROUND(P1.y)); P0=P1; return; } Koch(n-1); Alpha+=Theta; Koch(n-1); Alpha-=2*Theta; Koch(n-1); Alpha+=Theta; Koch(n-1); }
分形几何概述1
n
ln 4 1.26186 ln 3
英国海岸线的维数为D=1.25 (Mandelbrot)
Koch曲线：(㏑4)/ (㏑3)=1.2618 Cantor集： (㏑2)/ (㏑3)=0.6309 Sierpinski集： 垫片： (㏑3)/ (㏑2)=1.5850 地毯： (㏑8)/ (㏑3)=1.8927 海绵： (㏑20)/ (㏑3)=2.7268
Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步
Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
Koch 曲线
Koch 曲线（续）
Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。 同样的道理：长度无限、面积为零、而曲 线还有“界”。 另外，有一个特点：当取其中的一部分 展开，与整体有完全的自相似性，似乎是一 个什么东西的无数次的自我复制。
定义1 如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff维数DH恒大于其拓扑维数DT，则 称该集合为分形集，简称分形。
由Mandelbrot在1982年提出，四年后， 他又提出了一个更是实用的定义： 定义2 组成部分以某种方式与整体相似的形 体叫分形。
分形的概念
分形看作具有如下所列性质的集合F：
F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。 F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计 意义下的。 F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的扑维数。 F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。
分形几何概述
海岸线长度问题
二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著 作中讨论英国海岸线的长度。他发现，这个问题取决于测量 所使用的尺度。采用公里做单位，一些几米和几十米的曲折 会被忽略，如果采用米做单位，测得的长度会增加，但厘米 以下的量仍然无法反映，测量单位的缩小使测得的长度增加， 由于在自然尺度之间有许多个数量级，这种增加不会停止， 海岸线的长度会趋于无限长。也就是说，长度不是海岸线的 定量特征。
分形之海岸线
海岸线与分形（刘婷数学科学学院 06205006）我们生活的世界里充满了分形，喧闹的都市生活、美轮美奂的自然风光、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线，坑坑洼洼的地面等都到处有分形的影子。
电话卡、头巾、书签、包装材料的图案也表现了丰富的现象（如图1）。
那么到底是什么导致分形几何的产生？分形几何又与我们平时学习的几何有什么不同呢？我们试图给出问题的答案。
图1一、经典几何的特点两千多年来，古希腊人创立的几何学，一直是人们认识自然物体形状的有力工具。
经典几何学所描绘的都是由直线或曲线、平面或曲面、平直体或曲体所构成的各种几何形状，它们是现实世界中物体形状的高度抽象。
天文学家们用这种几何知识构造了多种宇宙理论，建筑师们利用它设计出大量宏伟的建筑；以致于近代物理学的奠基者、伟大的科学家伽利略极其权威地断言：大自然的语言是数学，“它的标志是三角形、圆和其他几何图形”。
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。
也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。
在数学上,把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲,维数也不变,这就是拓扑维数。
自然界的现象通常都发生在某种特征标度上，如特征长度、特征时间等特征尺度上。
科学家关于事物特征的描述最基本的莫过于问它有多大，持续多久。
这都是依赖于标度（尺度）的一些基本性质。
每种事物都有其特征尺度，例如天体物理学家描写的宇宙结构，大约在数百万光年的范围上；生物学家认识的微生物的结构大约有微米的长度；物理学家研究的夸克，约在10-13厘米的数量级上。
每一个具体事物，都与特定的尺度相联系。
几厘米长的昆虫与几米、十几米大小的巨兽在形态、结构上必然极不相同，否则它们就无法生存和繁衍。
《楚辞·卜居》中说：“夫尺有所短，寸有所长”。
这也是说事物都有其自己的特征尺度，要用适宜的尺去测度。
用寸来量度细菌，用尺来量度万里长城，前者失之过长，后者又嫌太短。
海岸线长度量算方法的研究
海岸线长度量算方法的研究刘春杉，王华接，沈亮【摘要】海岸线是重要而宝贵的自然资源，准确量算海岸线长度是摸清海洋家底和实施有效管理的前提。
但目前海洋界没有统一的海岸线长度量算方法。
提出基于高斯平均引数的椭球面长度算法，并采用MapBasic语言的实现海岸线长度的自动化计算，通过验证和比对，比目前海洋界普遍采用的平面长度算法更准确，可在实际工作中推广。
【期刊名称】海洋通报【年(卷),期】2011(030)005【总页数】6【关键词】海岸线；椭球面长度算法；高斯平均引数1 背景海岸线是重要而宝贵的战略资源，既是港口、旅游、养殖等海洋产业发展重要载体，也是海洋生态多样性重要的来源，具有一定的稀缺性和不可再生性质。
通过对海岸线的有效管理，合理利用海岸线，并使其发挥最大的社会经济效益，对于当前面临经济结构调整和产业结构升级的广东省来说，具有重要的现实意义。
海岸线位置和长度是海洋综合管理的重要基础数据，准确计算海岸线长度，是摸清海洋资源家底和实现对海岸有效管理的前提。
近年来，受自然和人为因素的影响，海岸线变化较大，20世纪80年代进行的“全国海岸带和海涂资源综合调查”中的海岸线数据资料已不能反映当前我国海岸线的现状，不宜再作为现实管理和规划制订的依据，有必要重新测量海岸线位置并计算其长度。
2003年起，国家海洋局启动了“我国近海海洋综合调查与评价专项”（简称“908”专项），专项要求对海岸线重新做了修测，测量最新的海岸线位置并计算其长度。
与以往大规模调查不同，本次海岸线修测基于WGS84坐标系，采用GPS实测与遥感影像提取相结合的先进技术手段，对于可以到达的海岸，顺直海岸每隔50 m定一个点，曲折海岸适当加密，采用 RTK-GPS实测海岸线；对于难以到达的海岸，则采用1︰10000比例尺地形图矢量化后的数据与2005年的SPOT遥感影像数据叠加拟合、修正、提取海岸线。
最终两者通过GIS系统拼接合并成为完整而连续的海岸线矢量数据。
它打败了欧几里得空间，踹飞了数学怪物，成为全世界的焦点
它打败了欧几里得空间，踹飞了数学怪物，成为全世界的焦点分形几何自然界的几何学Long long ago，超模君为大家介绍Koch曲线（传送门）的时候提到了分形，结果小天很好奇这个所谓的分形究竟是什么。
为了不让小天老是纠缠这个问题，今天超模君就来介绍一下分形吧。
数千年以来，几何学的研究主要集中在欧几里得几何上。
正因如此，欧式几何一直是人类认识自然物体形状的有力工具，还是各种学科理论的基础。
甚至伽利略曾断言：“大自然的语言是数学，它的标志是三角形、圆和其他几何图形”。
但，真的是这样吗？事实并非如此，自然界中存在着各种不规则不光滑不连续的几何形体，譬如湍流的高漩涡、河流的支流、蜿蜒的海岸线，而这些形体是无法用欧式几何描述的。
既然“万能”的欧式几何不管用了，那么有没有处理这些不规则形体的好方法呢？显然是没有的。
因此在1个多世纪前，所谓的数学怪物出现了，而康托尔、魏尔斯特拉斯等数学家则成为了制造者。
1883年，康托尔（传送门）引入了如今广为人知的康托尔集，也称为三分集。
虽然康托尔集很容易构造，还是个测度为0的集，也就是它的函数图像面积为0，但它具备很多最典型的分形特征，因此康托尔始终无法解决。
目前分形几何的特征有：在任意小的尺度上都能有精细的结构；太不规则；（至少是大略或任意地）自相似，豪斯多夫维数会大於拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）；有著简单的递归定义。
Cantor集1895年，在大部分数学家认为除了少数特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率的情况下，魏尔斯特拉斯提出了第一个分形函数“魏尔斯特拉斯函数”，并凭借函数曲线特点“处处连续，处处不可微”证明了所谓的“病态”函数的存在性。
1906年，科赫在论文《关于一条连续而无切线，可由初等几何构作的曲线》中提到了一种像雪花的几何曲线，而这个雪花曲线就是de Rham曲线的特例科赫曲线（传送门）。
Koch曲线1914年，波兰数学家谢尔宾斯基利用等边三角形进行分形构造，提出了谢尔宾斯基三角形；两年后，利用正方形进行分形构造提出了谢尔宾斯基地毯。
分形理论概述
分形理论概述分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。
分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。
1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。
海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。
在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。
事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。
1975年,他创立了分形几何学(fractal geometry)。
在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论(fractal theory)。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。
作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
分形理论的原则自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。
它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。
由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。
分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。
标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。
这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。
趣味数学海岸线长度问题
柯克曲线—分形世界
• 自相似性：柯克曲线自身的任何一个局部， 放大后都与整体非常相似。因为柯克曲线 的形成就是由其中的一部分反复做同样的 事情得到的。
• 具有自相似性的曲线或图形，叫分形。
“整体中的小块，从远处看是不成形的 小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外 形大致和以前观察的整体形状相似。 ” “自然界提供了许多分形实例。例如， 羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他 植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非 常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征 成长后就变成大尺度上的特征。” ---- B.B.Mandelbrot
失之毫厘，谬之千里！
分形世界—雪花
柯克曲线
取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的1/3为一 边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的 1/3部分擦掉，就成了一个很像雪花的六角形。
这样不断地做下去，做出的图形边缘越来越不容易画出， 但边缘上越来越小的许许多多的三角形是真实存在的，这 样无限地做下去，得到的图形叫做柯克曲线。
0 1 2
n 1
x b
n
各小区间的长度依次为 n 个小区间， 把区间[a , b]分成
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ， 在各小区间上任取 一点 i （ i xi ）， 作乘积 f ( i )x i ( i 1,2,)
并作和 S f ( i )x i ，
第四讲 海岸线的长度问题
想过如何计算海岸线的长度吗？
英国科学家理查逊 查询了欧洲很多百科全书， 发现很多很多国家对与其相 邻国的边界测量的不完全相 同，有时候误差会达到百分 之二十以上。
为什么会出现这种问题呢？
误差产生的原因？
法国数学家蒙德尔布罗 1967年对这个 问题做出解释： 用来测量的尺子如果长短不一的话，会 产生很大的误差 故用小尺子测量海岸线结果更精准
计算机图形学07分形几何
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整理课件
迭代函数系统模型
Sierpinski集
Sierpinski缕垫 Sierpinski地毯
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整理课件
迭代函数系统模型
Sierpinski集
Sierpinski海绵
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整理课件
Sierpinski集
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整理课件
Sierpinski集
Sierpinski集的共同特征：
（1）都是经典几何无法描述的图形，它是一种“只有皮 没有肉”的几何集合。
确定粒子参数的基本表达式： par=mp+rand( )*varpar
par :粒子系统中的任一需要确定的参数 rand():均匀随机函数 mp:参数的均值 varpar：方差
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整理课件
粒子系统模型
模拟火焰：
火焰可以用在一个球域内的随机生成微粒来显示，其允 许它们向外快速移动。微粒路径可以用红色到黄色来着色， 可以模拟爆炸粒子的温度。
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整理课件
分形的应用领域
物理学——如湍流的研究 气象学——如云系的形状 地貌学——如山川、地形、地貌的形态 图象处理——如图象压缩 美术——如分形艺术
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整理课件
典型的分形曲线集
1. Von Koch曲线 D = log 4 / log 3 = 1.2618
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整理课件
典型的分形曲线集
2. Sierpinski三角形 D = log 3 / log 2 = 1.5849
跨越尺度极其深渊，具有无穷复杂的边界。它的内部 不是连通的，而是由众多的块片组成，它们或是大心 形线、圆周(一个心脏形的曲线)，或更小的和变形的 心形线和圆周所界住的区域，其数无穷。
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从测量英国海岸线到分形几何的产生
。
1967年曼德尔布罗特在 美国《科学》杂志上发表了划 时代的论文
《英国海岸线有多长？
统计自相似与分数维》
图1. 英国地图
Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
Koch曲线与雪花曲线
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
???
理论上可以证明这种不断构造的雪花周长是无穷 的，但其面积却是有限的，这和传统的数学观念是不 相符的，采用周长和面积都无法刻划出这种雪花的特
点，欧氏几何学对描述这种雪花无能为力。
“病态”原因：处处连续，处处不可导。 分形维数：D=ln4/ln3=1.26186。
• 生成规则：首先，将一正方形四等分为四个小正方形， 求出各个小正方形的中心并用三条直线连接起来，如图
n＝0所示，可以使用两种连接方式：开口向上和开口向
左。其次，将各个小正方形再细分为四个小正方形，用 三条直线连接各个小正方形的中心，也会有两种连接方 式，如图 n＝1所示。依此类推，便形成Peano-Hilbert 曲线。
分形‚无定形，无形状可言‛！因此用简单的欧式几何是无法描述其 性质的。
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分形几何的创始人
Benoit Mandelbrot
Oxford的Newton博物馆
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博学多才的大师 1924年出生于波兰华沙; 1936年移居法国巴黎; 1948年在美国加州帕萨迪纳获航空学硕士学位; 1952年在巴黎大学获数学博士学位;
从英国海岸线测量到分形几何
佟丽宁 上海大学数学系
蓝天白云，高山流水，红花 绿草， 大自然的美丽和神奇是难以 描绘的。可是伽利略却说： ‚自然界这本伟大的书是用 数学语言写成的。‛
(修改)第七讲从海岸线长度谈起——分形几何
精神病监测和治疗的最新研究成果
正常人的脑电波不是周期的而是混沌的，精神病人犯病时的 脑电波却是周期的。因此可以在精神病人体内植入芯片监测 其脑电波，一旦发现脑电波接近周期的，就很可能要犯病了， 应该及时采取措施。这已经应用于临床。
进一步的研究是在其脑电波接近周期时，给他一个刺激，使 其脑电波重新回到混沌状态。但是由于混沌现象的一个特点
直觉： 曲线周长趋势？所围面积趋势？
2. 你相信有这样的图形吗？
它的周长趋近于无穷大 而它的面积则趋近于零
答：有
清凉座垫
直觉和想象：周长怎么变？面积怎么变？
3. 你相信有这样的立体图形吗？
它的表面积趋于无穷大 而它的体积则趋于零
谢尔宾斯基海绵
答：有—谢尔宾斯基海绵。将一个正方体的每个面
分形几何学的基本思想
我们的主观世界认知范围是“有限”的， 但是客观世界是“无限”的， 我们需要开拓自己的认知领域。
思考
1. 闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、小 麦须根系、树冠、支气管、星系、材料断口、 大脑皮层等等复杂、不规则的图形还能用欧 几里得几何描述吗？
2.一块稻田的面积可以用欧几里得几何，但假 如稻田干涸时的“泥裂”还能用欧几里得几 何吗？ 3.刘徽“割圆术”能得到圆周长，但类似的方 法能得到“海岸线”的长吗？
请算一算枝条的总长度。
B.B.Mandelbrot： “1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，创 造出分形（fractal）一词。分形是几何外形，它与 欧几里得外形相反，是没有规则的。” “首先，它们处处无规则可言。其次 ，它们 在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远 处观察，还是从近处观察，分形看起来一个模样— —它是自相似的。