5.1平面向量的概念及线性运算练习题

§5.1 平面向量的概念及线性运算
一、选择题
1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是（）
A.a∥b
B.a⊥b
C.{0,1,3}
D.a+b=a-b
答案B
2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析若a＋b＝0，则a＝－b.
∴a∥b；
若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．
答案 A
3．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则( )．
A.PA→＋PB→＝0
B.PC→＋PA→＝0
C.PB→＋PC→＝0
D.PA→＋PB→＋PC→＝0
解析如图，根据向量加法的几何意义，BC→＋BA→＝2BP→⇔P是AC的中点，
∴PA→＋PC→＝0.
答案 B
4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( ) A．－3 B．2 C．4 D．－6
解析因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，
∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6.
答案D
5．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则四边形ABCD 的形状是( )．
A．矩形B．平行四边形
C．梯形D．以上都不对
解析由已知AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→.
∴AD→∥BC→，又AB→与CD→不平行，
∴四边形ABCD是梯形．
答案 C
6．已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m，使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
解析∵MA→＋MB→＋MC→＝0，∴点M是△ABC的重心，
∴AB→＋AC→＝3AM→，∴m＝3.
答案 B
7.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A 等于( )
A．30°B．60°
C．90°D．120°
解析：由OA＋OB＋CO＝0得OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°.
答案：A
二、填空题
8.已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA －3OB ＋2OC ＝0，则|AB ||BC |
＝________.
解析：由OA －3OB ＋2OC ＝0，得OA －OB ＝2(OB －OC )，
即BA ＝2CB ，于是|AB ||BC |
＝2. 答案：2
9．给出下列命题：
①向量AB
→的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量AB
→与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上． 其中不正确的个数为________．
解析 ①中，∵向量AB
→与BA →为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确．
②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．
③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．
④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．
⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB
→与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．
答案 3
10.已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=；则_____b =.
解析
答案 3211．若M 为△ABC 内一点，且满足AM →＝34AB →＋14
AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．
解析由题知B 、M 、C 三点共线，设BM
→＝λBC →，则：AM →－AB →＝λ(AC →－AB →)， ∴AM
→＝(1－λ)AB →＋λAC →， ∴λ＝14
， ∴S △ABM S △ABC ＝14
. 答案 14
12．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB
→－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．
解析 (等价转化法)OB
→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →， OB
→－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB
→＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．
答案 直角三角形
【点评】 本题采用的是等价转化法，将△ABC 的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论.
三、解答题
13．如图所示，△ABC 中，AD →＝23
AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，AM 是BC 边上的中线，交DE 于N .设AB
→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 分别表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →，
AN →.
解析AE →＝23b ，BC →＝b －a ，DE →＝23(b －a )，DN →＝13(b －a )， AM →＝12(a ＋b )，AN →＝13
(a ＋b )． 14．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？
解析 设a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a －13a ＋b (λ∈R )， 化简整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －13λb ＝0， ∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理有
⎩⎪⎨⎪⎧ 23λ－1＝0，t －λ3＝0，∴⎩⎨⎧ λ＝32，t ＝12.
故t ＝12时，a ，t b ，13
(a ＋b )的终点在一条直线上． 15．如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE
＝23
AD ，AB ＝a ，AC ＝b . (1)用a ，b 表示向量AD 、AE 、AF 、BE 、BF ；
(2)求证：B 、E 、F 三点共线．
解析：(1)延长AD 到G ，
使AD＝1
2AG，
连结BG、CG，得到▱ABGC，所以AG＝a＋b，
AD＝1
2AG＝
1
2
(a＋b)，
AE＝2
3AD＝
1
3
(a＋b)，
AF＝1
2AC＝
1
2
b，
BE＝AE－AB＝1
3
(a＋b)－a＝
1
3
(b－2a)，
BF＝AF－AB＝1
2
b－a＝
1
2
(b－2a)．
(2)证明：由(1)可知BE＝2
3BF，
所以B、E、F三点共线．
16．已知O，A，B三点不共线，且OP→＝mOA→＋nOB→，(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明(1)m，n∈R，且m＋n＝1，
∴OP→＝mOA→＋nOB→＝mOA→＋(1－m)OB→，
即OP→－OB→＝m(OA→－OB→)．
∴BP→＝mBA→，而BA→≠0，且m∈R.
故BP→与BA→共线，又BP→，BA→有公共点B.
∴A，P，B三点共线．
(2)若A ，P ，B 三点共线，则BP →与BA →共线，故存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB
→＝λ(OA →－OB →)．
即OP →＝λOA →＋(1－λ)OB →.
由OP →＝mOA →＋nOB →.
故mOA →＋nOB →＝λOA →＋(1－λ)OB →.
又O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线．
由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝λ，
n ＝1－λ.
∴m ＋n ＝1.。