数学建模期末试卷A及答案

精品文档10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。1．（模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。(1)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的(2) 主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题(3) 化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。此时往往还要作出利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，4)模型求解：进一步的简化或假设。特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。(5)模型分析：对所得到的解答进行分析，模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如(6) 果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完(7) 善。

分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。．（102kk?r r，销售速率为常数。设生产速率为常数，T?0?tT内，开始一段时间（在每个生产周期）0T?T?t边生产边销售，后一段时间（）只销售不0)q(t生产，存贮量的变化如图所示。设每次生产开工cc，以总费用最小为准则确定最优周，每件产品单位时间的存贮费为费为21kkr?r??T和期的情况。，并讨论k2cTr)cr(k?c*1＝T21?)?c(T)?rcr(k )(cT k2T达到最小的最优周期使单位时间总费用。，22c*1＝Tcr*k??kr?r??T，因为产量，相当于不考虑生产的情况；当时，当时，2被售量抵消，无法形成贮存量。

x(t)t的人口，．（10分）设表示时刻3试解释阻滞增长（Logistic）模型

xdx??r(1?)x?xdt?m?x(0)?x?0

中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。t——时刻；

x(t)t时刻的人口数量；——

r——人口的固有增长率；

x——自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；m x——初始时刻的人口数量0人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用。

x(t))xr(的的减函数。且阻滞作用随人口数量增加而变大，从而人口增长率是人口数量精品文档．

精品文档

x(t))(xr的线性函数：为假设

r(x)?r?sx(r?0,s?0)，

x?0r）的增长率。称为人口的固有增长率，表示人口很少时（理论上是其中，

r?s0)?xr?(xxx，从而有时人口不再增长，即增长率当，代入有mmm??x????r(x)r1?? x??m，根据Malthus人口模型，有

xdx??r(1?)x?xdt?m?x(0)?x?0

4．（25分）已知8个城市v，v，…,v之间有一个公路网（如图所示），071每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时

间．

（1）设你处在城市v，那么从v到其他各城市，应选择什么路径使所需的00时间最短？

v到其它各点的最短路如下图：(1)0

各点的父点如下：v7 v6 v5 v4 v0 v1 v2 v3

v3

v5 v0 v2 v3 v0 v0 v0

各点的最短路径及最短路长分别为：

0 v0:

1 v1: v0→

2 v0→v2:

3 v3: v2v0→→6

→→→v0v2v3v4:

精品文档．

精品文档

v0→v5: 4

v0→v5→v6: 6

v0→v2→→v3→v7: 9

(2)最小生成树如下图：

个不同，或者比它们轻，个苹果，其中有一个与其它的1110分）有127．（并说明它的轻重试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，或者比它们重，情况。

: 放在天平两边5～812,把1～4和先把苹果编号1～

9若中,12放在天平两边,再平就在11或1（）两边持平：就在9～12中,再把9和10 中；或10和10不平，则在9678；若平了就在和349轻,则进行第二次称量125:（2）两边不平假设1234重5678即可；若与2中且是重的, 再称1与7即可；若125重349轻则在126中且是轻的,再称 5。重,则坏的是125轻349

生产个，30元/个，某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/椅子销售价格小时。24小时，油漆工桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工油漆小时，该厂每个月可用木工工时为120小时，生产一个椅子需要木工3油漆工1小时。小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）50工工时为)

'(10 生产椅子的数量x1=生产桌子的数量 x2=1解：（）确定决策变量：z=50x1+30x2max （2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大

（3）确定约束条件：

2x1+x2>50（油漆工工时限制）4x1+3x2<120（木工工时限制）

）建立的数学模型为：（4

max S=50x1+30x24x1+3x2<120 s.t. x2>502x1+

>0

x2x1,

精品文档．

精品文档

精品文档．