m序列和Gold序列特性研究要点上课讲义

m序列和G o l d序列特性研究要点Harbin Institute of Technology扩频通信实验报告课程名称：扩频通信实验题目：Gold码特性研究院系：电信学院班级：通信一班姓名：学号：指导教师：迟永钢时间： 2012年5月8日哈尔滨工业大学第1章实验要求1.以r=5 1 45E为基础，抽取出其他的m序列，请详细说明抽取过程；2.画出r=5的全部m序列移位寄存器结构，并明确哪些序列彼此是互反多项式；3.在生成的m序列集中，寻找出m序列优选对，请确定优选对的数量，并画出它们的自相关和互相关函数图形；4.依据所选取的m序列优选对生成所有Gold序列族，确定产生Gold序列族的数量，标出每个Gold序列族中的所有序列，并实例验证族内序列彼此的自相关和互相关特性；5.在生成的每个Gold序列族内，明确标出平衡序列和非平衡序列，并验证其分布关系。

6.完整的作业提交包括：纸质打印版和电子版两部分，要求两部分内容统一，且在作业后面附上源程序，并加必要注释。

7.要求统一采用Matlab软件中的M文件实现。

第2章 实验原理2.1 m 序列二元m 序列是一种伪随机序列，有优良的自相关函数，是狭义伪随机序列。

m 序列易于产生于复制，在扩频技术中得到了广泛应用。

2.1.1 m 序列的定义r 级非退化的移位寄存器的组成如图1所示，移位时钟源的频率为c R 。

r 级线性移位寄存器的反馈逻辑可用二元域GF(2)上的r 次多项式表示2012() {0,1}r r i f x c c x c x c x c =++++∈L (1)图 2-1 r 级线性移位寄存器式(1)称为线性移位寄存器的特征多项式，其给出的表示反馈网络的而逻辑关系式是现行的。

因此成为线性移位寄存器。

否则称为，非线性移位寄存器。

对于动态线性移位寄存器，其反馈逻辑也可以用线性移位寄存器的递归关系式来表示112233 {0,1}i i i i r i r i a c a c a c a c a c ----=++++∈L (2) 特征多项式(1)与递归多项式(2)是r 级线性移位寄存器反馈逻辑的两种不同种表示法，因其应用的场合不同而采用不同的表示方法。

以式(1)为特征多项式的r 级线性反馈移位寄存器所产生的序列，其周期21r N ≤-。

假设以GF(2)域上r 次多项式(1)为特征多项式的r 级线性移位寄存器所产生的非零序列{}i a 的周期为21r N =-，称序列为{}i a 是最大周期的r 级线性移位寄存器序列，简称m 序列。

2.2.2 m 序列的自相关函数根据序列自相关函数的定义以及m 序列的性质，很容易求出m 序列的自相关函数 1 ()1 mN R mN N τττ=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩ (3)但是(3)式给出的是m 序列的自相关函数，并不是m 码的自相关函数。

首先将m 序列变换为m 码。

将m 序列的每一比特换为宽度为(1/)c c c T T R =、幅度为1的波形函数，当m 序列为0元素时，波形函数取正极性，否则取负极性。

通过这样的变换后，周期为N 的m 序列就变为宽度为c T 、周期为c NT 的m 码。

m 码的自相关函数()R τ是一个周期函数，其周期为N ，在(1)c c T N T τ-≤≤-区间内m 码的自相关函数表达式为 11()()()c c T k N R kNT N N ττδτ∞=-∞+=-+Λ*+∑ (4)2.2.3 m 序列的互相关函数m 序列的互相关函数不具有理想的双值特性。

m 序列的互相关函数是指长度相同而序列结构不同的两个m 序列之间的相关函数。

研究表明，长度相同结构不同的m 序列之间的互相关函数不再是双值函数，而是一个多值函数。

互相关函数值的个数与分元培集的个数有关。

2.2.4 m 序列的构造构造一个产生m 序列的线性移位寄存器，首先要确定本原多项式。

本原多项式确定后，根据本原多项式可构造出m 序列移位寄存器的结构逻辑图。

本原多项式的寻找是在所有r 次多项式中去掉其中的可约多项式，在剩余的r 次不可约多项式中，根据本原多项式的定义用试探的办法，查看其产生的序列是否为m 序列。

若产生的序列是m 序列，则该多项式为本原多项式，否则就不是本原多项式。

这一方法可以通过计算机编程来实现。

2.2 Gold 序列Gold 序列具有良好的自相关与互相关特性，可以用作地址码的数量远大于m 序列，而且易于实现、结构简单，在工程上得到广泛的应用。

2.2.1 m 序列优选对m 序列优选对，是指在m 序列集中，其互相关函数绝对值的最大值(称为峰值互相关函数)max ()R τ最接近或达到互相关值下限的一对m 序列。

设{}i a 是应对于r 次本原多项式1()F x 所产生的m 序列，{}i b 是对应于r 次本原多项式2()F x 所产生的另一m 序列，当序列{}i a 与{}i b 的峰值互相关函数(非归一化)max ()ab R τ满足下列关系： 112max 2122 ()2 rab r r R r τ++++⎧⎪≤⎨⎪⎩为奇数为偶数且不是4的倍数 (5)则1()F x 与2()F x 所产生的m 序列{}i a 与{}i b 构成m 序列优选对。

2.2.2 Gold 序列族在给定了移位寄存器级数r 时，总可以找到一对互相关函数值是最小的码序列，采用移位相加的方法构成新的码组，其互相关旁瓣都很小，而且自相关函数与互相关函数均是有界的。

这一新的码组被称为Gold 码或Gold 序列。

Gold 序列是m 序列的复合码序列，它是由两个码长相等、码时钟速率相同的m 序列优选对的模2和序列构成。

每改变两个m 序列相对位移就可得到一个新的Gold 序列。

当相对位移1,2,,21r -L 个比特时，就可以得到一族21r -个Gold 序列，加上原来的两个m 序列，共有21r +个Gold 序列，即21r r G =+ (6) 产生Gold 序列的移位寄存器结构有两种形式。

一种是乘积型的，即将m 序列优选对的两个特征多项式的乘积多项式作为新的特征多项式，根据此2r 次多项式构成新的线性移位寄存器。

另外一种是直接求两m 序列优选对输出序列的模2和序列。

由于这样产生的复码的后期是组成复码的子码周期的最小公倍数，由于组成复码Gold 序列的子码的周期都是21r -，所以Gold 码序列的周期是21r -。

Gold 码族同族内互相关函数取值已有理论结果，且具有三值互相关函数的特性。

但是不同Gold 码族之间的互相关函数取值已不是三值而是多值，而且互相关值已大大超过了同族内部的互相关值。

2.2.3 平衡Gold 序列Gold 序列就其平衡性来讲，可以分为平衡码序列和非平衡码序列。

在一个周期内，平衡码序列中1码元与0码元的个数之差为1，非平衡码元中1码元与0码元的个数之差多余1。

在扩频通信中，对系统质量影响之一就是扩频码的平衡性，平衡码具有更好的频谱特性。

在直接序列系统中码的平衡性与载波的抑制度有密切的联系。

码不平衡时直接序列系统的载波泄露增大，这样就破坏了扩频系统的保密性、抗干扰与侦破能力。

第3章 实验设计3.1 抽取m 序列由文献[2]可知，给定一个最大周期的r 级线性移位寄存器序列，可以从中抽取出所有可能的最大周期的r 级线性移位寄存器序列。

即给定一r 级小m 序列，可以抽取出其他所有r 级的小m 序列。

下面首先简单叙述小m 序列抽取的定义和相关性质。

3.1.1 抽取m 序列定义设原m 序列 0121{,,,,}N u u u u u -=L ，序列()u q 为对m 序列u 进行等间隔采样，采样间隔为q 。

即()023{,,,}q q q u q u u u u =L 。

我们定义这个过程为m 序列的抽取过程。

3.1.2 m 序列抽取性质（1）()()2i u q u q =，即按照采样间隔为q 和按照q 二的倍数间隔采样得到是处在不同相位的同一组序列。

（2）当以间隔q 对一个m 序列采样时，新得到的序列的周期为gcd(,)v N N N q =。

即当gcd(,)=1N q 时抽取获得的序列满足21r v N =-，即抽取所得为m 序列。

3.1.3 抽取m 序列设计本实验中抽取m 序列的函数文件为sample.m ，对r 级m 序列抽取的q 可以取为22r -L 1,2,，使用Matlab 抽取获得这22r -个序列。

如果某序列移位循环k 位与另一序列相同，则它们是处于不同相位的同一m 序列，将它们对应的q 归为一类。

3.2 m 序列优选对的寻找3.2.1 相关函数设计本试验中求取m 序列自相关函数的函数文件为Autorelation.m 文件，求取m 序列互相关函数的函数文件为Cross_Correlation.m 文件。

在求取相关函数的过程中，我们利用的是2个序列循环移位相加的形式得到结果的，并且自相关函数是归一化的，而互相关函数则未进行归一化。

3.2.2 优选对的寻找设计m 序列的定义详见2.2.1节，本项实验利用前面抽取获得的m 序列，依次检查两项之间的互相关函数是否满足式（5），若满足，即为优选对，，最后记录下优选对的个数和每一对的八进制表示。

3.3 Gold 序列和平衡Gold 序列3.3.1 生成Gold 序列设计Gold 序列是m 序列的复合码序列，它是由两个码长相等、码时钟速率相同的m 序列优选对模2和或模2乘法构成。

本报告采用模2加法实现。

利用前面获得的优选对，每改变两个序列相对位移就可得到一个新的Gold 序列。

当相对位移1,2,,21r -L 个比特时，就可以得到一族21r -个Gold 序列，加上原来m 序列优选对，共有21r +个Gold 序列，构成一个Gold 序列族。

最后记录并求其族内序列的自相关函数和互相关函数。

3.3.2 平衡Gold 序列设计若Gold 序列中元素1的个数比元素0的个数多且仅多一个，那么这个Gold 序列就是平衡Gold 序列。

那么将所得到Gold 序列一周期内的元素相加（序列采用+1，0表示），若结果为121r -+（例如当5r =时，平衡Gold 序列中应该有17个1元素，16个0元素，相加的结果就为17），则为平衡Gold 序列，否则为不平衡Gold 序列。

记录下族内平衡和非平衡Gold 序列个数再与理论值对比。

第4章实验仿真环境和结果4.1 实验仿真环境操作系统：Windows XP sp3；仿真软件：Matlab 2010b。

4.2 m序列抽取结果当r=5时的m序列可以由5级线性反馈移位寄存器产生出，移位寄存器的结构图如图4-1所示：图4-1 m序列发生器由于寄存器不同的初始状态会产生同一序列的不同的相位，在本实验中寄存器初始值统一00…01。