(九年级数学教案)一元二次方程的根与系数的关系教案

一元二次方程的根与系数的关系教案九年级数学教案

●一、复习引入

导语:一元二次方程的根与系数有着密切的关系,早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系,你能发现吗?

●二、探究新知

1.课本思考

分析:将(x-x1)(x-x2)=0化为一般形式x2-(x1+x2)x+x1x2=0与x2+px+q=0对比,易知p=-(x1+x2),q=x1x2.即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根,则一次项系数等于两根和的相反数,常数项等于两根之积.

2.跟踪练习

求下列方程的两根x1、x2.的和与积.

x2+3x+2=0;x2+2x-3=0;x2-6x+5=0;x2-6x-15=0

3.方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗?

分析:这个方程的二次项系数等于2,与上面情形有所不同,求出方程两根,再通过计算两根的和、积,检验上面的结论是否成立,若不成立,新的结论是什么?

4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的a不一定是1,它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗?

分析:利用求根公式,求出方程两根,再通过计算两根的和、积,得到方程的两个根x1、x2和系数a,b,c的关系,即韦达定理,也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根之积等于常数项与二次项系数的比.求根公式是在一般形式下推导得到,根与系数的关系由求根公式得到,因此,任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.

5.跟踪练习

求下列方程的两根x1、x2.的和与积.

13x2+7x+2=0;3x2+7x-2=0;3x2-7x+2=0;3x2-7x-2=0;

25x-1=4x2;5x2-1=4x2+x

6.拓展练习

1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1,3,则b=,c=.

2已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1,则另一个根是,k的值是.

3若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数,则p=若两个根互为倒数,则q=.

分析:方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数;方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时,若方程的两根互为相反数或互为倒数,利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数。