6.2二次函数的图像和性质(3)
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
二次函数图像与性质ppt课件
D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤2＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
二次函数的图象和性质(3)(九下)
§6.2二次函数的图象和性质（3）龙冈镇中数学教研组教学目标:知识与技能：经历探索二次函数y=ax2和2)y+a=和x(m +(图像的作法和性质的过程，进一步体验数形结合的思y+=2)akmx想方法。
过程与方法：会作出2)(ma+=2)(图像，理解a、xy+xay+=、kmm、k对二次函数图象的影响．能说出2)ay+x=2)(图+x(mmay+=、k像的开口方向、对称轴和顶点坐标．情感、态度与价值观：体会由具体到抽象、特殊到一般的研究方法。
教学重点:二次函数y=ax2、2)ay+x=2)+(图像和性质，教学x(mmay+=、k时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．教学难点:由函数图象概括出y=ax2、2)y+ax=2)(的性质．根+y+(mxa=、km据函数图象联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．教学方法:类比教学法。
教学过程:一、温故知新：二、操作、探究：操作一、在同一坐标系中画出函数图像2x y =，,)3(2+=x y 2)3(-=x y 的图像。
（1） 请比较这三个函数图像有什么共同特征？ （2） 顶点和对称轴有什么关系？（3） 图像之间的位置能否通过适当的变换得到？ （4） 由此，你发现了什么？探究：二次函数2ax y =和2)(m x a y +=图像之间的关系1、结合学生所画图像，引导学生观察2x y =，,)3(2+=x y 的图像位置关系，直观得出2x y =的图像−−−−−→−向左平移三个单位,)3(2+=x y 图像。
教师也可以把对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。
2、用同样的方法得出2x y =的图像−−−−−→−向右平移三个单位,)3(2-=x y 的图像。
3、请你总结二次函数2)(m x a y +=的图象和性质.2ax y =（0≠a ）的图像个单位时向右平移当个单位向左平移时当m 0m m 0m −−−−−→−2)(m x a y +=的图像。
二次函数的图像和性质(3)
二次函数()2y a x h =-的图像和性质班级 姓名 使用时间 批阅时间 学习内容：教材P7-8学习目标：知道二次函数()2y a x h =-(0)a ≠的图像和性质，能简单描述()2y a x h =-(0)a ≠的图像和性质 学习重点：二次函数()2y a x h =-(0)a ≠的图像和性质 学习过程：一、仔细阅读教材P7-8，看懂其中的意思。
二、动手实践：在同一直角坐标系中，画出函数212y x =-、()2112y x =-+和()2112y x =--的图像；（列表、描点、连线），并完成下面的思考：（1）分别指出各函数的对称轴、顶点、开口方向；（2）说明函数()2112y x =-+和()2112y x =--的图像可以由212y x =-的图像怎么变换得到？三、总结二次函数()2y a x h =-(0)a ≠的图像和性质： 1. 二次函数()2y a x h =-(0)a ≠的图像是一条抛物线；当0a >时，开口 ，当0a <时，开口 ；对称轴是 ；顶点坐标是 ；2.写出二次函数()2y a x h =-(0)a ≠的增减性： 3.写出二次函数()2y a x h =-(0)a ≠的最值情况：4. ()2y a x h =-的图像可以由2y ax =向左或右平移得到，想一想，是怎样一个平移规律？5.想一想：怎样求二次函数与x 轴的交点坐标？怎样求二次函数与y 轴的交点坐标？我们在分析二次函数的时候，通常需要画出它的图像，但又要很快的画出来，就不会每次都去列表、描点、连线。
我们就只需画出开口方向、对称轴、顶点、与x 轴的交点坐标和与y 轴的交点坐标，这就是我们以后分析二次函数时要画的“草图”。
例如，请你画出函数()221y x =--和228y x =-的“草图”。
四、应用反馈1. 抛物线()232y x =-+的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ，在对称轴右侧，即x 时，y 随x 的增大而 ，当x = 时，y 有最 值为y = 。
二次函数的图像与性质(含答案)
九年级数学竞赛专题 ---二次函数的图像与性质一、内容概述二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结1．定义： 形如函数2(0)y ax bx c a =++≠称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域.2．图像二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点.3．性质 对2(0)y ax bx c a =++≠的图像来讲，（1）开口方向：当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下。
（2）对称轴方程：2bx a=-（3）顶点坐标：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（4）抛物线与坐标轴的交点情况： 若240bac -<，则抛物线与x 轴没有交点；若240b ac -=，则抛物线与x 轴有一个交点；若240b ac ->，则抛物线与x 轴有两个交点，分别为，；另外，抛物线与y 轴的交点为()0,c .（5）抛物线在x a=（6）y 与x 的增减关系：当0a >，2b x a >-时，y 随x 的增大而增大，2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当0a <，2b x a >-时，y 随x 的增大而减小，2bx a<-时，y 随x 的增大而增大.（7）最值：当0a >时，y 有最小值，当2b x a =-时，244ac b y a -最小值＝；当0a <时，y 有最大值，当2b x a =-时，244ac b y a-最大值＝（8）若抛物线与x 轴两交点的横坐标为1x 、2x （12x x <），则：当0a >时，12x x x <<时，0y <；12x x x x <>或时，0y >；当0a<时，12x x x <<时，0y >；12x x x x <>或时，0y <.4．求解析式抛物线的解析式常用的有三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠（2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其中(,)h k 是抛物线的顶点坐标。
初三数学：《二次函数的图象和性质》知识点归纳
二次函数图像的性质 ：1.二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是原点(0,0)。
(1)二次函数图像怎么画作法：①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点(0,0)是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点;②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点;③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸。
(2)二次函数与的图像和性质：2.二次函数(a，k是常数，a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是( 0，k)，它与的图像形状相同，只是位置不同。
函数的图像是由抛物线向上(或下)平移|k|个单位得到的。
当a>0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边(x<0时)，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小;在对称轴的右边(x>0时)，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。
顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值=k 。
当a<0时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边(x<0时)，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大;在对称轴的右边(x>0时)，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。
顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=0时，y最大值=k 。
3.二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线x= h，顶点坐标是(h，0)，它与的图像形状相同，位置不同，函数(a≠0)的图像是由抛物线向右(或左)平移|h|个单位得到的。
画图时，x的取值一般为h和h左右两侧的值，然后利用对称性描点画图。
当a>0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边(xh时)，曲线自左向右上升，函数y 随x的增大而增大。
顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=h时，y最小值=0。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质一、教学目标1、会确定二次函数)0(2≠=a ax y 图像的顶点坐标、开口方向和对称轴.2、了解抛物线)0(2≠=a ax y 沿两个坐标轴进行适当平移可得到抛物线k h x a y +-=2)(，掌握平移规律，并能说出抛物线平移后的顶点坐标、开口方向及对称轴.会由特殊二次函数分析和推导一般二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图像的性质.3、会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标、开口方向和对称轴.二、知识点梳理1、二次函数的概念一般的，如果两个变量x 和y 之间的函数关系可以表示成c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，且0≠a ），那么称为y 是x 二次函数. 2、二次函数的一般形式任何一个二次函数的表达式都可以化成c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，且0≠a ）的形式，因此，把c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，且0≠a ）叫做二次函数的一般形式，其中c bx ax ,,2分别是二次项、一次项和常数项，而b a 和分别是二次项系数和一次项系数.3、二次函数)0(2≠=a ax y 的图像和性质（1）二次函数)0(2≠=a ax y 的图像是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线，曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.（2）一般地，抛物线)0(2≠=a ax y 的性质主要是从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数的增减性以及函数的最值等几个方面来研究，其性质归纳如下表：拓展：（1）抛物线是轴对称图形，开口方向、顶点、对称轴通常称为抛物线的三要素.（2）抛物线)0(2≠=a ax y 的开口方向由a 的正负决定，当0 a 时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0 a 时，开口向下，顶点是抛物线的最高点.（3）抛物线)0(2≠=a ax y 的开口的大小，由a 的绝对值决定，a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大.（4）抛物线的对称轴是一条直线，抛物线)0(2≠=a ax y 的对称轴是y 轴，也可以说是直线0=x ，顶点坐标为（0，0）.4、抛物线)0()(2≠-=a h x a y 与)0(2≠=a ax y 的位置关系及平移规律二次函数2)(h x a y -=的图像可由抛物线2ax y =向左（右）平移而得到.当0 h 时，抛物线2ax y =向右平移h 个单位长度，得到2)(h x a y -=的图像.当0 h 时，抛物线2ax y =向左平移h 个单位长度，得到2)(h x a y -=的图像.5、二次函数k h x a y +-=2)(的图像的平移二次函数k h x a y +-=2)(的图像可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移个h个单位长度，再向上（或向下）平移k 个单位长度而得到. 平移时与上、下、左、右平移的先后顺序无关，既先可以左右移再上下移，也可以先上下移再左右移；抛物线的移动主要看顶点的移动，即在平移时主要抓住顶点的位置变化就可以了；抛物线k h x a y +-=2)(经过反向平移也可以得到抛物线2ax y =.6、二次函数k h x a y +-=2)(的图像和性质拓展：（1）由于从k h x a y +-=2)(中可直接看出抛物线的顶点坐标),(k h ，所以通常把k h x a y +-=2)(叫做二次函数的顶点式.（2）a 决定抛物线的形状、大小；k h ,决定抛物线的位置.7、利用配方法将二次函数c bx ax y ++=2转化为k h x a y +-=2)(的形式（1）二次函数的一般式c bx ax y ++=2与顶点式k h x a y +-=2)(可以互相转化通过去括号、合并同类项可将顶点式转化为一般式. 例如：1)12(211)1(2122-++-=-+-=x x x y 2321-2--=x x ， 即1)1(212-+-=x y 可化为2321-2--=x x y 利用配方法可将一般式c bx ax y ++=2转化为顶点式k h x a y +-=2)(例如：c bx ax y ++=2a ac x a b x a 提取←++=)(2 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+•+=a c a b a b x a b x a 222)2()2(22←配成完全平方式a b ac a b x a 44)2(22-++=因此抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，顶点坐标是)44,2(2a b ac a b -- （2）二次函数c bx ax y ++=2的图像是一条抛物线，它与抛物线2ax y =的形状相同，只是位置不同，它的对称轴是直线ab x 2-=，顶点坐标是)44,2(2a b ac a b -- 8、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与性质三、典型例题（一）二次函数的图像例1 已知函数()()()n m n x m x y ＜其中---=的图像如图所示，则一次函数n mx y +=与反比例函数xn m y +=的图像可能是（ ）例 2 下列三个函数：①1+=x y ；②x y 1=；③12+-=x x y 。
二次函数y=ax+bx+c的图像与性质完整版本
轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y
都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
2.不同点: ((31))对位称置轴不不同同(2):顶分点别不是同直:线分x别是b 和2bya轴, 4a.c4ab2 和(0,0).
(4)最值不同:分别是
4
ac 4
a
b
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质(3)
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2 的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2
y=a(x-h)2+k
平左 移右
y = a( x – h )2 + k 平上 移下
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
y
y
y
y
o x
A
o
o
x
x
o
x
B
C
D
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下
列各式中是正数的有（
）
①a ② b ③ c
④ a+b+c ⑤ a-b+c
⑤⑥ 4a+b
⑦ 2a+b y y
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
. 1. .2
-1
x
B
?
用总长为60m的篱笆墙围成矩 形场地，矩形面积S随矩形一边 长L的变化而变化，当L多少时， 场地的面积S最大？
抛物线y=a(x-h)2+k的图像与性质： 1.当a﹥0时，开口 向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ， 2.对称轴是 直线X=h ；
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是数学中一种重要的函数形式，其图像形状特殊且具有许多性质。
本文将介绍二次函数的图像特点以及与其相关的性质。
一、二次函数的标准形式二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
为了便于研究，我们可以将二次函数表示为标准形式f(x) =a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二、二次函数的图像特点1. 对称轴：二次函数的对称轴是与顶点坐标垂直的直线。
对称轴方程为x = h，其中h为顶点横坐标。
2. 顶点：二次函数的顶点是图像的最高点或最低点，是二次函数的关键特征。
顶点坐标为(h, k)。
3. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a > 0，则开口向上；若a < 0，则开口向下。
4. 正定或负定：二次函数的图像在开口方向上是否有最值，与二次项系数a的符号有关。
若a > 0，则二次函数为正定；若a < 0，则二次函数为负定。
5. 零点：二次函数的零点是函数与x轴的交点，即f(x) = 0的解。
零点个数最多为2个。
三、二次函数的性质1. 零点和因式分解：二次函数的零点可以通过因式分解得到。
对于一般二次函数的标准形式f(x) = ax² + bx + c，我们可以利用求根公式或配方法将其因式分解为f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)，其中x₁、x₂为零点。
2. 最值：二次函数开口方向上的最值即为顶点，若二次函数开口向上，顶点为最小值；若二次函数开口向下，顶点为最大值。
3. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称，即对于任意x点，若(x, y)在图像上，则(x, -y)也在图像上。
4. 范围：二次函数的范围与二次项系数a的正负相关。
若a > 0，则函数的范围为区间(k, +∞)；若a < 0，则函数的范围为区间(-∞, k)，其中k为顶点纵坐标。
《二次函数——二次函数的图象与性质》数学教学PPT课件(9篇)
y3>y2>y1
关系为___________．
导引：因为a>1，所以0<a－1<a<a＋1, 所以这三个点
都在函数y＝x2的图象的对称轴的右侧．根据
“当x>0时，y随x的增大而增大”的性质，可得
y3>y2>y1.
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
当所比较的点都在抛物线的对称轴的同一侧时，
y值都随x值的增大而增大
D．当x<0时，函数y＝x2，y的值随x值的增大的变化情况与当x>0
时，函数y＝－x2，y的值随x值的增大的变化情况相同
（来自《典中点》）
知2－练
4 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝
x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取
值范围是( D )
1
(1，2
), 可知, 其中有两点在第一象限, 一
点在第四象限, 排除B,
1
C；在第一象限内,
y1的对应
2
点(1, 2)在上, y3的对应点(1， )在下, 排除A.
知1－练
1 关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( C )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
可直接利用函数的增减性进行大小比较．
（来自《点拨》）
知2－练
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象
上的两点，当x1<x2<0时，y1与y2的大小关系为
y1＜y2
________．
华东师大版数学九下26.2《二次函数的图象和性质(三)》教案设计
26.2.3 求二次函数的表达式教案设计一、学情分析1、教材分析本节课是初中数学华师大版九年级下册第26章第二节第三课时，是学生学过二次函数的图象和性质的基础上进行的，教材通过类比求一次函数反比例函数表达式进行待定系数法的，为学生学习函数的有关性质奠定基础。
2、学生情况分析对于初三学生来说，在学习一次函数的时候，学生对于用待定系数法求函数解析式的方法已经有所认识，他们已经积累了一定的学习经验．初三的学生已经具备了一定的分析问题、解决问题能力和创新意识，这些对本节课的学习都很有帮助.在今后高中的数学学习中，学生还会继续运用待定系数法解决相关问题．新课标对学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有了更高的要求，在教学中还有待加强相应能力的培养．二、学习目标知识与能力：1、掌握二次函数解析式的表达方式。
2、会用待定系数法求二次函数的表达式。
3、学会利用二次函数解决实际问题。
过程与方法：能根据二次函数的图像及性质解决生活中的实际问题情感态度与价值观：通过数学活动，体会实际生活与数学的密切联系，感受数学带给人们的作用，激发学习热情，培养学习兴趣。
三、学习重难点学习重点：会用待定系数法求二次函数的表达式。
学习难点：会选取一般式和顶点式，运用待定系数法求二次函数的表达式。
四、学习过程1、复习回顾（1）我们学习了二次函数的哪几种表达式？你能熟练写出来吗？（2）一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时，通常需要两个独立的条件；确定反比例函数)0(≠=k x k y 的关系式时，通常只需要一个条件；如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式，又需要几个条件呢？（板书课题）2、自主学习(1)若抛物线y ＝x 2－2x ＋c 经过点(0，－1)，则c ＝______.(2)若抛物线y ＝ax 2经过点(2，－0.8)，则抛物线所对应的函数关系式为________________． (3)将抛物线 向左平移4个单位，再向 上平移1个单位，所得的抛物线解析式为__________________3、例题讲解例1、 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的表达式?解：设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k∵顶点坐标是（8，9）∴ 二次函数的表达式为y=a(x-8)2+9又∵过点（0，1）∴ a(0-8)2+9=1解得 解得：a = -814、合作探究例2、已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的表达式。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。
下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。
一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。
3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。
4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。
5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。
6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。
二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。
2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。
(完整版)二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。
二次函数图像与性质总结(含答案)
二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：2y ax =a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 的性质：2y ax c =+上加下减。
3. 的性质：()2y a x h =-左加右减。
4. 的性质：()2y a x h k =-+的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()00，轴y 时，随的增大而增大；时，0x >y x 0x <随的增大而减小；时，有最小值y x 0x =y ．00a <向下()00，轴y 时，随的增大而减小；时，0x >y x 0x <随的增大而增大；时，有最大值y x 0x =y ．0的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0c ，轴y 时，随的增大而增大；时，0x >y x 0x <随的增大而减小；时，有最小值y x 0x =y ．c 0a <向下()0c ，轴y 时，随的增大而减小；时，0x >y x 0x <随的增大而增大；时，有最大值y x 0x =y ．c 的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0h ，X=h时，随的增大而增大；时，x h >y x x h <随的增大而减小；时，有最小值y x x h =y ．00a <向下()0h ，X=h时，随的增大而减小；时，x h >y x x h <随的增大而增大；时，有最大值y x x h =y ．0的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()h k ，X=h时，随的增大而增大；时，x h >y x x h <随的增大而减小；时，有最小值y x x h =y二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；()2y a x h k =-+()h k ，⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2y ax =()h k，【【【(h <0)【【【【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【2. 平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．h k 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2（或）m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2（或）c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(2三、二次函数与的比较()2y a x h k =-+2y ax bx c =++从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过()2y a x h k =-+2y ax bx c =++配方可以得到前者，即，其中．22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2424b ac b h k a a -=-=，．k 0a <向下()h k ，X=h时，随的增大而减小；时，x h >y x x h <随的增大而增大；时，有最大值y x x h =y ．k四、二次函数图象的画法2y ax bx c =++五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确2y ax bx c =++2()y a x h k =-+定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点y ()0c ，()0c ，、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴()2h c ，x ()10x ，()20x ，x 对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.x y 五、二次函数的性质2y ax bx c =++ 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．0a >2bx a =-2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当2b x a <-y x 2bx a>-y x 时，有最小值．2bx a=-y 244ac b a - 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当0a <2bx a =-2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，2b x a <-y x 2b x a >-y x 2bx a=-有最大值．y 244ac b a-六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，，为常数，）；2y ax bx c =++a b c 0a ≠2. 顶点式：（，，为常数，）；2()y a x h k =-+a h k 0a ≠3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.12()()y a x x x x =--0a ≠1x 2x x 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以x 240b ac -≥用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数中，作为二次项系数，显然．2y ax bx c =++a 0a ≠ ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越0a >a a 大；⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越0a <a a 大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决a a a 定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．a b ⑴ 在的前提下，0a >当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；0b >02ba-<y 当时，，即抛物线的对称轴就是轴；0b =02ba-=y 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．0b <02ba->y ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a <当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；0b >02ba->y 当时，，即抛物线的对称轴就是轴；0b =02ba-=y 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．0b <02ba-<y 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．a b 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，ab abx 2-=y 0>ab y 0<ab 概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c >y x y⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c =y y 0 ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为0c <y x y 负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．c y 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．a b c ，，二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称x关于轴对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++x 2y ax bx c =---关于轴对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+x ()2y a x h k =--- 2. 关于轴对称y关于轴对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++y 2y ax bx c =-+关于轴对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+y ()2y a x h k =++ 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++2y ax bx c =-+-关于原点对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+()2y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）关于顶点对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++222b y ax bx c a=--+-关于顶点对称后，得到的解析式是．()2y a x h k =-+()2y a x h k =--+ 5. 关于点对称()m n ，关于点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+()m n ，()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择a 合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数的图象64212++=x x y 【解】)128(21642122++=++=x x x x y 2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x 以为中间值，取的一些值，列表如下：4-=x x x …-7-6-5-4-3-2-1…y …25023--223-025…【例2】求作函数的图象。
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6.2 二次函数的图像和性质（3）
课 型：新授课 主 备：姜晓岗 审 核：王爱忠 时 间：101217
一、学习目标：
1、能解释．．
二次函数2
22)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系； 2、体会本节中图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系（转化），感受形数结合的数学思想等。
二、学习重点与难点：
对二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系解释和研究问题的数学方法的感受是学习重点；难点是对数学问题研究问题方法的感受和领悟。
三、自学质疑：
1.自学指导：本节课的学习的内容是课本P 12-P 14的内容,内容较长，课本上问题较多，需要你操作、
观察、思考和概括，请你注意：学习时要圈、点、勾、画．．．．．．．，随时记录甚至批注课本，想想“那个人”是如何研究出来的。
你有何新的发现呢？ 2．思考题：
1.思考：二次函数12+=x y 的图象是个什么图形？是抛物线吗？为什么？（请你仔细看课本
呢？它的对称轴、顶点、最值、增减性如何呢？
我自学时的疑难、困惑 或 发现是：
巩固案（3）
A组：
⒈将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是。
将函数y=-3x2+4的图象向平移个单位可得y=-3x2的图象；
将y=2x2-7的图象向平移个单位得到可由 y=2x2的图象。
将y=x2-7的图象向平移个单位可得到 y=x2+2的图象。
2.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴平移了个单位;
抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴平移了个单位.
抛物线y=-3(x-1)2的顶点是 ;对称轴是 ;
抛物线y=-3(x+1)2的顶点是 ;对称轴是 .
3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,即当x 时, y随着x的增大而 ; 在对称轴(x=1)
右侧,即当x 时, y随着x的增大而 .当x= 时,函数y有最值,最值是 ;
二次函数y=2x2+5的图像是，开口，对称轴是，当x= 时，y有最值，是。
4.将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函数解析式是；
将函数y=3（x－4）2的图象沿y轴对折后得到的函数解析式是；
B组
5.把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛物线y=- 3（x-h）2的图象，则a= ，h= .
函数y=（3x+6）2的图象是由函数的图象向左平移5个单位得到的，其图象开口向，对称轴是，顶点坐标是，当x 时，y随x的增大而增大，当x= 时，y有最值是 .
6.已知二次函数y=ax2+c，当x取x1,x2(x1≠x2), x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等，
则当x取x1+x2时，函数值为（）
A. a+c
B. a-c
C. –c
D. c
7.已知二次函数y=a(x-h)2,当x=2时有最大值，且此函数的图象经过点（1，-3），求此函数的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大？
四、课堂作业：P19 3、4。