高等数学(上)3-6

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高等数学上册教材目录

高等数学上册教材目录1. 微积分导论1.1. 实数与数集1.1.1. 实数的概念与性质1.1.2. 数集的分类与运算1.1.3. 上确界与下确界1.2. 极限与连续性1.2.1. 函数极限的定义1.2.2. 极限的性质1.2.3. 无穷小量与无穷大量1.2.4. 连续性的定义与性质2. 函数与极限2.1. 函数的基本概念2.1.1. 函数的定义与表示2.1.2. 函数的图像与性质2.2. 函数的极限2.2.1. 函数极限的计算方法2.2.2. 无穷小量对函数极限的影响2.3. 极限存在与连续性2.3.1. 极限存在的条件2.3.2. 连续函数与间断点3. 导数与微分3.1. 导数的概念与性质3.1.1. 导数的定义3.1.2. 导数的运算法则3.1.3. 高阶导数与导数的应用3.2. 微分的概念与应用3.2.1. 微分的定义与计算3.2.2. 微分中值定理与导数的应用3.3. 函数的凸性与最值3.3.1. 函数的单调性与凸性3.3.2. 最值问题与应用4. 微分中值定理与导数应用4.1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理4.2. 柯西中值定理与洛必达法则4.3. 震荡定理与不等式的应用4.4. 张贴问题与曲线追踪5. 积分与不定积分5.1. 积分的概念与性质5.1.1. 不定积分的定义5.1.2. 积分运算法则5.2. 牛顿-莱布尼兹公式与变限积分 5.2.1. 牛顿-莱布尼兹公式的应用 5.2.2. 变限积分的计算5.3. 定积分的概念与性质5.3.1. 定积分的定义5.3.2. 定积分的计算方法5.4. 积分中值定理与上积分5.4.1. 积分中值定理的应用5.4.2. 上积分的概念与计算6. 积分应用与定积分计算6.1. 曲线的长度与平面图形的面积6.1.1. 曲线长度的计算6.1.2. 平面图形面积的计算6.2. 旋转体的体积与平面曲线的求弧长6.2.1. 旋转体的体积计算6.2.2. 平面曲线弧长的计算6.3. 曲线的参数方程与极坐标方程6.3.1. 参数方程与极坐标方程的基本概念6.3.2. 参数方程与极坐标方程的应用7. 微分方程初步7.1. 微分方程的基本概念与解的存在唯一性 7.2. 一阶微分方程的解法7.2.1. 可分离变量的微分方程7.2.2. 齐次与一阶线性微分方程7.2.3. 可降阶的高阶微分方程7.3. 二阶线性齐次微分方程7.3.1. 齐次线性微分方程的基本概念7.3.2. 常系数齐次线性微分方程的解法 7.4. 可降阶的高阶线性微分方程7.4.1. 高阶线性微分方程的基本概念7.4.2. 可降阶的高阶线性微分方程的解法8. 多元函数微分学8.1. 二元函数与偏导数8.1.1. 二元函数的概念与性质8.1.2. 偏导数的定义与计算8.2. 多元函数的微分8.2.1. 多元函数的全微分8.2.2. 隐函数与反函数的微分8.2.3. 多元函数的全微分与偏导数8.3. 多元函数的极值与条件极值8.3.1. 多元函数的极值及其判定条件8.3.2. 多元函数的条件极值及其求解9. 重积分9.1. 二重积分的概念与性质9.1.1. 二重积分的定义9.1.2. 二重积分的计算方法9.2. 二重积分的应用9.2.1. 平面图形的质心与重心 9.2.2. 轴对称曲面的体积计算 9.3. 三重积分的概念与性质9.3.1. 三重积分的定义9.3.2. 三重积分的计算方法9.4. 三重积分的应用9.4.1. 空间图形的体积计算9.4.2. 质量和质心的计算10. 曲线积分与曲面积分10.1. 曲线积分的概念与计算10.1.1. 第一类曲线积分10.1.2. 第二类曲线积分10.2. Green公式与环流量10.2.1. Green公式的推导与应用10.2.2. 曲线的环流量计算10.3. 曲面积分的概念与计算10.3.1. 第一类曲面积分10.3.2. 第二类曲面积分10.4. Stokes公式与散度定理10.4.1. Stokes公式的应用10.4.2. 散度定理的应用11. 序列与级数11.1. 数列的极限与收敛性11.1.1. 数列极限的概念与性质11.1.2. 数列收敛性的判定准则11.2. 函数项级数11.2.1. 函数项级数的收敛性判定11.2.2. 常见函数项级数的性质11.3. 幂级数与Taylor展开11.3.1. 幂级数的概念与收敛半径11.3.2. Taylor级数与Maclaurin级数11.4. 函数的一致收敛性11.4.1. 函数列的逐点收敛与一致收敛11.4.2. 一致收敛的判定条件以上为《高等数学上册》教材目录的简要内容概述，各章节内容详细，适合根据教材目录迅速定位所需知识点并展开学习。

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）.（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭10．设()f x 为连续函数，则()102f x dx '⎰等于（）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．()21ln dxx x =+⎰.三．计算 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分xxe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分）1．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》习题1参考答案一．选择题1．B 4．C 7．D 10．C 二．填空题 1．2- 2．33- ３．arctan ln x c + 三．计算题１①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ()1x ex C --++四．应用题１． 18S =《高数》习题2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()2g x x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121xx e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰③2xx e dx ⎰四.应用题(每题10分,共20分)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》习题2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π 三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=-3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》习题3（上）一、填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.《高数》习题3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰《高数》习题4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2（）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 9、⎰=+101dx e e xx（）. A 、21ln e + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e +二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；四、应用题（每小题10分）1、求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0 三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e- ；四、1、38；《高数》习题5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a xx ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C xxdx 211tan 7、计算⎰xdx x e xcos sin sin 的结果中正确的是（）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分⎰e edx x 1ln ；四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.参考答案一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x x x ； 3、dx xx 221)1(1-- ； 4、C x ++ln 22 ； 5、)12(2e - ；四、1、 29；。

《高等数学》详细上册答案(一--七)

2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。

第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。

高等数学同济二版上册课后答案

第一章1-4节 1、计算下列极限7）2382lim 222+--+→x x x x x分析：本题分子分母同时趋近于0，根据表达式的形式，考虑利用约分将趋于0的项约去。

解：原式6)1(lim )4(lim 14lim )2)(1()2)(4(lim2222=-+=-+=---+=→→→→x x x x x x x x x x x x 9）)sin(sin sin lima x ax a x --→分析：本题分子分母同时趋于0，但不能约分，利用复合函数求极限，通过变量替换进行求解解一：令0,,,→→+=-=u a x u a x a x u 时则。

a uua a u u u a a u u a a uau a u a u a u a u u u u u cos )2cos42sinsin (cos lim ]2cos2sin 2)2sin 21(sin [cos lim ]sin )1(cos sin [cos lim sin sin sin cos cos sin limsin sin )sin(lim020000=-=-+=-+=-+=-+=→→→→→原式解二：利用三角函数的和差化积，以及等价替换a ax ax a x a x a x a x a x ax cos 22cos 2lim )sin(2sin 2cos2lim=--⋅+⋅=--+=→→原式11）6)1(lim )4(lim 14lim 4lim 020202230=++-=++-=++-→→→→t t t t t t t t t t t t t t t (应该为4) 13）31)312(lim 2lim )312)(4()4(2lim )312)(4(9)12(lim 4312lim44444=++=++--=++--+=--+→→→→→x x x x x x x x x x x x x x本题利用了分子有理化 2、计算下列极限 1）nnn arctan lim∞→解：因为2arctan 01π<→∞→n ，n，n 而时，无穷小与有界函数之积仍然为无穷小，所以原式n nn arctan 1lim∞→==0 2）0sin 1lim 1sin lim=+=+∞→∞→n n nn n n n n 3）1arctan 11arctan 11lim arctan arctan lim =+-=+-∞→∞→xxxx x x x x x x 第一章1-5节 1、计算下列极限 2）βαβαββααβα==→→x x x x x x x x sin sin lim sin sin lim00解法2：原式βαβα==→x x x 0lim5）212cos122sin 21lim 2cos 2sin 22sin 2lim sin cos 1lim 0200=⋅⋅=⋅=-→→→x x x x x x xx x x x x x 解法2：原式2121lim 20=⋅=→x x x x7）πππππ-=-=-=-=-→→→→uu u u u u x x u u u x 0001lim tan lim )1(tan lim 1tan lim分析：本题利用了变量替换和等价替换 9）2)2(21lim )12(coslim 222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞→∞→x x x x x x分析：∞→x 时，02→x 。

同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解),DOC

(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
解得 z 14
9
即所求点为 M（0，0，14 ）.
9
7. 试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证： (a b) c a (b c) .
3 i 14
1 j 14
2 k.
14
14. 三个力 F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力 R 的大小和方向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
| R | 22 12 42 21
cos 2 , cos 1 , cos 4 .
故 A 的坐标为 A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是 P1（4，0，5），终点是 P2（7，1，3），试求：
（1） P1P2 在各坐标轴上的投影；（2） P1P2 的模；
（3） P1P2 的方向余弦；
（4） P1P2 方向的单位向量.
解：（1） ax Pr jx P1P2 3,
ay Pr jy P1P2 1,
练习 5-2
练习 5-3
练习 5-4
总习题五
练习 6-2
练习 6-3
(2) s 22 (3)2 (4)2 29
(3) s (1 2)2 (0 3)2 (3 4)2 67
(4) s (2 4)2 (1 2)2 (3 3)2 3 5 .
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

高数上知识点总结

高数上知识点总结(zǒngjié)高数上知识点总结(zǒngjié)高等数学(shùxué)是考研数学的重中之重，所占分值较大，需要复习的内容也比拟(bǐnǐ)多。

主要包括8方面(fāngmiàn)内容。

1、函数、极限与连续。

主要考查分段函数极限或极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比拟;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。

2、一元函数微分学。

主要考查导数与微分的求解;隐函数求导;分段函数和绝对值函数可导性;洛比达法那么求不定式极限;函数极值;方程的根;证明函数不等式;罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理及辅助函数的构造;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

3、一元函数积分学。

主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明题;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。

4、向量代数和空间解析几何。

主要考查求向量的数量积、向量积及混合积;求直线方程和平面方程;平面与直线间关系及夹角的判定;旋转面方程。

5、多元函数微分学。

主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;二元、三元函数的方向导数和梯度;曲面和空间曲线的切平面和法线;多元函数极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。

6、多元函数的积分学。

这局部是数学一的内容，主要包括二、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序;第一型曲线和曲面积分计算;第二型(对坐标)曲线积分计算、格林公式、斯托克斯公式;第二型(对坐标)曲面积分计算、高斯公式;梯度、散度、旋度的综合计算;重积分和线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。

7、无穷级数。

高等数学测试题及解答上部分1-6章

第一单元函数与极限一、填空题 1、已知x xf cos 1)2(sin+=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

高等数学(同济六版)上册总结

高等数学知识纲要一、定义1、基本初等函数、初等函数2、极限（数列、函数）理解定义3、无穷小与无穷大4、函数连续与间断（点、区间）5、导数与微分（点、区间）6、原函数与不定积分7、定积分理解定义二、性质1、极限的性质2、收敛函数的性质3、闭区间上连续函数性质4、中值定理5、不定积分与定积分的性质三、关系1、数列（函数）敛散性与有界性之间2、收敛数列及其子数列之间3、函数极限与左右极限4、无穷小与无穷大5、连续与可导、可导与可微6、驻点与极值点、极值之间、极值与最值之间7、连续与可积四、计算（极限、导数、积分）五、应用1.导数的几何意义应用（切线、法线方程）2.导数的应用（单调性、凹凸性、极值、最值）3.定积分的应用极限的运算运算法则（四则、复合、换序）1、特殊极限1sin lim ,1sin lim ,1sin lim 000===→→→uux x x x u x x 对比0sin lim =∞→x x x e ue x e x uu xx x x =+=+=+∞→→∞→)11(lim ,)1(lim ,)11(lim 10 2、等价无穷小当0→x 时，kx kx kx kx arctan ,arcsin ,tan ,sin ～kxx cos 1-～22x ,11-+nx ～nx3、有理函数的极限?)()(lim0=→x Q x P x x当0)(0≠x Q 时, )()()()(lim000x Q x P x Q x P x x =→. 当0)(0=x Q 且0)(0≠x P 时, ∞=→)()(lim0x Q x P x x .当Q (x 0)=P (x 0)=0时, 先将分子分母的公因式(x -x 0)约去. ⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→mn m n b a mn b x b x b a x a x a mm m n n n x 0 lim 00110110 4、导数定义若)(0x f '存在，则=+-→hh x f x f h )()(lim000)(0x f '-. =--+→hh x f h x f h )()5(lim000)(60x f '5、罗比达法则（00或∞∞型，∞⋅0、∞-∞、00、∞1、0∞型的未定式）1.0)3562(lim 20142013=-+∞→x x x 2.535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ3. e x x xx x x xx =+=+⋅→→sin sin 101)sin 1(lim )sin 1(lim4. =-+=-→-→xx xx x x111111)11(lim lim 1-e .5.=+-=+++-⋅+∞→-∞→xx x x x x xx x 633361)631(lim )63(lim 3-e .6.2211)1(4lim 145lim 11=⋅--=---→→x x x x x x x 7.21)1cos ()1(cos 2lim )1cos )(1(cos 1cos lim )1(cos 1cos lim 2000-=+-=+--=--→→→x x x x x x x x x x x x x 8.3232lim 2sin 3)1(cos tan lim )1sin 1)(11(tan sin lim 22020320-=⋅⋅-=⋅-=-+-+-→→→xx x x xx x x x x xx x x x216lim 2sin tan sin lim 2)1sin 1(tan sin limsin 1tan 1sin 1lim33020202-==-=-+-=-++-+→→→→x x x x x x x x x x xx x x x x x x x10.81)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222-=--=-→→x x x x x x x ππππ 11.2111lim )1112(lim 2121-=--=---→→x x x x x x 12.1lim )(sin lim )ln(sin lim )ln(sin 0===→→→x x x x xx x xe e x13. ex xe xdt e xdte xx x t x xt x 212sin lim limlim222cos 02cos 121cos 0==--→-→-→⎰⎰导数与微分的运算练习1.已知1sin +=x xey ，求22dxy d . y d dy 2,解：1)cos (sin ++=x e x x dxdy ，122cos 2+=x xe dx y d dx e x x dy x 1)cos (sin ++=，212cos 2dx xe y d x +=2.已知⎩⎨⎧==te y t e x tt cos sin 求3π=t 时dx dy的值. （参看P112-5.6.7）解：tt tt t e t e t e t e t x t y dx dy tt t t sin cos sin cos sin cos sin cos )()(+-=+-=''=，所以3π=t 时=dxdy23-. 3.已知0333=-+xy y x ,求dxdy .（参看P111-1）解：0333322=--+dxdy x y dx dy yx ，x y x y dx dy --=224.已知xy e yx 2=+,求dxdy .解： dx dy x y dx dy e yx 22)1(+=++，xxy xyy dx dy --=5.已知5ln 2+=x x y ,求dxdy .解：xx x e x ln =于是有)1(ln )()(ln +='='x x e x x x x x 故)1(ln 2+=x x dxdy x（或先用对数求导法求x x y =的导数） 6.x x y sin = ，求y '.解：等式两端取自然对数得x x y ln sin ln =，等式两端对x 求导，得xx x x y y sin ))(ln (cos +='，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='x x x x x x x x x y y x sin ))(ln (cos sin ))(ln (cos sin 练习：1cos sin +=xx y ，求y '. 7、()()54132+-+=x x x y 求'y解：两端同时取自然对数得()()()1ln 53ln 42ln 21ln +--++=x x x y两端同时对x 求导得153421211'+--++=⋅x x x y y故()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++=1534221132153422154'x x x x x x x x x y y 8.32)3()2(1-++=x x x y ，求y '.解：等式两端取自然对数得[])3ln(3)2ln(2)1ln(21ln --+-+=x x x y等式两端对x求导，得)332211(21--+-+='x x x y y ，)332211()3()2(12132--+-+-++='x x x x x x y （对数求导法参看P112-4）9. ⎰-=2)(x tdt e x f ，x e dxdudt e du d x f u x u u t 2)(20-=-=⋅='⎰=22xxe -10.⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+++=+=xx x x x xdt t dt t dt t dt t dt t x f 011111)(222xx x dt t dt t x f x x +-+='+-'+='⎰⎰1)2(1)1()1()(202（对数求导法参看P243-5）积分的计算练习1.dxx x ⎰-1tan cos12解：dxx x ⎰-1tan cos 12=)1(tan 1tan 1--⎰x d x =C x +-1tan 22.计算不定积分⎰xx dxsin cos .解：==⋅=⎰⎰⎰x xd xxx dx x x dx tan tan sec cos sin sin cos 2C x +tan ln 3.计算不定积分dx x x x⎰+2)ln (ln 1. 解： ==+⎰⎰)ln ()ln (1)ln (ln 122x x d x x dx x x x C xx +-ln 1（凑微分参看P207习题4-2和P253第1题）4.⎰-10dx xe x=⎰--10)(xe xd =[]dx exexx ⎰--+-101=[]e e e e ex 21)11(1110-=+-+-=-+--（分部积分参看P212习题4-3和P254第7题）5.dx xx ⎰--145解：令tdt dx t x t x 2,5,52-=-==-，2,1,3,4===-=t x t x dx xx ⎰--145=38532)5(2)2(5233232232-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--⎰⎰t t dt t dt t t t6.dx x 2312)1(-⎰+解：令4,1;0,0,sec ,tan 2π======t x t x tdt dx t xdx x 23102)1(-⎰+=22sin cos )(sec sec )tan 1(4040401223402====+⎰⎰⎰--ππππttdt dt t tdt t （提示：t a x x a t a x x a tan ,;sin ,2222=+=-）7、dx x x x ⎰+--6512解：dx x x x ⎰+--6512=()()⎰⎰+-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=---C x x dx x x dx x x x 3ln 22ln 3221321 （提示：设32)3)(2(1-+-=---x Bx A x x x 通分求出A,B ） 8.⎰⎰+---=---dx x x x dx x x x )1()1(352)1)(1(52622 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-----=dx x x x )1(1)1(1)1(1522 C x x x +--+--=)1(5211ln 52 （提示：设)1()1(1)1()1(322++-+-=+--x C x B x A x x x 通分求出A,B,C ）（有理函数积分参看P215例1.2.3）9.计算由x y x y ==、32所围成的图形的面积.（参看P284习题6-2）解解方程组⎩⎨⎧==xy x y 32可得⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==33y x所求面积为21)3(212=-=⎰-dy y y a 10.求曲线2223336x y +=所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.解：星形线的参数方程⎩⎨⎧==t a y ta x 33sin cos ，上半平面图形对应π≤≤t 0，第一象限对应20π≤≤t ，注意上下限对应的t 值 ⎰⎰⎰===2422233sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t at a d t a ydx A a2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=⎰⎰.当a=6时，旋转体体积为272π （参看P285第13题）证明：P74-2.3；P134-6.9.10.11;P153-5。

《高等数学(上册)》课件第三章

高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
例7
求
ln x
lim
x
xn
(n 0)．
解此题属于“ ”型未定式，应用洛必达法则有
1
xl im ln xnxxl im nxxn1
1 lim
xnxn
0
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0
0
lim f ( x ) g ( x )
lim f ( x ) g (x)
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
推论2 如果对(a,b)内的任意x，均有f ’(x)= g ’(x) ，那么在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)= g(x) +C〔 C 为常数〕．
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
例1 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日中值定理条件？假设满足，找出点．
解函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可
导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点
ξ ，使

高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件

具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例如计算物体的质量、重心、转动惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例如计算曲线的长度、面积、体积等。
积分在经济中有广泛的应用，例如计算总成本、总收益、总利润等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广，表示一个三元函数在某个区域上的累积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点

高等数学(上) 第3版教学课件6-3 一阶线性微分方程

;
例1.求微分方程′ + ∙ = − 的通解
解法1： ∵ = ,
Q = −
代入非齐次的通解公式得
= − ‫ ׬ ׬‬− ‫ ׬‬+
= − ‫ ׬‬− +

∙
只写一个原函数
例1. 求微分方程 ′ + 2 = 0的通解
解：这是一阶线性齐次微分方程
() = sec 2
代入通解公式得, =
通解
= −
− ‫ ׬‬2
齐次方程 ′ + =
的解 = − ‫ ׬‬
《高等数学》
第三节一阶线性微分方程
基础课教学部
第三节一阶线性微分方程
一、引入
二、基本概念
三、齐次方程的解法
四、经典实例
五、非齐次方程的解法
一、引入
实际问题中，事物总是不断的运动变化.
空气流动
气温变化
植物生长
？直接得出函数结构非常困难.
! 建立函数、导数、微分之间的等式（微分方程）
二.基本概念
设 = ()− ‫ ׬‬
是非齐次的通解

把C换成
C(x)！
怎么求解
呢?
常数变易法
令 = () − ‫ ׬‬
′ = ′ − ‫ ׬‬

,
则
− () − ‫ ׬‬

,
代入方程 y′ + = ()中整理
′ − ‫ ׬‬
= − ‫ ׬‬

(න ‫ ׬‬

+ )
其中为任意常数，3个积分均只写一个原函数

《高等数学》第一章(上)

25
1 005
5
超过 35 000 元至 55 000 元的部分
30
2 755
6
超过 55 000 元至 80 000 元的部分
35
5 505
7
超过 80 000 元的部分
45
13 505
第一节函数的概念
个人所得税=(工资-五险一金-个税起征点)×税率-速算扣除数，用分段函数可表示为
3%x ，
y0 y |xx0 f (x0 ) ．
函数 y f (x) 的定义域 D 是自变量 x 的取值范围，而函数值 y 又是由对应法则 f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域 D 和对应法则 f 所确定的．通常称函数的定义域 D 和对应法则 f 为函数的两要素．只要函数的定义域相同，对应法则也相同，它们就是相同的函数，而与变量用什么字母或符号表示无关．
第一节函数的概念
三、函数的概念
函数的记号通常记作 y f (x) ，在后续内容或后续课程中可能有下列记号，也表示函数．例如
y F(x)，y g(x) ，y G(x) ，y (x) ， s s(t)，v v(t) ，a a(t) ，r r( ) ．
又如，经济学中的成本函数就是表示企业总成本与产量之间关系的公式，它分为短期成本函数和长期成本函数，其中，短期成本函数 C C(q) 可分为固定成本 b 与可变成本 f (q) ，即 C b f (q) ．经济学中除了成本函数外，还有收入函数 R R(q) 和利润函数 L L(q) ，其中， L R C ，这里 q 表示产品的数量．
y f (x) ，x D ．其中，变量 x 称为自变量，变量 y 称为因变量，集合 D 称为函数的定义域， f 称为函数的对应法则．

高等数学上教案

高等数学教案一、课程的性质与任务高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。

要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。

在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

第一章：函数与极限教学目的与要求 18学时1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

第一节：映射与函数一、集合1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。

组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素1)},,,{321 a a a A2)}{P x x A 的性质=元素与集合的关系：A a ∉ A a ∈一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。

高等数学上、下册3_6 函数图形的描绘

1. 曲线渐近线的求法
铅直渐近线
2. 函数图形的描绘按作图步骤进行
作业
P141 1, 3(3), (4)
渐近线来描绘.
定义若 lim f (x) A或 lim f (x) A，则直线 y A是曲
x
x
线 y f (x)的水平渐近线.
若 lim x x0
f
(x) 或 lim x x0
f
(x) ，直线 x
x0是曲线 y
f (x)
的铅直渐近线.
例如，因为 lim 1 ， lim 1 0 ，所以直线 x 0是曲线
3
3
曲线为凹的 .当 x 1 时， y 16 .故 (1 , 16 ) 为拐点 .
3
27 3 27
（ 4） limf(x).曲线没有渐近线 . x
（ 5） yx3x2x1(x1)2(x1).当 x1时， y0.当 x0时， y1.曲线与 x轴交于点 (1,0)及 (1,0)，与 y轴交于点 (0,1).极大值 yx10.
例 1 描绘函数 y x 3 x 2 x 1 的图形 .
解（ 1）函数定义域为(,)
（ 2） y 3 x 2 2 x 1 (3 x 1)( x 1) ，驻点 x 1 , x 1 将 3
定义域分为 ( , 1 ),( 1 ,1),(1,+ )，在 ( , 1 ),(1,+ )内，
x0 x
x x
y 1 的一条铅直渐近线，直线 y 0是曲线的一条水平渐近线 x
（图 3-9）
又如，因为
lim
x
ex x2 1
0 ， lim x1

高等数学(上)第3章.第6节曲线的渐近线与函数图形的描绘

x
x (x 1)
所以曲线还有斜渐近线 y x 5 .
（5）绘画函数图像,如右图所示.
例 3 描绘函数 y
1
x2
e2
的图形．
2
解（1）所给函数 f (x)
1
x2
e2
的定义域为 (, )
.
2
由于 f (x) 是偶函数,它的图形关于 y 轴对称,因此可以只讨论 0, 上
(5) 计算特殊点 M1(0,
1
2
)
和
M
2
(1,
1
2e
)
,
M
3
(2,
1 ) .结合（3）和（4） 2 e2
的结论以及偶函数的对称性,便可得到函数的图形．
三、内容小结
1. 曲线的渐近线（1）水平渐近线（2）铅直渐近线（3）斜渐近线
2. 函数图形的描绘（主要步骤）
思考与练习
1.求函数 f ( x) x2 的斜渐近线. 1 x
斜渐近线 y kx b 的求法：
由 lim[ f (x) (kx b)] 0 ,得 x
lim f (x) (kx b) 0
x
x
所以
k lim f (x) , b lim[ f (x) kx]
x x
x
例1
求曲线 y
x3 的渐近线. x2 2x 3
f (x)
0
—
—
—
f (x)
—
—
0
+
f (x)
极大
拐点
由上表可知,曲线弧在 0,1上是下降而且凸的,曲线弧在 1, 上是下降而且凹的.
结合 f (0) 0 以及图形关于 y 轴对称可知,极大值 f (0) 1 ,函数无极小值. 2

高等数学(上册)-第3章第6讲(弧微分与曲率)[19页]

(2)在工程设计中，一般可用曲率圆在点M 附近的一段弧近似代替曲线弧.
18
高等数学（上册）（慕课版）
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |

O
x0
y f (x)
M
•
x
x
4
一、弧微分
弧微分公式 ds ? ds s(x)dx 先求s s(x)的导数 d s lim s
d x x0 x
s ? x
在x处给自变量x一增量x,
相应的有向弧段的值s有增量s,
s M0M M0M MM
s s MM MM MM x x x MM x
解根据摆线方程可得x(t) a a cos t，y(t) a sin t，故
y(x) d y y(t) sin t cot t ，
d x x(t) 1 cos t
2
y(x)
d2 y d x2
d dt
cot
t 2
1 x(t)
1 2 sin2
t
1 a(1 cos t)
a(1
1 cos
y
K
y
3
(1 y2 )2
分析
K
d
ds
s s(x), (x)
d
ds
d?dx
ds dx
M
•
s
M
M •
0
•
O
x
ds dx
1 y2
d
dx
?
12
二、曲率
证明
tan y,
sec2 d y.
dx
d
dx
y
sec2
y
1 tan2
y 1 y2
.
又 d s 1 y2 dx