常微分方程、积分与微分的运算,答案

实验4 常微分方程、积分与微分的运算，答案

1、用solve 函数求下列非线性方程组的解

⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+0

2)sin(0

2)cos(y x xe y ye x [x,y]=solve('cos(x)+y*exp(x)-2=0','sin(y)+x*exp(y)-2=0')

x =

.80871239676291248869235921095744

y =

.58332318056058057050322825668096

2、对于二阶微分方程)sin(22t y y y =+'+''

（1）利用ode45方法，求当1)0(=y ，1)0(-='y 在300≤≤t 时y 的数值图解。

（2）利用dsolve 函数求当1)0(=y ，1)0(-='y 时的特解y ，画出300≤≤t 时y 的曲线，并与（1）中y 的数值图解作比较。

（1）

建立ff.m 函数

function dx=ff(t,x)

dx=[x(2);-2*x(2)-x(1)+2*sin(t)];

建立调用函数

x0=[0 1];

[t,x]=ode45('ff',[0,30],x0)

plot(t,x(:,1))

（2）

求y 的解：

>> y=dsolve('D2y+2*Dy+y=2*sin(t)','y(0)=0','Dy(0)=1','t')

y =

exp(-t)+2*exp(-t)*t-cos(t)

作曲线：

>> t=0:0.1:30;

>> y=exp(-t)+2*exp(-t).*t-cos(t);

>> plot(t,y)

3、分别用Simpson 法、 Newton-Cotes 法、梯形法trapz 以及符号积分函数int 计算定积分⎰π

0sin dx x 。 先建立ff.m 函数

function f=ff(x)

f=sin(x);

Simpson 法：

在主窗口调用：

[S,n]=quad('ff',0,pi)

S =

2.0000

n =

33

Newton-Cotes 法：

[S,n]=quad8('ff',0,pi)

S =

2.0000

n =

18

trapz 方法：

>> x=0:pi/100:pi;

>> y=sin(x);

>> z=trapz(x,y)

z =

1.9998

符号积分int 法：

>> syms x

>> int(sin(x),0,pi)

ans =

2

4、用符号积分int 法求下列积分：

（1）dx x 32)3(⎰-

（2）⎰+dt x

xt

215 （3）⎰-21

|1|dx x （4）dt t x x ⎰sin 24

（1）

>> syms x

>> int((3-x^2)^3)

ans =

27*x-1/7*x^7+9/5*x^5-9*x^3

（2）

>> syms x t

>> int(5*x*t/(1+x^2),t)

ans =

5/2*x*t^2/(1+x^2)

（3）

>> syms x

>> int(abs(1-x),1,2)

ans =

1/2

（4）

>> syms x t

>> int(4*x/t,t,2,sin(x))

ans =

4*log(sin(x))*x-4*log(2)*x

5、求下列函数的导数。

（1）⎩⎨⎧==t a y t a x sin cos ，求''',x x y y

（2）t t t f +-

=11)(，求)4('f

（1）由于),(),(t x diff t y diff y x ='，),(),(t x diff t y diff y x

x '=''

>> syms t a

>> d=diff(a*sin(t))/diff(a*cos(t))

d =

-cos(t)/sin(t)

>> diff(d)/diff(a*cos(t))

ans =

-(1+cos(t)^2/sin(t)^2)/a/sin(t)

（2）>> syms t

>> f=diff((1-sqrt(t))/(1+sqrt(t)))

f =

-1/2/t^(1/2)/(1+t^(1/2))-1/2*(1-t^(1/2))/(1+t^(1/2))^2/t^(1/2) >> t=4;

>> f=-1/2/t^(1/2)/(1+t^(1/2))-1/2*(1-t^(1/2))/(1+t^(1/2))^2/t^(1/2) f =

-0.0556