16、PAM信号的功率谱密度

2 ma Ts
2 2 Pa ( f ) = (σ a + ma ) + ∑ ma2e− j 2π fmTs = σ a2 + ma2 ∑ e− j 2π fmTs = σ a2 + m ≠0 m
∑δ f − T
m

m s
1/2
Lecture Notes 16 2004/10/26
n m
是 t 的周期函数，周期是 Ts （循环平稳过程） 。平均自相关函数为
R (τ ) = =
1 Ts 1 Ts
∫
Ts 2
−Ts 2
Rs ( t , t + τ ) dt =
a s
1 Ts
∑∑ R ( m − n ) ∫
a n m
Ts 2
−Ts 2
δ ( t − nTs ) δ ( t + τ − mTs ) dt
1 s t 按照这个图来理解，则因为 n 的功率谱是 Tb ，所以 ( ) 的功率谱是 2 2 2 2 1 1 4 cos 2 π fTb H1 ( f ) GT ( f ) = 1 + e − j 2π fTb × GT ( f ) = GT ( f ) Tb Tb Tb
∑ b δ ( t − nT )
Ps ( f ) =
±1 时，
Ps ( f ) =
1 Ts
2 1 Pa ( f ) G ( f ) Ts
重要特性： 数字信号的功率谱密度取决于 (1)数字序列
{an } 的自相关特性； g t (2)所使用脉冲 ( ) 的频谱特性
四 示例
σ 2 + m 2 Ra ( m ) = a 2 a a ma （1） { n } 是不相关序列， m=0 m≠0
∑ R ( m ) δ (τ − mT )
m
1 Ps ( f ) = Φ Rs (τ ) =T
s
∑ R ( m) e
a m
j 2π fmTs
=
1 Pa ( f ) Ts
Pa ( f ) ≅ ∑ Ra ( m ) e j 2π fmTs
m
特例：序列
{an } 以独立等概方式取值于 三 任意 g ( t ) 时：
2 a
的功率谱密度是
m m G δ f − ∑ Ts s ( t ) − E m Ts s ( t ) 的功率谱 ， s ( t ) （不要求是 PAM）的数学
σ G( f 密度是 Ts E s (t )
)
2
。此概念可推广至一般：任何数字信号
是以 T 为周期的周期信号，它对应线谱分量。 期望 （2）0 均值的不相关序列 Ps ( f ) =
（3）NRZ 及 RZ 信号的功率谱密度
2 σa G( f Ts
)
2
sinc 2 ( 连续谱的形状是
)， 0 点位置在 τ 的整倍数处 （τ 是脉冲宽度） ， 主瓣带宽是
1
1 τ。
m m G ≠ 0 E a Ts 且 Ts 如果 [ n ] 不为 0，则在 的处有线谱分量。 1 双极性 NRZ 信号主瓣带宽是 Ts ，无线谱分量；单极性 NRZ 有直流分量。双极性 RZ f = 1 信号主瓣带宽是 τ ，无线谱分量；单极性 RZ 有直流分量，半占空时有直流分量及时钟的
二 g ( t ) 是冲激脉冲时
s ( t ) = ∑ anδ ( t − nTs )
n
* Rs ( t , t + τ ) ≅ E s * ( t ) s ( t + τ ) = E ∑ anδ ( t − nTs )∑ amδ ( t + τ − mTs ) n m = ∑∑ Ra ( m − n ) δ ( t − nTs ) δ ( t + τ − mTs )
奇数倍频分量。 采用差分编码不改变功率谱密度，采用多进制编码后，功率谱密度形状不变，但主瓣带
1 宽缩减为原来的 log 2 M 。 （注意这些陈述隐含独立等概的假设）
（4）例 5.2.10 的又一种做法
∑ b δ ( t − nT )
n s n
s (t )
∑b
n
n −1
δ ( t − nTs )
Fig. 1
2
σ2 Ps ( f ) = a G ( f Ts
序列的数学期望
)
2
m2 + a Ts2
E [ an ] 决定数字信号功率谱密度的线谱分量， 脉冲形状决定连线谱的形状。
2 ma Ts2
m m G δ f − ∑ Ts m Ts
2
实际上
E s (t )
n b
2/2
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PAM 信号的功率谱密度
一 问题ห้องสมุดไป่ตู้
s ( t ) = ∑ an g ( t − nTs )
n *a {an } 是平稳随机序列， E [ an ] = ma ， Ra ( m ) = E [ an n+ m ] ，
， 已知
求
s ( t ) 的功率谱密度 Ps ( f ) 。