高等数学课件D1232函数展开成幂级数

证明: f(x)n 0f(nn )(!x0)(xx0)n,x (x0) 令Sn1(x)kn 0f(kk)(!x0)(xx0)k
f( x ) S n 1 ( x ) R n ( x ) （泰勒中值公式）
nl i mRn(x)n l i m f(x ) S n 1 (x ) 0 , x(x0)
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00x0x2 0xn 0 f (x).
2!
n!
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定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的 充要
条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: nl i m Rn(x)0.
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定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
证: 设 f (x) 所展成的幂级数为
则
a0f(0)
f ( x ) a 1 2 a 2 x n n x n a 1 ; a1f(0)
f ( x ) 2 ! a 2 n ( n 1 ) a n x n 2 ;a221! f(0)
F(x)(1x)m
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推导 目录 上页 下页 返回 结束
由此得 (1x)m1mxm(m1)x2
2!
m (m 1) (m n1)xn n!
称为二项展开式 . 说明：
第三节
第十二章
展开函数为幂级数
两类问题: 在收敛域内 求和 展开
和函数
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数
二、函数展开成幂级数
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一、泰勒 ( Taylor ) 级数
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f(x)f(x0)f(x0)x (x0)f 2(x!0)(xx0)2 f(nn)(!x0)(xx0)n Rn(x)
f(n )(x)n !a n ;
an n1! f(n)(0)
显然结论成立 .
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二、函数展开成幂级数
直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
间接展开法 — 利用已知其级数展开式
1. 直接展开法
的函数展开
由泰勒级数理论可知, 函数f (x)展开成幂级数的步
(2 n )!
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例3. 将函数
展开成 x 的幂级数, 其中m
为任意常数 .
解: 易求出 f(0)1, f(0)m, f(0 ) m (m 1 ),
f ( n ) ( 0 ) m ( m 1 ) m ( 2 ) ( m n 1 ) , 于是得级数 1mxm(m1)x2
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,其中
Rn(x) f((nn1)1()!)(xx0)n1 ( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
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若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f
(x0)f(x f0 (n)n)(!x x( 0)x (0 x) x0f)2n(x!0 )(x为fx(0x))2
1
x
1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
其收敛半径为
1
R lim
n
n
!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1x1x21x3 1xn ,
2 ! 3 !
n !
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的泰勒级数
.
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数:
f
f (0) f(0)x
(0 )
x 2
f (n)(0) xn
2!
n!
反例 : 设 f(x ) ex 1 x p 2 } (x { 0 )f,(0 ) 0 . 由于 f(n )(0 ) 0 (n 0 ,1 ,2 , ),则对应的麦氏级数为
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sx i n x 1 x 3 1 x 5 ( 1 ) n 1 1x 2 n 1
3 ! 5 !
( 2 n 1 ) !
类似可推出:
cx o 1 s1 x 2 1 x 4 ( 1 )n 11x 2 n
2 ! 4 !
F ( x ) m 1 m 1 x ( m 1 ) ( m n 1 ) x n 1
1
( n 1 ) !
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(1x)F(x)mF (x), F(0)1
推导
0xF F((xx))dx0x1 mxdx
lF n ( x ) lF n ( 0 ) m l1 n x )(
例2. 将
展开成 x 的幂级数.
解: f(n)(x)
f (n)(0) (01),k ,
n2k (k 0 ,1 ,2 , ) n2k1
得级数:
x
1 3!
x
351!x5 (1)n1(2n1 1)!x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin((n1)2)
(n1)!
xn1
n
sinx x 3 1 ! x 3 5 1 ! x 5 ( 1 ) n 1 ( 2 n 1 1 ) ! x 2 n 1
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;
第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内nl im Rn(x)是否
为0.
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例1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f(n)(x)ex,f(n )(0 ) 1(n 0 ,1 , )故,得级数
2! m (m 1) (m n1)xn
n! 由于 R lim an lim n1 1
n an1 n mn
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为F (x), 1x1
则 F (x) 1m xm(m1)x2 2! m (m 1) (m n1)xn n!