m序列和Gold序列特性研究要点上课讲义

m序列和G o l d序列特性研究要点
Harbin Institute of Technology
扩频通信实验报告
课程名称：扩频通信
实验题目：Gold码特性研究
院系：电信学院
班级：通信一班
姓名：
学号：
指导教师：迟永钢
时间： 2012年5月8日
哈尔滨工业大学
第1章实验要求
1.以r=5 1 45E为基础，抽取出其他的m序列，请详细说明抽取过程；
2.画出r=5的全部m序列移位寄存器结构，并明确哪些序列彼此是互反多项
式；
3.在生成的m序列集中，寻找出m序列优选对，请确定优选对的数量，并画
出它们的自相关和互相关函数图形；
4.依据所选取的m序列优选对生成所有Gold序列族，确定产生Gold序列族
的数量，标出每个Gold序列族中的所有序列，并实例验证族内序列彼此的自相关和互相关特性；
5.在生成的每个Gold序列族内，明确标出平衡序列和非平衡序列，并验证其
分布关系。

6.完整的作业提交包括：纸质打印版和电子版两部分，要求两部分内容统
一，且在作业后面附上源程序，并加必要注释。

7.要求统一采用Matlab软件中的M文件实现。

第2章 实验原理
2.1 m 序列
二元m 序列是一种伪随机序列，有优良的自相关函数，是狭义伪随机序列。

m 序列易于产生于复制，在扩频技术中得到了广泛应用。

2.1.1 m 序列的定义
r 级非退化的移位寄存器的组成如图1所示，移位时钟源的频率为c R 。

r 级线性移位寄存器的反馈逻辑可用二元域GF(2)上的r 次多项式表示
2012() {0,1}r r i f x c c x c x c x c =++++∈L (1)
图 2-1 r 级线性移位寄存器
式(1)称为线性移位寄存器的特征多项式，其给出的表示反馈网络的而逻辑关系式是现行的。

因此成为线性移位寄存器。

否则称为，非线性移位寄存器。

对于动态线性移位寄存器，其反馈逻辑也可以用线性移位寄存器的递归关系式来表示
112233 {0,1}i i i i r i r i a c a c a c a c a c ----=++++∈L (2) 特征多项式(1)与递归多项式(2)是r 级线性移位寄存器反馈逻辑的两种不同种表示法，因其应用的场合不同而采用不同的表示方法。

以式(1)为特征多项式
的r 级线性反馈移位寄存器所产生的序列，其周期21r N ≤-。

假设以GF(2)域上r 次多项式(1)为特征多项式的r 级线性移位寄存器所产生的非零序列{}i a 的周期为21r N =-，称序列为{}i a 是最大周期的r 级线性移位寄存器序列，简称m 序列。

2.2.2 m 序列的自相关函数
根据序列自相关函数的定义以及m 序列的性质，很容易求出m 序列的自相关函数 1 ()1 mN R mN N τττ=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩ (3)
但是(3)式给出的是m 序列的自相关函数，并不是m 码的自相关函数。

首先将m 序列变换为m 码。

将m 序列的每一比特换为宽度为(1/)c c c T T R =、幅度为1的波形函数，当m 序列为0元素时，波形函数取正极性，否则取负极性。

通过这样的变换后，周期为N 的m 序列就变为宽度为c T 、周期为c NT 的m 码。

m 码的自相关函数()R τ是一个周期函数，其周期为N ，在
(1)c c T N T τ-≤≤-区间内m 码的自相关函数表达式为 11()()()c c T k N R kNT N N ττδτ∞=-∞+=-+Λ*+∑ (4)
2.2.3 m 序列的互相关函数
m 序列的互相关函数不具有理想的双值特性。

m 序列的互相关函数是指长度相同而序列结构不同的两个m 序列之间的相关函数。

研究表明，长度相同结构不同的m 序列之间的互相关函数不再是双值函数，而是一个多值函数。

互相关函数值的个数与分元培集的个数有关。

2.2.4 m 序列的构造
构造一个产生m 序列的线性移位寄存器，首先要确定本原多项式。

本原多项式确定后，根据本原多项式可构造出m 序列移位寄存器的结构逻辑图。

本原多项式的寻找是在所有r 次多项式中去掉其中的可约多项式，在剩余的r 次不可约多项式中，根据本原多项式的定义用试探的办法，查看其产生的序列是否为m 序列。

若产生的序列是m 序列，则该多项式为本原多项式，否则就不是本原多项式。

这一方法可以通过计算机编程来实现。

2.2 Gold 序列
Gold 序列具有良好的自相关与互相关特性，可以用作地址码的数量远大于m 序列，而且易于实现、结构简单，在工程上得到广泛的应用。

2.2.1 m 序列优选对
m 序列优选对，是指在m 序列集中，其互相关函数绝对值的最大值(称为峰值互相关函数)max ()R τ最接近或达到互相关值下限的一对m 序列。

设{}i a 是应对于r 次本原多项式1()F x 所产生的m 序列，{}i b 是对应于r 次本
原多项式2()F x 所产生的另一m 序列，当序列{}i a 与{}i b 的峰值互相关函数(非归
一化)max ()ab R τ满足下列关系： 112max 2122 ()2 r
ab r r R r τ++++⎧⎪≤⎨⎪⎩为奇数为偶数且不是4的倍数 (5)
则1()F x 与2()F x 所产生的m 序列{}i a 与{}i b 构成m 序列优选对。

2.2.2 Gold 序列族
在给定了移位寄存器级数r 时，总可以找到一对互相关函数值是最小的码序列，采用移位相加的方法构成新的码组，其互相关旁瓣都很小，而且自相关函数与互相关函数均是有界的。

这一新的码组被称为Gold 码或Gold 序列。

Gold 序列是m 序列的复合码序列，它是由两个码长相等、码时钟速率相同的m 序列优选对的模2和序列构成。

每改变两个m 序列相对位移就可得到一个新的Gold 序列。

当相对位移1,2,,21r -L 个比特时，就可以得到一族21r -个Gold 序列，加上原来的两个m 序列，共有21r +个Gold 序列，即
21r r G =+ (6) 产生Gold 序列的移位寄存器结构有两种形式。

一种是乘积型的，即将m 序列优选对的两个特征多项式的乘积多项式作为新的特征多项式，根据此2r 次多项式构成新的线性移位寄存器。

另外一种是直接求两m 序列优选对输出序列的模2和序列。

由于这样产生的复码的后期是组成复码的子码周期的最小公倍数，由于组成复码Gold 序列的子码的周期都是21r -，所以Gold 码序列的周期是21r -。

Gold 码族同族内互相关函数取值已有理论结果，且具有三值互相关函数的特性。

但是不同Gold 码族之间的互相关函数取值已不是三值而是多值，而且互相关值已大大超过了同族内部的互相关值。

2.2.3 平衡Gold 序列
Gold 序列就其平衡性来讲，可以分为平衡码序列和非平衡码序列。

在一个周期内，平衡码序列中1码元与0码元的个数之差为1，非平衡码元中1码元与0码元的个数之差多余1。

在扩频通信中，对系统质量影响之一就是扩频码的平衡性，平衡码具有更好的频谱特性。

在直接序列系统中码的平衡性与载波的抑
制度有密切的联系。

码不平衡时直接序列系统的载波泄露增大，这样就破坏了扩频系统的保密性、抗干扰与侦破能力。

第3章 实验设计
3.1 抽取m 序列
由文献[2]可知，给定一个最大周期的r 级线性移位寄存器序列，可以从中抽取出所有可能的最大周期的r 级线性移位寄存器序列。

即给定一r 级小m 序列，可以抽取出其他所有r 级的小m 序列。

下面首先简单叙述小m 序列抽取的定义和相关性质。

3.1.1 抽取m 序列定义
设原m 序列 0121{,,,,}N u u u u u -=L ，序列()u q 为对m 序列u 进行等间隔采样，采样间隔为q 。

即()023{,,,}q q q u q u u u u =L 。

我们定义这个过程为m 序列的抽取过程。

3.1.2 m 序列抽取性质
（1）()()2i u q u q =，即按照采样间隔为q 和按照q 二的倍数间隔采样得到是处在不同相位的同一组序列。

（2）当以间隔q 对一个m 序列采样时，新得到的序列的周期为gcd(,)
v N N N q =。

即当gcd(,)=1N q 时抽取获得的序列满足21r v N =-，即抽取所得为m 序列。

3.1.3 抽取m 序列设计
本实验中抽取m 序列的函数文件为sample.m ，对r 级m 序列抽取的q 可以
取为22r -L 1,2,
，使用Matlab 抽取获得这22r -个序列。

如果某序列移位循环k 位与另一序列相同，则它们是处于不同相位的同一m 序列，将它们对应的q 归为一类。

3.2 m 序列优选对的寻找
3.2.1 相关函数设计
本试验中求取m 序列自相关函数的函数文件为Autorelation.m 文件，求取m 序列互相关函数的函数文件为Cross_Correlation.m 文件。

在求取相关函数的过程中，我们利用的是2个序列循环移位相加的形式得到结果的，并且自相关函数是归一化的，而互相关函数则未进行归一化。

3.2.2 优选对的寻找设计
m 序列的定义详见2.2.1节，本项实验利用前面抽取获得的m 序列，依次检查两项之间的互相关函数是否满足式（5），若满足，即为优选对，，最后记录下优选对的个数和每一对的八进制表示。

3.3 Gold 序列和平衡Gold 序列
3.3.1 生成Gold 序列设计
Gold 序列是m 序列的复合码序列，它是由两个码长相等、码时钟速率相同的m 序列优选对模2和或模2乘法构成。

本报告采用模2加法实现。

利用前面获得的优选对，每改变两个序列相对位移就可得到一个新的Gold 序列。

当相对位移1,2,,21r -L 个比特时，就可以得到一族21r -个Gold 序列，加上原来m 序列优选对，共有21r +个Gold 序列，构成一个Gold 序列族。

最后记录并求其族内序列的自相关函数和互相关函数。

3.3.2 平衡Gold 序列设计
若Gold 序列中元素1的个数比元素0的个数多且仅多一个，那么这个Gold 序列就是平衡Gold 序列。

那么将所得到Gold 序列一周期内的元素相加（序列采用+1，0表示），若结果为121r -+（例如当5r =时，平衡Gold 序列中应该有17个1元素，16个0元素，相加的结果就为17），则为平衡Gold 序列，否则为不平衡Gold 序列。

记录下族内平衡和非平衡Gold 序列个数再与理论值对比。

第4章实验仿真环境和结果
4.1 实验仿真环境
操作系统：Windows XP sp3；
仿真软件：Matlab 2010b。

4.2 m序列抽取结果
当r=5时的m序列可以由5级线性反馈移位寄存器产生出，移位寄存器的结构图如图4-1所示：
图4-1 m序列发生器
由于寄存器不同的初始状态会产生同一序列的不同的相位，在本实验中寄存器初始值统一00…01。

运行程序文件sample.m，可得到如下图结果：
图4-2 抽取结果
由文献可知，按照1,2,4,8,16q =抽取获得的是与原始m 序列相同的序列，按照3,6,12,17,24q =抽取得到另一个m 序列，同理按照5,9,10,18,20q =、7,14,19,25,28q =、11,13,21,22,26q =、15,23,27,29,30q =、抽取得到另四个m 序列，一共有6组m 序列。

分别选取()1u 、()3u 、()5u 、()7u 、()11u 和()15u 作为5r =的6个m 序列的到如下所示（()u q 的定义详见3.1.1节）： 1q =时：1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0
3q =时：1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0
5q =时：1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1
1
7q =时：1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
11q =时：1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1
1
15q =时：1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
1
4.3 m 序列寄存器结构
实验要求画出r=5的全部m 序列移位寄存器结构，并明确哪些序列彼此是互反多项式。

首先查书上附录可得r=5全部的寄存器结构：45E 、57G 、67H 、51E 、75G 、73G 。

作图并标明互反多项式如下：
（a-1）45E 521()1f x x x =++
(a-2) 51E 532()1f x x x =++
即45E 和51E 两个结构为互反多项式。

(b-2) 57G 5323()1f x x x x x =++++
(b-1) 75G 54324()1f x x x x x =++++
即57G 和75G 两个结构为互反多项式。

(c-1) 67H 5425()1f x x x x x =++++
(c-2) 73G 5436()1f x x x x x =++++
即67H 和73G 两个结构为互反多项式。

我们可以发现，两互反多项式之间满足下述关系：'1()()r f x x f x
=。

4.4 m 序列优选对查找结果
4.4.1 m 序列的自相关特性
由2.2.2节可得，m 序列的自相关值满足如下条件：
1 ()1 mN R mN N
τττ=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩ 我们在用4.2节中得到r=5的6个m 序列：()1u 、()3u 、()5u 、()7u 、()11u 、()15u ，详情参见表4-1，现做他们的自相关函数，运行Autorelation.m 文件可以得到下述结果：
图4-2 m序列的自相关函数
由图可得m序列有很好的尖锋自相关函数，且符合2.2.2节中式（3）所示，实验验证结果和理论相符。

4.4.2 m序列优选对查找
根据2.2.3的基础知识和3.2节的设计思想编程得到程序文件
Cross_Correlation.m，运行得到优选对的结果如下：
图4-3 查找优选对的结果
并同时得到相应优选对的互相关函数曲线，分别如下图所示：
图4-4 优选对序列1与序列2的互相关函数
图4-5 优选对序列1与序列3的互相关函数
图4-6 优选对序列1与序列4的互相关函数
图4-7 优选对序列1与序列5的互相关函数
图4-8 优选对序列2与序列3的互相关函数
图4-9 优选对序列2与序列5的互相关函数
图4-10 优选对序列2与序列6的互相关函数
图4-11 优选对序列3与序列4的互相关函数
图4-12 优选对序列3与序列6的互相关函数
图4-13 优选对序列4与序列5的互相关函数
图4-14 优选对序列4与序列6的互相关函数
图4-15 优选对序列5与序列6的互相关函数
由这些互相关曲线可以看出，m 序列优选对的互相关性具有3值特性：()()11,,2t n t n N
---⎡⎤⎣⎦，其中()t n 满足下面的表达式： ()122221214r
r r t n r ++⎧+⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数但不是的整倍数
4.5 Gold 序列生成和相关性质结果
4.5.1 Gold 序列数量
由3.3.1节可知道，每个m 序列优选对可以产生21r +个Gold 序列，构成一个Gold 序列族。

在本试验中，由4.4.2节可以知道，当r=5时，功能找到12个优选对，即有12个Gold 序列族，而每个Gold 序列族功能产生33个Gold 序列，合计396个Gold 序列。

4.5.2 Gold序列结果及平衡性标示结果
运行函数文件GoldSerial.m，将产生12个Gold序列族，共396个Gold序列，并标明了是否为平衡序列。

下面我们将运行结果给出，如下图所示：
图4-16 优选对序列1与序列2产生的Gold序列族
图4-17 优选对序列1与序列3产生的Gold序列族
图4-18 优选对序列1与序列4产生的Gold序列族
图4-19 优选对序列1与序列5产生的Gold序列族
图4-20 优选对序列2与序列3产生的Gold序列族
图4-21 优选对序列2与序列5产生的Gold序列族
图4-22 优选对序列2与序列6产生的Gold序列族
图4-23 优选对序列3与序列4产生的Gold序列族
图4-24 优选对序列3与序列6产生的Gold序列族
图4-25 优选对序列4与序列5产生的Gold序列族
图4-26 优选对序列4与序列6产生的Gold序列族
图4-27 优选对序列5与序列6产生的Gold序列族
4.5.3 Gold序列的自相关和互相关函数验证结果
Gold序列族内33个Gold序列有两类：原始的两个m序列和由两个m序列模二加得到的序列，原始m序列以Gold序列族中第33个序列为例其自相关函数（未归一化）如下：
图4-26 Gold序列33自相关函数
我们再以Gold序列20来做自相关运算：
图4-27 Gold序列22自相关函数
同一Gold序列族内中第5个序列和第15个序列为例，考察其互相关函数如下：
图4-28 Gold 族内序列5和序列15的互相关函数
从上可以看出，Gold 序列族除了原始的两个m 序列外，其它序列都具有三值的自相关特性，并且其互相关函数具有三值旁瓣为：
[]11,(),()2t n t n N
---，其中： 12
2212()12n n t n ++⎧+⎪=⎨⎪+⎩n 为奇数n 为偶数
带入5r =可以计算出Gold 序列族的未归一化互相关函数的三值分别为：-
1、-9、-7，并且Gold 序列族自相关函数的旁瓣所取的三值与互相关函数值的三值相同，只是出现的位置不同。

由仿真结果可以看出Gold 序列族的自相关除了主瓣的峰值为31之外，旁瓣为三值特性并且与互相关所取的三值相同，为-1、-9、7，与理论分析一致。

由此可见Gold 序列有着较好的互相关性和自相关特性并且数量大大多于m 序列，可以作为扩频系统的地址码。

4.5.4 Gold 序列平衡性验证
在4.5.2节已经标示出平衡与非平衡码，在运行完GoldSerial.m 程序后，发现每一个Gold 族里都有平衡序列17个。

下面我们看看理论值如何：
理论可知Gold 序列族中平衡Gold 序列中“1”的个数为12r -，序列的数量、为：
11221221
r r r r k r ---⎧+=⎨++⎩为奇数为偶数
代入r=5可得，k=17，与仿真结果一致。

4.6 最大连通集的验证
在文献Crosscorrelation Properties of Pseudorandom and Related Sequences 中给出如下所示的列表，下面我们将给出n M 的解释和其意义。

图4-29 文献截图
M在文献中定义如下：maximal connected set，即最大连通集。

其实际意n
义为：在r给定的前提下m序列能够两两互为优选对的最大个数。

如果有k个
M。

下m序列两两互为优选对，我们定义connected set为k，k的最大值即为
n
面以r=5为例说明。

如图4-30所示，我们发现其12个优选对其实由下面4个连通集组成：
（1）45、57、67
（2）45、73、75
（3）51、57、67
（4）51、73、75
每组组内均为两两互为优选对，每个连通集的大小为3，其最大值也为3，
M 。

也就是图4-8中n=5对应着3
n
文献中给出下图也可以进行说明：
图4-30 文献截图
文献中有下述描述：The vertices of every triangle form a maximal connected set.意思是图中圆圈两两都有直线相连只有3个，组成一个三角形。

M做如下说明：
同理我们可以对n=4和6的
n
M=。

当n=4时，没有优选对，自然0
n
当n=6时，只有两个m序列互为优选对的情况，不存在三个或三个以上的
M=。

m序列胡为优选对，所以2
n。