9.4.1圆的标准方程(一)

y
M3
o
M2 A M1
x
知识小结
圆的基本要素
圆的标准方程
圆心在原点的 圆的标准方程
判断点与圆 的位置关系
作业
课本101页 第1，2题 第3题（1）（3）（4）
7
(3) x2+(y+1)2 = 16. (4) 2x2+2y2=8
4 2
圆的标准方程:
知识巩固
例2 写出下列各圆的方程 (1)圆心在原点,半径是3.
(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心（a,b);半径 r
y
O p(5,1)
x2+y2=9
(2)圆心在(3,4),半径是 5 .
x
C(8,-3)
(x-3)2+(y-4)2=5
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆 的方程，把它叫做圆的标准方程.
特殊位置的圆方程
圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带入圆的标准方程：
(x a) ( y b) r
2 2 2
得： 整理得：
( x 0) ( y 0) r
y M (x, y) r A(a,b) O x
圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能 用什么公式表示？
根据两点间距离公式：P1 P2

x 2 x1
2
y 2 y1 .
2
MA 则点M、A间的距离为：
x a 2 y b 2 .
即：
p M | MA | r
( x a) ( y b) r
2 2
(x a) ( y b) r
2 2
2
圆的标准方程
(x a) ( y b) r
2 2 2
是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这 个方程的坐标的点都在圆上？
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐 标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程， 这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
心坐标和半径就可以写出圆的方程。
典型例题
例2 过点 A ( 2 , 3 ) ， B ( 2 , 1) 且半径为 5 的圆的 方程. 解：设圆心坐标为 ( a , b ) ，则圆的标准方程是：
( x a) ( y b) 5
2 2
你能用其 他方法解 题吗？
依题意，得
a 2 (1 b ) 2 5 ( 2 a ) 2 (1 b ) 2 5
2 2
2
x y r
2 2
2
圆的标准方程:
知识巩固
例1 (1) (x-3)2+(y+2)2 = 4. (2) (x+4)2+(y-2)2
= 7.
(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心（a,b);半径 r
(口答)说出下列圆的圆心坐标和半径
(3,-2) (-4,2) (0,-1) (0 ,0) 2
9.4.1 圆的标准方程（一）
复习引入
我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两 点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直 线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
y M
r
A O x
引入新课
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定 了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径． 如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用 坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y) 与圆心A (a,b) 的距离．
2 2 2
还是在圆外呢？
y
M3
o
M2 A M1
x
点与圆的位置关系
2 ) ( 25 怎样判断点 M 0 ( x 0 ,(y 0 在圆((xya2 ) 2 y b ) r x ) 1) 圆的标准方程为：
2 2
2
判断点 P1 ( 5 , 1) 和 P2 (1 , 2 ) 内呢？还是在圆外呢？ 是在圆上、圆内还是圆外？ 可以看到：点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ； 点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r ．
解此方程组，得
a 1 b 1
或
a 1 b 3
来自百度文库
点与圆的位置关系
从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个 点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在 这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上． 怎样判断点 M 0 ( x 0 , y 0 ) 在圆 ( x a ) ( y b ) r 内呢？
(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3).
(x-8)2+(y+3)2=25
典型例题
例1 根据下列条件，求圆的标准方程：
（1）圆心在点 C ( 2 , 1) ，并且过点 A ( 2 , 2 ) ；
（2）过点 A ( 2 , 3 ) ，B ( 4 , 9 )，且以线段 AB 为直径。 分析：圆心和半径是圆的两要素，只要确定圆