三角函数之正交性

2
n1
2(sin
(1)n1 sin nx n
x 1 sin 2x
1
sin
3x



)

y
o
x
2
3
级数的部分和 逼近 f (x) 的情况见右图.
nn＝＝51432
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例5. 将周期函数
中E 为正常数 .
解:
是周期为2 的
0,
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 , )

1



f (x)sin nx d x

2
cos
x

1 32
cos
3x

1 52
cos
5
x



说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和. 当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得
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时,级数收敛于 11 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图.
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y
1
o
x
1
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例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
上的表达式为
y
3 2 2 3
o
x
cos kx sin nx dx 0
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
上的积分不等于 0 . 且有

11dx

2


cos2
n xdx



sin
2
nx
dx


cos2 nx 1 cos 2nx , sin2 nx 1 cos 2nx
(谐波迭加)
An sinn cos n t An cosn sin n t
令
an An sinn , bn An cosn ,
得函数项级数
a0 2


(an
k 1
cos
nx

bn
sin
nx
)
称上述形式的级数为三角级数.
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3
2k 1
( x , x 0 , , 2 , )
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f (x) 4 sin x sin 3x sin 5x sin 7x sin 9x ]

3
5
79
说明: 1) 根据收敛定理可知,
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an

E


0
sin(n
1)t
sin(n
1)t
dt
0,
n 2k 1
a1

E


0
sin
2t
dt

0

u(t)

2E

4E


k 1
4k
1
2

cos 1
2k
x

4E


1 2
1 cos 2t 3
1 cos 4t 1 cos 6t
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例4. 设
是周期为2 的周期函数,它在
的表达式为 f (x)＝x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 若不计
周期为 2 的奇函数, 因此
y
an 0 (n 0 , 1, 2 , )
bn
2


0
f
(x)sin nx d x
o
x

2


15
35

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2. 在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数
奇延拓 f (x), x [0, ] 偶延拓
y
y
o x
o x
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0 , ] 上展成 正弦级数
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f
(x)sin nx d x
(n 1, 2, )
由公式 ② 确定的
称为函数
的傅里叶系数 ; 以 的傅里
叶系数为系数的三角级数 ① 称为
的傅里叶级数 .
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定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的


f
(x)dx

a0 2

d

x

n1
an

cos

nx
dx

bn

sin

nx
dx

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a0

1



f
( x) d
x


f
(x) cos kx dx

a0 2


cos kx dx
定理 1. 组成三角级数的函数系
正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:
1cos
nx
d
x



1

sin
nx
d
x

0

cos kx cos nx dx

1 2


cos(k

n)x

cos(k

n)x
d
x

0

同理可证 : sin k x sin nx dx 0 (k n )
傅里叶展开
上的傅里叶级数
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例3. 将函数
展成傅里叶
级数 . 解: 将 f (x)延拓成以
2为周期的函数 F(x) , 则
y
o
x
a0
1



F(x)d x
1



f (x)d x

2


x2 2

周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
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则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.



f (x) ,
f (x) f (x) ,
说明: 当 x (2k 1) 时, 级数收敛于 0 ( )
2
2
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定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
周期延拓
f (x) ,
x [ , )
F(x)
f (x 2k ) , 其它
0
x sin
nx d
x
2



x cos nx n

sin nx n2

0
2 cos n 2 (1)n1 ( n 1 , 2 , 3 , )
n
n
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根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:
f
(
x)

1



f
(x)sin k x dx
(k 1, 2, )
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f
(x)

a0 2



n1
an
cos
nx

bn
sin
nx

①
an

1



f (x) cos nx d x
(n 0, 1, )
②
bn
1

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三、正弦级数和余弦级数
1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数 定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为 正弦级数, 它的傅里叶系数为
周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 , 它的傅里叶系数为
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将 f (x) 展成傅里叶级数.
解:
a0

1


f (x)d x

1

0

xd
x

1


x2 2

0




2
an
1



f
(x) cos nxdx
1

0

x cos nx d x

1


x
sin n
nx

cos nx n2
0


1

cos
n2
n
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an

1

cos
n2
n

2

(2k 1)
0,
2
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 , )
bn
1



f (x)sin nx d x
1

0

x sin nxdx (1)n1
周期偶函数 , 因此
展成傅里叶级数, 其
y
2 o 2 x
a0

2


0 u(t) d t
2


0
E sin t d t
an

2


0
u
(t
)
cos
ntd
t

2


0
E
sin
t
cos
nt
d
t

E


0
sin(n
1)t

sin(n
1)t
d
t
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2
2
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二、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
f
(x)

a0 2


(an
n1
cos
nx

bn
sin
nx)
①
右端级数可逐项积分, 则有
②
证: 由定理条件, 对①在
逐项积分, 得
y
将 f (x) 展成傅里叶级数.
1
解: 先求傅里叶系数
o
x
1

1

0

(1)
cos
nx
d
x

1


0
1
cos
nx
d
x
0 ( n 0 ,1, 2 , )
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1

0

(1)
sin
nx
d
x

1


n1an


cos
k
x
cosnx
d
x

bn


cos
k
x
sin
nx
dx
ak
cos2 k x dx

(利用正交性)

ak

1



f (x) cos k x dx
( k 1, 2, )
类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
bk

0
1
sin
nxdx

1


cos nx n
0

1


cos nx n


0

2
n
1
cos
n


2
n

1
(1)n



4,
n
0,
当n 1, 3, 5, 当n 2 , 4 , 6 ,
f (x) 4 sin x 1 sin 3x 1 sin(2k 1)x
n
2 cos x sin x 1 sin 2x ( n 1, 2, )
4
2


2
32
cos3x 1 sin 3x 1 sin 4x
3
4

522
cos 5x

1 5
sin 5x


( x , x (2k 1) , k 0, 1, 2 , )
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0 , ]上展成 余弦级数
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例6. 将函数
分别展成正弦级
数与余弦级数 .
解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,

2


0
(
x

1)
sin
nx
d
x

2



x cos nx n

sin nx n2

cos nx n


0
2 1 cos n cos n
n
y
1
o x

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( k 1, 2, )
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bn
( k 1, 2, )
y
因此得
x

1

2

(

0

an
1



F (x) cos nx d x
1



f
(x) cos nx dx
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2


x sin nx n

cos nx n2


0
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2
n2
( cos
n
1)


4
(2k 1)2
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设
1
1
1 32

1 52

1 72

2

1 22

1 42

1 62

,
已知
1

2
8

2

4
1 2 ,
4

2

1
3
又

1
2
2
8
2
24
2
6
3
1
2

2
8
2
24

2
12
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第七节 傅里叶级数
第十一章
一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数
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一、三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动 :
(谐波函数)
( A为振幅, 为角频率, φ为初相 )
复杂的周期运动 :
2
x 为连续点 x 为间断点
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
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简介 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
上的表达式为
f
(
x)

1

1
, ,
x 0 0 x