权证系列：B-S模型定价
BS期权定价模型课件
（二）普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为 1.0。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期
望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运
动： dx adt bdz
（6.4）
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗
运动。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
令 代表该投资组S合的价值，则：
f f S S
(6.15)
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第15页，共32页。
在t
时间后：
f
f
S
S
（6.16）
将式（6.12）和（6.14）代入式
随机过程是指某变量的值以某种不确定的 方式随时间变化的过程。可分为离散型的 和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类 型的随机过程。
如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未 来价格的概率分布只取决于该证券现在的 价格。
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最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨 期权可以分拆成资产或无价值看涨期权 （Asset-or-noting call option）多头和现金 或无价值看涨期权（cash-or-nothing option）空头，SN(d1)是资产或无价值看 涨期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份现金或 无价值看涨期权空头的价值。
B-S期权定价公式的简单推导
t),
T t]
（4.19）
对式（6.19）求解：
c SN (d1) Xer (T t ) N (d2 )
（4.20）
详见Hull(8) P232
其中
d1
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
t)
d2
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
则：
S St Sz （4.11）
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
df
( f S f
S
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
f S
Sdz
（4.12）
f
( f S f
S
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
Nt
T
t
，标
当△t0时，我们就可以得到极限的标准布朗
运动：
dz dt
（4.3）
2,普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
若令漂移率为a,方差率为b2，就可得到变 量x的普通布朗运动：
dx adt bdz
（4.4）
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
（4.16）
在没有套利机会的条件下：
rt
把式（4.14）和（4.16）代入上式得：
b-s定价模型操作策略
b-s定价模型操作策略BS定价模型操作策略1. 引言BS定价模型（Black-Scholes Model）是一种用来评估期权价格的数学模型，该模型最初由费舍尔·布莱克和默顿·米勒·斯科尔斯于20世纪70年代提出。
这个模型被广泛应用于金融市场，特别是期权交易，因为它提供了一种确定期权合理价格的方法。
在本文中，我们将讨论如何使用BS定价模型来制定操作策略。
2. BS定价模型简介BS定价模型的核心思想是，一个期权的价格取决于多个因素，包括标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率、预期波动率等。
根据这些因素，BS定价模型可以计算出一个期权的合理价格。
3. 确定标的资产价格在使用BS定价模型之前，我们首先需要确定标的资产的价格。
这可以通过市场报价、历史价格数据或技术分析等方法进行估计。
标的资产价格的准确性对于后续操作策略的制定至关重要。
4. 选择行权价格和剩余期限除了标的资产价格，行权价格和剩余期限也是操作策略制定过程中需要考虑的重要因素。
行权价格应该根据市场情况、预期收益、风险承受能力等因素进行选择。
剩余期限则需要根据投资目标、资金需求等因素来确定。
5. 确定无风险利率和预期波动率BS定价模型中的另外两个重要参数是无风险利率和预期波动率。
无风险利率可以通过国债收益率等无风险投资工具的收益率来确定。
预期波动率可以通过历史数据、隐含波动率等方法进行估计。
这两个参数的准确性对于期权定价的准确性至关重要。
6. 计算期权的合理价格一旦确定了标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率和预期波动率，就可以使用BS定价模型来计算出期权的合理价格。
这个价格将作为操作策略的参考依据。
7. 制定操作策略根据期权价格、投资目标和风险偏好，可以制定相应的操作策略。
例如，如果期权价格高于合理价格，可以考虑买入期权；如果期权价格低于合理价格，可以考虑卖出期权。
操作策略的选择应该综合考虑多个因素，包括市场预期、个人风险承受能力、资金需求等。
基于B-S模型的权证定价分析——以宝钢权证例
基于B-S模型的权证定价分析——以宝钢权证为例0811020030金融系刘霞目录一、中国权证产品的现状 (3)二、权证产品的定价模型 (3)（一）B-S模型 (3)（二）二叉树模型 (4)（三）蒙特卡罗模拟 (5)三、权证定价的实证分析——以宝钢权证为例 (6)（一）宝钢CWB1（580024）简介 (6)（二）数据选取 (6)（三）波动率计算 (7)（四）B-S模型定价 (7)一、中国权证产品的现状二、权证产品的定价模型权证产品的定价是从20世纪60年代开始的，在1973年，Fisher Black和Myron Scholes成功地求解了他们的微分方程，从而获得了欧式看涨期权和欧式看跌期权的精确定价公式Black-Scholes（即B-S）模型。
B-S定价模型被提出后，权证的定价研究进入了一个崭新时期。
不同的权证及其包含的不同条款，需要不同的定价方法。
一般来说，权证定价最常用的方法有B-S模型、二叉树模型和蒙特卡罗模拟。
（一）B-S模型Black-Scholes模型的基本思想是无套利分析。
如果权证的定价不合理，投资者就可以通过动态复制进行套利，而套利行为会反过来影响权证价格，使其趋于一个合理的均衡价格，套利机会也随之消失。
在B-S模型中，假设股价服从几何布朗运动，即有一个固定的期望报酬率及一个固定的方差，同时还对市场做了以下假设：1.无风险利率已知且在合约期限内为常数，参与者可以无风险利率自由借贷款。
2.股票不分发股利，也不做其他任何的利润分配。
3.权证为欧式权证。
4.买卖股票与权证无交易成本，不考虑税。
5.对卖空没有任何限制。
6.交易时间及价格变动是连续的。
根据B-S模型关于期权的定价公式，权证价值由5个变量决定：标的股票价格（S）、行权价格（X）、无风险利率（r）、距离到期时间（T-t）、标的股票价格波动率（σ）。
所以欧式认购权证的定价公式如下：C(S、X、r、T-t、σ)=SN(d1)-Xe -r（T-t）N(d2) (3-1) 其中，d1=tTt TrXS--+ +σσ))(2/()/ln(2(3-2) d2=d1-σtT-(3-3)（二）二叉树模型由于B-S模型是在假设权证为欧式的情况下推导出，理论上并不适用于美式权证的估值。
B-S期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf Sf S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
B-S期权定价模型
Black—Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式）Black—Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）,布莱克-肖尔斯期权定价模型Black—Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日,第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton）和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯（Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克（Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表.所以，布莱克-斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型.默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese）赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献.[编辑］B—S期权定价模型(以下简称B-S模型）及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本,所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施.6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷.[编辑](二)荣获诺贝尔经济学奖的B—S定价公式［1]C = S＊N(d1) − Le− rT N（d2)其中：C—期权初始合理价格L-期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N(）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
B-S定价模型
第六章 Black-Scholes 期权定价模型我们在第五章用二叉树定价方法介绍了动态无套利均衡分析方法并引入了风险中性假设。
本章将通过介绍Black-Scholes 期权定价模型来深化这些概念。
在该模型中我们假设标的资产遵循几何布朗随机过程（这是一个特殊的马尔可夫过程）。
因此在讨论之前，我们必须作一些有关概念和数学知识的准备。
一、预备知识（一）正态和对数正态分布1、均值为μ，方差为σ2的正态分布随机变量x 的密度函数为：)2)(exp(21)(22σμσπ--=x x f ⑴如果正态变量的均值为0，方差为1，则称为标准正态随机变量，它的密度于分布函数分别为n(x )和N (x )表示，这里2221)(xex n -=πdt ex N xt⎰∞--=2221)(π2、如果x 是均值为x μ，方差为2x σ的正态分布变量，那么称x e Z =是对数正态分布的，其中)2exp(2xx Z σμμ+=且]1))[exp(2exp(222-+=x x x Z σσμσ。
证明：由于x ～),(2xx N σμ，则x 的密度函数为)2)(exp(21)(22xx xx x f σμσπ--=又因为x e Z =，则Z 的密度函数为)2)(ln exp(21])([ ))(()(2211xx x Z ZZ g Z g f Z g σμσπ--='=--。
Z 的截断均值，定义为):(a Z Z E >，其值为：)ln ()2exp()(1)2exp( )22)]([exp(21)2)(exp(2 )( )():(2ln 222ln 24222ln 22x xx xx axxx xxx ax xxx x x x a xx xxxaa N dx x n dx x dx x ee Z dZ Z Zg a Z Z E σσμσμσσμσσμσσσμσμσπσμσπ+-+=--+=--+--=--===>⎰⎰⎰⎰∞+∞+∞++∞当0→a 时，截断均值成为普通的均值，则对数正态变量Z 的均值即为：)2exp(2xx Z σμμ+= （2）其中)()(x N x n 和分别表示为标准正态分布的密度和分布函数。
B-S期权定价模型
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续 复利收益率服从期望值 ( µ −
σ2
2 ) dt ，方差为
σ 2 dt 的正态分布。
9
一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用 漂移率为μS、方差率为 σ 2 S2的伊藤过程（即几何布朗运动） 来表示： = µ Sdt + σ Sdz dS 之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个： 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。
ln S T − ln S ~ φ[(µ − σ2 )(T − t ), σ T − t ]
2
11
由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果 一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数 正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布 的特性，以及符号的定义，我们可以得到 E ( S T ) = Se µ (T −t ) 和 var(S T ) = S e
4
将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动，令 漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变量x 的普通布 朗运动： dx = adt + bdz 标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移 率为0，方差为1的普通布郎运动。
5
普通布朗运动的离差形式为 ∆x = a∆t + bε ∆t ，显然，∆x也 具有正态分布特征，其均值为 a∆t ，标准差为 b ∆t ，方差为 b 2 ∆t
= (
∂G 1 ∂ 2 G 1 ∂G = , 2 =− 2 , =0 ∂S S ∂S S ∂t
∂G ∂G 1 ∂ 2 G 2 ∂G a+ + b ) dt + bdz 我们就可得到 2 ∂x ∂t 2 ∂x ∂x
布莱克—舒尔斯期权定价模型
布莱克—舒尔斯期权定价模型期权定价是现代金融学中一项非常重要的内容，同时也是一个比较复杂、难度较大的问题。
目前关于期权定价主要有两种方法：（1）二项式模式；（2）布莱克—舒尔斯期权定价模型（B-S 模型）。
较为适用的是布莱克—舒尔斯期权定价模型。
布莱克—舒尔斯期权定价模型是美国经济学家布莱克—舒尔斯于1973年提出来的。
这是现代金融学金融衍生工具研究领域的一个重大突破，布莱克—舒尔斯因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
1、 基本原理：（模型建立的基础）期权的完全套期保值功能，即期权具备完全消除股票投资组合中市场风险的套期保值功能。
2、 假设条件：（1） 市场是无摩擦的：即不计佣金费用，无交易成本，没有卖空限制，可以根据市场情况经常地调整套期保值的比率，调整期权与股票的比率。
（2） 在期权到期前，股票不支付股利。
（3） 在期权到期前，无风险利率r 和股票收益的方差2σ保持不变。
（4） 股票价格变化是连续的，不会发生突然及大的波动。
3、 基本公式：在上述原理及假设条件的基础上，布莱克—舒尔斯提出了这样一个公式：TTr X S T d d TTr X S d d N Xe d N S C rT σσσσσ)5.0()/ln()5.0()/ln()()(20122012100-+=-=++=-=-其中：其中：0C 为期权价格；0S 为股票当前的价格；)(d N 为服从于标准正态分布的随机变量小于d 的概率；即：}{)1,0(,N Y d y P -<X 为协定价格；e 为2.71828;r 为无风险利率（以连续复利计算） t 为距离到期日所剩的时间，单位为年 σ为股票收益率的标准差。
在这个公式中，)(1d N 、)(2d N 代表期权到期是处于实值的概率，也就是能够执行给投资者带来实质性收益的概率。
如果假定1)()(21==d N d N ，也就是看涨期权极其有可能被执行。
公式的解释：期权价值=内在价值+时间价值期权到期前处于三种状态，虚值—平价—实值时间价值虚值 协定 实值 价格（平价） 从这个图形可以看出，随着股价的进一步升高，期权到期被执行的可能性越来越大，相应地，期权的内在价值越来越大，其价格波动的可能性即时间价值越来越小。
b-s定价模型操作策略 -回复
b-s定价模型操作策略-回复“bs定价模型操作策略”BS定价模型（Black-Scholes model）是金融领域最为著名和广泛使用的期权定价模型之一。
本文将通过一步一步的回答，探讨在实际操作中如何利用BS定价模型来制定策略，以获得更好的投资回报。
第一步：了解BS定价模型的基本原理与假设BS定价模型是基于对期权市场的理性假设和随机过程的建模，以确定期权的理论价格。
关键假设包括：股票价格满足几何布朗运动、市场无摩擦、利率恒定等。
在实践中，我们需要先对市场进行基本面分析和技术分析，以了解所选股票的基本情况和价格走势。
第二步：确定期权的参数BS定价模型需要输入一些关键参数来计算期权的价格。
其中包括标的资产价格（S）、执行价格（K）、到期时间（T）、无风险利率（r）和标的资产的波动率（σ）。
在实际操作中，我们需要根据市场和业务需求来选择适当的参数。
第三步：计算期权的理论价格通过以上确定的参数，利用BS定价模型公式可以计算出期权的理论价格。
该公式包括两个部分：期权对应的欧式看涨期权或看跌期权价值，以及在到期日支付的无风险利息。
根据模型计算出的期权价格，可以与市场实际价格进行对比，进一步判断期权的价值。
第四步：确定买入或卖出期权的决策通过计算得到的期权价格，我们可以对市场上的期权进行评估。
如果计算出的期权价格高于市场价格，意味着该期权被低估，可以考虑买入；反之，如果计算出的期权价格低于市场价格，意味着该期权被高估，可以考虑卖出空头合约。
这种基于BS定价模型的买卖决策可根据投资者的风险偏好和投资策略来确定。
第五步：控制风险与仓位管理在进行期权交易时，风险控制和仓位管理非常重要。
BS定价模型只是提供了一个评估期权价格的理论框架，而无法全部涵盖市场的复杂性。
因此，投资者需要根据自身的风险承受能力和投资目标来制定合理的风险控制和仓位管理策略。
这包括设置止损位、控制仓位占比、分散投资等方法。
第六步：定期回顾和调整策略市场是不断变化的，期权价格也会随着市场波动而变化。
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
第九章 B-s期权定价模型
应该注意的是，风险中性假定仅仅是为了 求解布莱克 —— 斯科尔斯微分方程而作出 的人为假定。
但通过这种假定所获得的结论不仅适用于 投资考风险中性情况，也适用于投资者厌 恶风险的所有情况。
二、布莱克——斯科尔斯期权定价公式
1973年，布莱克和斯科尔斯成功地求解了他们的 微分方程，从而获得了欧式看涨期权和看跌期权 的精确公式。 在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时 (T 时刻)的期望值为：
2
Fra bibliotek4、无套利定价 由于式(5)中不含有Δz，该组合的价值在 一个小时间间隔Δt后必定没有风险。 因此该组合在 Δt 中的瞬时收益率一定等 于Δt中的无风险收益率。 否则的话，套利者就可以通过套利获得 无风险收益率。 因此，在没有套利机会的条件下： ΔΠ＝rΠΔt……（6） 把式(3)和(5)代入（6）得:
（3）d1和d2的性质 当股票价格S变得很大时， d1和d2 变得很大， N（d1）和 N（ d2 ）趋近于1，则： 看涨期权价格f为：S-X e-r(T-t) 看跌期权价格p为0，因为N（-d1）和 N（-d2） 趋近于0。
当股价波动率σ趋近于0时，有两种情况：
当 S>X e-r(T-t) 时， d1 和 d2 趋向于正无穷大， N （ d1 ） 和 N（ d2 ）趋近于1， 看涨期权价格f为：S-X e-r(T-t) ； 看跌期权价格p为：0
f f S (3) s 在t时间后, 该投资组合的价值变化 为：
f f S (4) s 将式(1)和(2)代入(4),可得 :
f 1 f 2 2 S t ( 5 ) t 2 S 2
期权定价公式完全指南对bs模型的介绍
期权定价公式完全指南对bs模型的介绍下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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B―S期权定价模型为公司股票和债权定价
d1=ln+tσf=d1-σt
σ是股票价格的年化波动率。
另外，我们简单介绍下看涨-看跌平价理论。设计以下交易：1）卖出看涨期权，到期日t，交割价格X。2）买入看跌期权，到期日t，交割价格X。3）买入对应的标的资产。4）借入Xe-rt的资金。令C表示看涨期权价格，P表示看跌期权价格。则期初现金流为：C-P-S+Xe-rt。则到到期日，不论股票价格大于或者小于交割价格X，净现金流均为0，由无套利可知，初始的现金流也该为0。即：P= C-S+Xe-rt=SN-Xe-rtN-S+Xe-rt=Xe-rtN-SN
现在，我们考虑到一个有负债的公司，其资本结构由权益资本和债务资本组成，设V为此公司在t时刻的总价值，E表示t时刻的权益资本，D为t时刻的债务资本价值，根据MM定理有：
V= E+ D
设T时刻公司的债务价值为B= B*T-t即为发行债券时的票面价值），其中rb为借款利率，大于无风险利率r。V为T时刻的公司总价值，它是不确定的，E为T时刻权益的价值。我们假设债务在T时刻进行清算，则到期日T时，若VB，根据上述分析的，股东将执行看涨期权，支付B给债权人，可视为股东以B，即低于公司资产价值的价格向债权人买入公司。股东获得差额E= V- B，即公司股票价格在T时为V- B。相反，若VB，即资不抵债，股东不执行权利，宣布破产，将公司交予债权人，债权人获得公司价值V，而股东一无所获，此时股票的价值将等于0。综上所述，T时债券的价值等于Min[V，B]，而T时股票的价值等于E=Max[V- B，0]。可见，公司股票确实可视为基于公司资产的看涨期权，因此，其价值可以用B-S看涨期权定价公式估计为：子可知，期权的价格只和S，X，r，t，σ这五个变量有关，而前四个变量都可以通过数据观察得到，σ则可以通过历史的价格数据进行估计。投资者的风险偏好和股票的预期收益率没有出现在定价公式中，这正是期权定价方法不同于开篇所述的现金流绝对定价法的地方。
B-S期权定价模型解析
没有交易费用或税收，即无摩擦的市场假设，且所 有证券都是高度可分的。
在期权的有效期内无风险利率和金融资产收益的变 量恒定。
不存在无风险套利机会。 证券交易是连续的，即不存在股票价格的跳跃行为。
投资者能够以相同的无风险利率借款或贷款，无风 险利率r为常数且对所有到期日都相同。
该期权是欧式期权
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
价值变动仅与时间 dt 有关，因此该组合
成功消除了 dz 带来的不确定性 12
根据无套利定价原理，组合收益率应 等于无风险利率 r (无套利机会)：
d rdt
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
r(- f
f S
S )dt
f rS f t S
1、股票价格的运动过程
dS dt dz, dz dt
S
dS ：股票的瞬间收益率
S
：股票的期望瞬间收益率
：股价收益率的瞬间标准差
4
波动率估计
1 观测证券价格的历史数据S0 、 S1 、…… 、 Sn ， 观测时间间隔为t（以年为单位）
2 计算每期以复利计算的回报率
ui＝Ln(Si / Si-1 ), i=1,……,n 3 计算回报率的标准差s
10
（3）B-S微分方程的推导
股票及衍生品的运动过程分别为：
dS Sdt Sdz
df
f S
S f
t
பைடு நூலகம்
1 2
2 S
f
2
2S
2
dt＋
f S
Sdz
为消除不确定性，构造投资组合：
衍生品：－1；股票：＋ f S
B-S定价模型
（1）无风险利率r是已知的，为一个常数，不随时间的变化而改变
（2）标的证券为股票，正股价格S的变化符合随机漫步，但这种随机漫步能够使股票的回报率成对数正态分布。
（3）标的股票不分红
（4）期权为欧式期权，即到期日才能行权
B-S模型
期权定价模型。
B-S是两位经济学家BLACK、SCHOLES名字的缩写，为了纪念他们发现该模型而用他们的名字命名.
在二叉树的期权定价模型中，如果标的证券期末价格的可能性无限增多时，其价格的树状结构将无限延伸，从每个结点变化到下一个结点（上涨或下跌）的时间将不断缩短，如果价格随着时间周期的缩短，其调整的幅度也逐渐缩小的话，在极限的情况下，二叉树模型对欧式权证的定价就演变为关于权证定价理论的经典模型：B-S模型.
第一个角度根据定价原理，该模型可以看作两部分， 和 ，正好理解为一个投资组合的两个组成部分，即N(d1)份正股和XeN(d2)元的无息贷款的组合。也就是说，在权证未到期前的任何时刻，一份认购权证的价值与N(d1)份正股和XeN(d2)元的无息贷款的组合价值相同。
第二个角度是从权证的到期收益来理解模型，权证的价值由其到期日能够给持有者带来的收益决定。但是到期时正股价格不确定，因此权证的收益也难以确定。假设到期时正股价格为S，则到期时认购权证的价格为S-X。那么在到期前的任一时刻t,要想知道认购权证的价格，我们就需要推算认购权证到期时正股价为S的概率，同时将行权价格按一定的贴现率折算为时刻t的现值。因此，认购权证的定价模型可以理解为在任一时刻t,认购权证到期时正股价格为S的概率为N(d1)， 为行权价格在时刻t的现值，N(d2)为概率。因此，在任一时刻t,认购权证给投资者带来的收益即为 。
第四讲 BS期权定价模型
第四讲BS期权定价模型统计与管理学院第四讲BS期权定价模型第一节BS期权定价模型的基本思路第二节BS期权定价公式第三节BS期权定价公式的精确度评价与拓展第一节BS期权定价模型的基本思路股票价格服从的随机过程由It ô引理可得期权价格相应服从的随机过程dS Sdt SdWm s =+222212f f f fdf S S dt SdWS t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø第一节BS期权定价模型的基本思路BS微分方程BS期权定价公式222212f f frS S rft S S s ¶¶¶++=¶¶¶()()()12r T t c SN d Xe N d --=-第二节BS期权定价公式一、模型基本假设二、BS方程的推导三、风险中性定价原理四、BS期权定价公式的推导五、BS期权定价公式的参数估计一、假设证券价格遵循几何布朗运动，即µ和σ为常数 允许卖空标的证券没有交易费用和税收，所有证券都完全可分 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 不存在无风险套利机会证券交易是连续的，价格变动也是连续的衍生证券有效期内，无风险利率r为常数二、BS微分方程的推导由于假设股票价格S遵循几何布朗运动，因此在一个小的时间间隔∆t中，S的变化值∆S为dS Sdt SdWm s =+S S t S Wm s D =D +D二、BS微分方程的推导设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S 和t的函数，根据伊藤引理可得：在一个小的时间间隔∆t中，f的变化值∆f满足：222212f f f f df S S dt SdW S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø222212f f f f f S S t S W S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷D =++D +D ç÷ç÷綶¶¶èø二、BS微分方程的推导为了消除风险源∆W，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。
BS期权定价模型
2020/1/13
9
思考题
1、造成Black-Scholes期权定价公式估计 的期权价格与市场价格存在差异的原因 有哪些？
① 计算错误；
② 期权市场价格偏离均衡；
③ 使用的错误的参数；
④ 布莱克——舒尔斯期权定价公式建立 在众多假定的基础上
思考题
B-S模型只解决了不分红股票的期权定价 问题,那么对于分红股票的期权定价问题 应该如何解决呢？
布莱克-斯克尔斯期权定价模型
1
主讲内容
背景知识 基本概念介绍 模型介绍 案例与实验操作 思考题
背景知识
1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学 奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯 特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈 伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发 展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、 债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的 各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合 理定价奠定了基础。
(1)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间 T(即除息日)支付已知红利DT，只需将该红利现值从股票现 价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即 可:S′=S-DT E-rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一 一减去。从而将B-S模型变型得新公式:
C=(S- E-γT N(D1)-L E-γT N(D2)
基本概念
期权 看涨期权与看跌期权 美式期权与欧式期权
模型介绍
基本假设：
1．股价遵循几何布朗运动： 2．允许使用全部所得卖空衍生证券； 3．没有交易费用或税金，且所有证券高度可分； 4．在衍生证券的有效期内没有支付红利； 5．不存在无风险的套利机会； 6．证券交易是连续的，股票价格连续平滑变动； 7．无风险利率r为常数，能够用同一利率借入或贷出资金 8．只能在交割日执行期权。
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权证系列：B-S 模型为欧式期权定价
——Excel 在宝钢权证定价中的应用
在前两期权证知识讲座中，我们为大家介绍了股本权证的基本原理和权证交易的市场实用知识。
相信大部分读者已经发现，权证作为一种高风险高收益的投资产品，其特点在于它的价值和标的股票的价值息息相关。
尽管大部分人认为股票的价值是随机变化而不可预测的，但同时大家又相信股票价值和权证价值之间存在某种确定的关系，即一旦股票价格已知，则其对应的权证的合理价格就可以计算出来。
因此从本期权证知识讲座开始，我们将为大家介绍几种常用的权证定价方法，包括B-S 模型、二叉树、三叉树等，并将以Excel 为工具，为大家演示权证定价步骤。
B-S 模型介绍
Fischer Black，Myron Scholes，Robert Merton 于1973年提出了B-S 模型，这是金融衍生品定价领域的第一个重大历史性突破。
B-S 模型的魅力在于不但给出了期权价格的解析解，且其价值仅依赖于为数不多的可观测变量和常数：股票价格、执行价格、波动率、无风险利率、期权有效期，因此非常简单实用。
当然，任何模型的建立都从一些较为理想的假定条件开始，B-S 模型的假定条件为：
1. 股票价格随机可变，但遵循对数正态分布，即
dS Sdt dZ μσ=+ 公式（1）
其中 S：股票价格
μ：股票价格变动的速度
σ：股票价格的波动率
dZ =，ε：随机变量，t：时间
2. 期权投资期间可以卖空证券
3. 不存在交易成本和税费，且所有证券无限可分
4. 期权有效期间无分红配股
5. 市场无套利
6. 证券交易是连续的
7. 无风险利率为常数，且保持不变
尽管上述某些假定条件在现实市场环境中显得过于理想，如目前中国股票市场还不能卖空股票，实际交易均存在交易费用，分红配股也是不可避免的事情，但这些问题仍然没有影响到B-S 模型的魅力，它们在后期的模型改进中均得到了相应的修正。
由于B-S 模型是基于无套利的思想，因此其推导的思路关键在于能否构建一个无风险的投资组合。
假设权证的价格为f，f 是（S，t）的函数，根据公式（1）及泰勒展开式，可以推导出
2222f f 1f f df S S dt Sdz S t 2S S μσ⎛⎞∂∂∂∂=+++⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠
σ 公式（2）
我们可以看到，股票和权证价格的不确定性都来自于一个风险源“dz”，因此一旦把股票和权证组合起来，就可以将风险源消除，使得该组合获取无风险收益。
组合构建如下：
∏=–1单位的权证+
f S
∂∂单位的股票 该组合的收益为： 2222f 1f d t 2S σ⎛⎞∂∂∏=−−⎜∂∂⎝⎠
S dt ⎟ 公式（3） 同时，由于该组合已消除风险源，因此可获取无风险收益率r，即
f d r dt r(f S)d S
t ∂∏=∏=−+∂ 公式（4） 从公式（3）、（4）即可得到B-S 模型的微分方程 2222f f 1f rS S rf t S 2S
σ∂∂∂++=∂∂∂ 公式（5） 边界条件：认购权证到期，即t=T时，c =max(S T –X, 0)
认沽权证到期，即t=T时，p= max(X–S T , 0)
其中，T：权证到期日
c：认购权证价格
p：认沽权证价格
X：权证的执行价格
从公式（5）中，我们可以看到，权证的价格f 只和股票价格S，波动率σ，时间t 有关，而与风险源无关，因此其定价过程可以放在简单的风险中性世界中进行。
所谓的风险中性，就是投资者对风险没有特别的偏好，所有的投资期望收益率均为无风险利率r。
因此，在连续复利的条件下，t=0时，1rT T c e
E(max(S X,0)∧−=− rT
T p e E(max(X S ,0)∧−=−有兴趣的读者可以自行推导，我们在此仅把认购权证和认沽权证的价格公式列示如下：
rT 012c S N(d )Xe N(d )−=−
rT 201p Xe N(d )S N(d )−=−−− 公式（6） 其中 2
1d =
1 表示风险中性世界下的期望值 E ∧
2
21d d ==−
上面的公式推导可能会让部分读者感觉复杂，从经济意义角度来理解B-S模型将更为直观，以认购权证的定价为例，N(d 2)表示期权被执行的概率，N(d 1)则表示股票价格变动一单位，权证价格变动的大小。
利用B-S 模型为宝钢权证定价
如前面所述，B-S 模型具有简单、实用的特点，其所依赖的一些变量也很容易从市场数据中观测到，因此成为了广泛采用的一种权证定价方法。
但B-S 模型也具有两个比较大的局限性：一是只能为欧式期权定价，二是它所依赖的一个重要变量σ至今还没有找到很好的估算方法。
延续前几期金融工程报中利用Excel 教学的方法，接下来我们将用Excel 为大家演示如何为市场上有交易的权证定价。
目前中国股票市场上正式推出交易的权证只有一只：宝钢权证（580000），它的基本资料在第1期权证知识讲座中已经介绍过，这是一只行权价格为4.5元的欧式认购权证，行权日为2006年8月30日。
由于其行权价格根据送配股及红利支付自行调整，因此可视为不支付红利的欧式认购权证。
现在我们就以宝钢权证为样本，计算其在2005年10月24日的权证合理价格，并提供参数的试算功能。
（一） 输入所需参数
在B-S模型介绍中，我们知道，计算不支付红利的欧式认购权证的价格只需要以下几个参数：股票当前价格S 0、权证执行价格X、股价波动率σ、无风险利率r和权证剩余期限T-t，当前股价可从市场行情中直接取到，以收盘价为例4.02元，行权价在宝钢权证的基本资料中已经明确为4.5元，无风险利率采用10月24日银行间市场7日回购利率1.14%，权证的剩余期限公式见画面一，较难确定的是股价波动率，计算波动率的常见方法有WMA、EWMA、GARCH模型等（有兴趣的读者可参阅红顶收益战略家5.0），在此我们以宝钢股份（600019）的所有日成交历史数据为样本，采用GARCH（1，1）模型，推算出它的年化波动率为32.56%，大多数市场人士认为理论波动率往往比实际波动率小很多，我们采用香港权证市场的一种经验做法，把计算出的历史波动率乘以2，即65.12%，读者也可以根据自己的判断调整波动率。
经整理，所有需要输入的参数如画面一所示：
画面一
请注意：在参数输入中我们加入了参数微调的功能，更便于用户调整各项参数，观察参数变化对权证价格的影响。
以当前股价S为例，点击“视图”菜单——工具栏——窗体后，将微调项按钮拖拉至D5，右击该按钮，选中设计控件格式，出现画面二：
画面二
由于股票价格的最小变动单位为0.01元，而微调项的最小单位为1，因此需要先将放大100倍后的股票价格进行微调，再缩小100倍。
采用相似的设置，可为年波动率、执行价格、无风险利率设置微调项，微调幅度分别为0.01%、0.01%、0.01元。
（二） 输出权证价格
根据公式（6），即可利用输入的参数计算宝钢认购权证价格，结果见画面三 画面三
附：本周宝钢权证行情K线图如下
注：本图表数据内容来自于上海证券交易所网站。