有限元分析的一般过程

一、结构的离散化

将结构或弹性体人为地划分成由有限个单元，并通过有限个节点相互连接的离散系统。

这一步要解决以下几个方面的问题:

1、选择一个适当的参考系，既要考虑到工程设计习惯，又要照顾到建立模型的方便。

2、根据结构的特点，选择不同类型的单元。对复合结构可能同时用到多种类型的单元，此时还需要考虑不同类型单元的连接处理等问题。

3、根据计算分析的精度、周期及费用等方面的要求，合理确定单元的尺寸和阶次。

4、根据工程需要，确定分析类型和计算工况。要考虑参数区间及确定最危险工况等问题。

5、根据结构的实际支撑情况及受载状态，确定各工况的边界约束和有效计算载荷。

二、选择位移插值函数

1、位移插值函数的要求

在有限元法中通常选择多项式函数作为单元位移插值函数，并利用节点处的位移连续性条件，将位移插值函数整理成以下形函数矩阵与单元节点位移向量的乘积形式。

位移插值函数需要满足相容（协调）条件，采用多项式形式的位移插值函数，这一条件始终可以满足。

但近年来有人提出了一些新的位移插值函数，如：三角函数、样条函数及双曲函数等，此时需要检查是否满足相容条件。

2、位移插值函数的收敛性（完备性）要求：

1）位移插值函数必须包含常应变状态。

2）位移插值函数必须包含刚体位移。

3、复杂单元形函数的构造

对于高阶复杂单元，利用节点处的位移连续性条件求解形函数，实际上是不可行的。因此在实际应用中更多的情况下是利用形函数的性质来构造形函数。

形函数的性质：

1）相关节点处的值为 1，不相关节点处的值为 0。

2）形函数之和恒等于 1。

1、建立数学模型（特征消隐，理想化，清除）（（即从CAD 几何体→FEA 几何体），共

有下列三法：▲ 特征消隐：指合并和消除在分析中认为不重要的几何特征，如外圆角、圆边、标志等。▲ 理想化：理想化是更具有积极意义的工作，如将一个薄壁模型用一个平面来代理▲ 清除：因为用于划分网格的几何模型必须满足比实体模型更高的要求。）

2、建立有限元模型：（选择网格种类及定义分析类型；添加材料属性；施加约束；定义载

荷；网格划分）

3、求解有限元模型：再在此基础上计算应变和应力等其它物理量；在热分析中，FEA 首先

计算的是网格中每个节点的温度（标量），再在此基础上计算温度梯度和热流等其它物理量. 一般如果模型可划分网格，那么它就可以求解，但如果没有定义材料或载荷，则求解会终止。

4、结果分析：材料线性假设、小变形假设、静态载荷假设等等。

这里我们称为的相关节点，为的相关节点，其它点均为不相关节点。

三、单元分析

目的：计算单元弹性应变能和外力虚功。

使用最小势能原理，需要计算结构势能，由弹性应变能和外力虚功两部分构成。结构已经被离散，弹性应变能可以由单元弹性应变能叠加得到，外力虚功中的体力、面力都是分布在单元上的，也可以采用叠加计算。

2、计算单元外力功

从前面推导可以看出：

单元弹性应变能可计算的部分只有单元刚度矩阵，单元外力虚功可计算的部分只有单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量。在实际分析时并不需要进行上述推导，只需要将假定的位移插值函数代入本节推导得出的单元刚度矩阵、等效体力载荷向量和等效面力载荷向量的计算公式即可。

所以我们说有限元分析的第三步是计算单元刚度矩阵、等效体力载荷向量和等效面力载荷向量。

几点说明：

1）单元刚度矩阵具有正定性、奇异性和对称性三各重要特性。所谓正定性指所有对角线元素都是正数，其物理意义是位移方向与载荷方向一致；奇异性是说单元刚度矩阵不满秩是奇异矩阵，其物理意义是单元含有刚体位移；对称性是说单元刚度矩阵是对称矩阵，程序设计时可以充分利用。

2）按照本节公式计算的单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量称为一致载荷向量。实际分析时有时也采用静力学原理计算单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量，实际应用表明在大多数情况下，这样做可以简化计算，同时又基本上不影响分析结果。