节 刚体定轴转动 自学总结
刚体转动总结
转轴I
转轴II
总质量 m
m i
ri
ri
刚体转轴的位置。
1. 转动惯量的计算 质点组成的系统的转动惯量
J mi ri m r m r m r
2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 i
质量连续分布的物体的转动惯量 转轴
转轴 L
线密度
r
J r dm
ri
转轴
m i
刚体转动动能等于所有 质点动能相加
2
2
2
1 1 1 E m v m r J 2 2 2
2
k
i
i
i
i
i
i
vi ri
转动惯量
二.力矩的功 当刚体在外力 F 作用 下有一角位移d 时，力的 作用点位移 dr 的大小为
0
如果力矩恒定不变
根据转动定律，合外力矩为
M J J d dt
在dt时间内刚体角位移为 d d t
则
dW M d J
d dt
dt J d
当刚体角速度由 1变为 2时，合外力矩的功
W
2
1
J d
1 2
J
2 2
1 2
J1
2
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 刚体的动能定理
存在以下对应关系
F ma F M m J a 1 2 mv
2
M
J
J
1 2
J
2
角 动 量
mv
质点做圆周运动时对转轴的角动量
L J mr mvr
刚体旋转知识点归纳总结
刚体旋转知识点归纳总结1. 刚体旋转的基本概念刚体是指在一定时间内，其内部各点的相对位置不改变的物体。
刚体旋转是指刚体围绕固定点或固定轴发生的旋转运动。
在刚体旋转中，需要引入一些基本概念：1.1 刚体的转动刚体的旋转可以是定点转动，也可以是定轴转动。
在定点转动中，刚体绕固定点旋转，而在定轴转动中，刚体绕固定轴旋转。
定点转动和定轴转动都是刚体旋转运动的两种基本形式。
1.2 刚体的转动角度和角速度刚体的转动角度是刚体在单位时间内所转过的角度，通常用θ表示。
刚体的角速度是指刚体单位时间内转过的角度，通常用ω表示。
在刚体定点转动中，角速度是刚体绕定点旋转的角度速度；在刚体定轴转动中，角速度是刚体绕定轴旋转的角度速度。
1.3 刚体的转动惯量刚体的转动惯量是衡量刚体抵抗旋转的惯性大小，通常用I表示。
刚体转动惯量的大小取决于刚体形状、质量分布以及旋转轴的位置。
对于质点组成的刚体，其转动惯量可以通过对质点的质量进行积分得到。
1.4 刚体的角动量刚体的角动量是刚体旋转运动的物理量，通常用L表示。
角动量的大小和方向分别由角速度和转动惯量决定。
在定点转动中，如果刚体的角速度和转动惯量都不变，那么刚体的角动量也保持不变；在定轴转动中，如果刚体绕固定轴旋转，那么刚体的角动量也保持不变。
2. 刚体的转动力学刚体的转动力学研究刚体在旋转运动中所受的力和力矩，包括转动定律、角动量定理、动能定理等内容。
2.1 刚体的平衡刚体旋转平衡需要满足一定的条件，包括力矩平衡条件和动量平衡条件。
刚体力矩平衡条件是指刚体所受的合外力矩为零；刚体动量平衡条件是指刚体所受的合外力矩关于某一点的力矩为零。
2.2 刚体的角动量定理刚体的角动量定理描述了刚体在受到外力矩作用下，其角动量的变化规律。
根据角动量定理，刚体所受外力矩产生的角动量变化率等于刚体所受外力矩的矢量和。
2.3 刚体的动能定理刚体的动能定理描述了刚体在旋转运动中，其动能的变化规律。
根据动能定理，刚体所受外力矩产生的功率等于刚体动能的变化率。
大学物理刚体的定轴转动归纳
B 角速度从小到大，角加速度从小到大
C 角速度从大到小，角加速度从大到小
D 角速度从大到小，角加速度从小到大
提交
单选题 1分
关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 ［］
只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴 A 的位置无关
取决于刚体的质量和质量的空间分布，与 B 轴的位置无关
提交
单选题 1分 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是（）
A 刚体不受外力矩的作用 B 刚体所受合外力矩为零 C 刚体所受的合外力和合外力矩均为零 D 刚体的转动惯量和角速度均保持不变
提交
单选题 1分 跳水运动员在空中绕通过自身的轴转动，开始时 身体展开，转动惯量为J0，角速度为 ω，然后她 将身体迅速蜷紧，这时她转动的角速度将（）
刚体的定轴转动
转动定律
• 掌握 M J 的应用
• M：定轴转动刚体的合外力矩 • J：转动惯量（物理意义及性质） • α：角加速度（与切向××加××速×度的关系：a=Rα） • 1、如何计算合外力矩M？ • M=力×力臂 • 力臂：转动中心到力作用线的垂直距离
单选题 1分 如图，一细长匀质杆，质量为m，长为L，绕定轴 o点转动，从竖直方向转到任意位置，其夹角为θ， 则重力矩为（）
A 增大 B 减小 C 不变 D 可能增大也可能减小
提交
主观题 10分
一轻绳绕过一定滑轮，轴间无摩擦，滑轮视为匀 质圆盘，绳的一端悬有质量为m的物体，如图所 示。设滑轮质量为M，半径为R，转动惯量 J。绳 与滑轮之间无相对滑动。试求1）物体m的加速度 大小；2）定滑轮的角加速度 解：这道题按照前面所讲解的，用“对号入座” 方法列方程求解。
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
刚体、定轴转动
其中： J
r 2 dm
M
刚体对轴的转动惯量
二、力对定轴的力矩
力 F 对轴上 o 点：
o
k 0
z
w
Mz
M r F 0 0 0 rr ( Fr r F Fz k )
r
0 M r
o r
F
0 0 rF k rFz M z k M
2 2 L 2 L
o
dm
x
L 2 1 (2) J 2 J 1 m( ) mL2 2 3
四、定轴转动定律 对质点系（刚体） 的任意运动： 对刚体的定轴转动：
M 合外 M 轴的 M 轴以外
dL M 合外 dt
L Jwk
0 M 轴的 M z k M M z k
M r F
K
转动定律：
角动量定理：
dL M 合外 dt t2 M 合外dt L2 L1
t1
t2
t1
M ( t )dt
角动量守恒定律： 若：M合外 0 则：L 常矢量
第五章 §5.1
刚体的定轴转动 刚体及 • 在受力时形状和大小保持不变的物体； • 包含大量质点（质元），而各质点间相对 位置保持不变的质点系； 二、刚体的性质
dL dw Mz J Jb dt dt
刚体的定轴转动定律： 刚体作定轴转动时，所受合外力矩（沿轴） 等于刚体对轴的转动惯量与角加速度的乘积 M z Jb 质点： F ma 五、应用 1. 2. 3. 4. 5. 确定研究对象，画受力图； 标明加速度和角加速度的方向； 建立坐标系（线量和角量方向要匹配）； 根据牛顿二定律和转动定律列方程； 求解并讨论。
–刚体的定轴转动定律刚体力学
平行轴定理
质量为 m 的刚体，如果对
其质心轴的转动惯量为JC ，则
对任一与该轴平行，相距为 d
的转轴的转动惯量
d
C mO
JO JC md 2
P
圆盘对P 轴 的转动惯量
JP
1 mR2 mR2 2
R Om
3 – 1 刚体的定轴转动定律
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
第三章 刚体力学
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
的圆环
圆环质量 dm 2 π rdr
圆环对轴的转动惯量
O r dr
R
dJ r2dm 2 πr3dr
J
R
0
2
π
r
3dr
2
π R4
而 m π R2
所以 J 1 mR2 2
3 – 1 刚体的定轴转动定律
第三章 刚体力学
注意 转动惯量的大小取决于刚体的质量、质
量的分布及转轴的位置 .
取圆环为质量元 dm ，则
圆环质量 dm 2 π rdr
O r dr
圆环受到的摩擦力矩为
R
dM r dFf grdm
M 0R 2 π gr2dr
2 π gR3 2 mgR
3
3
由角动量定理得：
M
t
0
1 2
mR
2
0
t
3R
4g
0
3 – 1 刚体的定轴转动定律
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
3 – 1 刚体的定轴转动定律
第三章 刚体力学
有许多现象都可以 用角动量守恒来说明.
刚体旋转知识点总结图解
刚体旋转知识点总结图解一、刚体的定义刚体是指形状和大小在一定范围内不改变，结构完整，部分不会随着外力的作用而发生形变的物体。
刚体的旋转是指刚体绕着某个固定轴线旋转的运动。
二、刚体的转动定律1. 刚体的角位移：刚体绕固定轴线旋转时，每个质点的位移方向都与该质点的运动轨迹相切，并且线速度不同，但角速度相同。
2. 刚体的角加速度：刚体绕固定轴线旋转时，各质点的加速度虽然大小不同，但方向都垂直于该质点的运动轨迹，并与其对应的线速度方向一致。
3. 刚体的角动量：刚体绕固定轴线旋转时，当刚体的转动轴不经过质心时，刚体的角动量等于该点相对于质心的角动量之和。
三、刚体的转动定律1. 角动量定理：刚体绕固定轴线旋转时，刚体的角动量与外力矩之和等于刚体对旋转轴的角动量的变化率。
2. 动能定理：刚体绕固定轴线旋转时，刚体的动能等于刚体的角动量的变化率与角速度的乘积之和。
3. 动量矩定理：刚体绕固定轴线旋转时，刚体的角动量改变的原因是外力矩。
如果外力矩为零，则刚体的角动量是守恒的。
四、刚体的转动惯量1. 刚体的转动惯量：刚体绕固定轴线旋转时，刚体对于该轴线的转动惯量等于各质点到该轴线距离的平方与质点质量乘积之和。
2. 转动惯量的计算方法：刚体对于不同轴线的转动惯量计算是以刚体某一坐标轴为基准，按照平行轴定理或垂直轴定理进行转动惯量的计算。
3. 转动惯量的应用：刚体绕固定轴线旋转时，转动惯量的大小决定了刚体旋转的惯性大小。
转动惯量越大，刚体绕轴旋转越困难。
五、刚体的转动动力学1. 合力与合力矩：刚体绕固定轴线旋转时，合力是刚体质心的动力学性质，而合力矩是刚体绕轴线旋转的动力学性质。
2. 麦克尔斯定理：刚体绕固定轴线旋转时，如果刚体受到合力矩的作用，则该合力矩等于刚体在质心处受到的效力矩与刚体到该轴的距离的乘积。
3. 角动量矩定理：刚体绕固定轴线旋转时，角动量矩定理描述了刚体对旋转轴的角动量的变化率等于刚体受到的外力矩。
六、刚体的平衡与稳定1. 刚体的平衡：刚体绕固定轴线旋转时，刚体处于平衡状态可以分为静平衡和动平衡，其中静平衡是指刚体的合外力和合外力矩均为零，而动平衡是指刚体的合外力为零。
刚体转轴知识点总结
刚体转轴知识点总结一、刚体转轴的概念刚体转轴是指刚体绕某一确定点进行旋转运动时的轴线。
在刚体的运动学和动力学中，刚体的旋转运动通常是绕着固定的点或者固定的轴线进行的，而这个固定的点或轴线就被称为刚体的转轴。
在实际应用中，我们经常会遇到刚体转轴的相关问题，比如物体的转动惯量、角动量等。
二、刚体转轴的性质1. 刚体转轴是刚体旋转的轴线，刚体可以绕着转轴进行自旋运动。
2. 对于任意一个刚体的旋转运动来说，都必须存在一个转轴。
3. 刚体的转轴可以是固定的，也可以是随时间变化的。
4. 对于平面刚体来说，其转轴通常是固定的，而对于空间刚体来说，其转轴可以是随着时间变化的。
三、刚体转轴与刚体运动的关系1. 刚体转轴与刚体的自旋运动密切相关，刚体绕着转轴进行自旋运动。
2. 刚体转轴的位置和方向决定了刚体的旋转运动的性质，对于不同位置和方向的转轴，刚体的旋转运动是不同的。
3. 对于不同形状和质量分布的刚体来说，其转轴的位置和方向也是不同的。
四、刚体转轴的应用1. 在机械工程中，刚体转轴广泛应用于各种机械设备和工具中，比如转轴的设计和制造、转轴的定位和安装等。
2. 在航空航天领域，刚体转轴常常用于飞行器和卫星的姿态控制系统中，用来控制飞行器的姿态和稳定性。
3. 在物理学和工程学中，刚体转轴被用来研究停车、转弯、滚动等运动现象，以及相关的力学和动力学问题。
五、刚体转轴的相关定理和定律1. 旋转惯量定理：刚体围绕着转轴做直线运动，它的动能是角动能 -- 这是刚体转动的基本定理。
2. 平行轴定理：将刚体的质心转移到刚体质心轴上的转动惯量，通过一个和刚体质心轴平行的轴线，刚体的转动惯量。
这是把刚体坐标原点转移到质心坐标原点的矢量转换法。
3. 垂直轴定理：刚体被转移到刚体质心轴上的转动惯量通过垂直于刚体的质心轴平行轴的平方。
这个震动也可以通过用刚体质心轴和刚体的垂直轴的垂直轴定理来推导。
4. 平均定理：当刚体平衡的时候，它转动惯量与异常性能合，并等于它的权重力面在平衡上的较小平均动能/较大转动惯量5. 平界定理：当刚体平衡时，它围绕它的质心旋转的转动惯量和围绕其他类的质心转动的转动惯量之间的比率和围绕它的转动惯量之间的比率相等。
刚体定轴转动知识点总结
刚体定轴转动知识点总结1. 刚体的转动定轴刚体的转动定轴是指固定不动的直线，沿其进行转动的刚体的每一个质点所受的力矩的代数和等于零。
在实际中，通常通过支点来实现转动定轴，比如钟摆、摇摆、旋转的转轴等。
2. 刚体的角位移、角速度和角加速度在刚体定轴转动中，刚体围绕定轴线进行旋转，其角位移、角速度和角加速度是非常重要的物理量。
角位移表示刚体在围绕定轴线旋转的过程中所经过的角度变化量，通常用θ表示；角速度表示刚体围绕定轴线旋转的速度，通常用ω表示；角加速度表示刚体围绕定轴线旋转的加速度，通常用α表示。
3. 牛顿第二定律在刚体定轴转动中的应用牛顿第二定律也适用于刚体定轴转动的情况。
在刚体定轴转动中，外力会给刚体带来转动运动，根据牛顿第二定律，刚体的角加速度与作用在其上的外力矩成正比。
因此，可以根据力矩的大小和方向来分析刚体的转动运动。
4. 转动惯量和转动动能在刚体定轴转动中，转动惯量是一个非常重要的物理量。
转动惯量描述了刚体围绕定轴线旋转的难易程度，其大小与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
转动动能是刚体围绕定轴线旋转的能量，其大小取决于刚体的转动惯量和角速度。
5. 转动定律和角动量守恒定律在刚体定轴转动中，转动定律和角动量守恒定律是非常重要的定律。
转动定律描述了刚体受力矩产生的角加速度与所受力矩的关系，角动量守恒定律描述了刚体转动过程中角动量的守恒规律。
6. 平衡条件和稳定性分析在刚体定轴转动中，平衡条件和稳定性分析是非常重要的内容。
通过平衡条件，可以分析刚体围绕定轴线旋转的平衡状态。
稳定性分析则是分析刚体在平衡状态下的稳定性，通常通过刚体的势能函数和平衡位置的稳定性来进行分析。
7. 应用领域刚体定轴转动的理论和方法在工程技术、航空航天、机械制造、物理学等领域都有重要的应用价值。
比如在机械制造中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计机械装置；在航空航天中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计飞行器的运动控制系统。
2.91刚体的定轴转动力矩 转动定律 转动惯量
M r F
d
P
F
F
Fi 0 , M i 0
F
F
2.9刚体的定轴转动定律
讨论
第二章 守恒定律
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量 其中 Fz 对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的 力矩
代入初始条件积分 得
3g d sind 2l
3g (1 cos ) l
考虑到
7lg 12 v0 dr g cost cos( t) dt 2 24 v0 7l
t
2.9刚体的定轴转动定律
第二章 守恒定律
例4 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此 竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度 和角速度 .
刚体定轴转动的角动量定理
第二章 守恒定律
t2
t1
Mdt J 2 J1
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若M 讨论 若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L 内力矩不改变系统的角动量.
守 恒条件
0 ，则 L J 常量
M 0
J 不变.
在冲击等问题中
L mi ri vi (
i
2 mi ri )
L J
i
ri
mi
z
2 刚体定轴转动的角动量定理 dL d( J ) M dt dt
O
vi
t1
[理学]第5章 刚体的定轴转动_OK
![[理学]第5章 刚体的定轴转动_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/1edbe6d74b35eefdc8d333f9.png)
J 2
x 2dm l x2dx 1 ml 2
0
3
o
dx
dm
17 x
图(2)
记住几个典型的转动惯量：
*圆环（通过中心轴）………………… J = mR2
*圆盘、圆柱（通过中心轴）………… J 1 mR2 2
*细棒（端点垂直轴）…………………J A
1 3
m L2
*细棒（质心垂直轴）…………………J c
滑轮的角速度．
解：两重物加速度大小a相同，滑轮角加速度为
隔离物体分析力方向如图
由牛顿第二定律： m1g－T1＝m1a T2－m2g＝m2a
转动定律： (T1－T2)r＝Jb 且有： a＝rb
T1 T1 a m1 m1g
r T2
m2 T2 a
m2g
解方程组得：
m1 m2 gr m1 m2 r 2 J
转动平面: 取垂直于转轴 的平面为参考系, 称转动平面。,
转轴
Z 转动方向
vi
Δmi
转动平面
P
o θ
x
op r
2.定轴转动的角量描述
1.角位置θ
6
2.角位移
3.角速度: d 角速度是矢量 。dt
单位：rad/s
Zω 转动方向
v
方向与转动方向成 右手螺旋法则。
P点线速度 v r
Ｐ
o θ 转动平面 op r
第五章 刚体的定轴转动
转轴
1
一、力矩
复习
M rF
1. 大小：M = rFsinθ
2.方向：由右手螺旋定则确定。
Z F// F
O r F⊥ p
注意：上式中F指的是与转轴垂直平面(转动平面)上的力，
刚体的定轴转动及转动定律
3
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例2、一质量为m 、半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
r
圆环质量
dm 2 π r dr
2 3
RR
O
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
75π N 37.5 r 2π 2π （2）t 6s 时，飞轮的角速度
转过的圈数
t （ 3）
π 1 1 0 t (5π 6)rad s 4π rad s 6
6s 时，飞轮边缘上一点的线速度大小 2 2 v r 0.2 4π m s 2.5 m s
4、角加速度（矢量）
大小：
d dt
若 2
方向：
> 1 则 与角速度同向， 若 2 < 1 则 与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
二、匀变速转动公式 匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
z
k
O
1）若力 F 不在转动平面内
F F F
则：
Fz
F
F
M r F r ( F F ) r F rF sin k
2）合力矩等于各分力矩的矢量和:
r
M M1 M 2 M 3
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
刚体定轴转动讲授心得
1引言在非物理专业普通物理力学部分的教学中,刚体的定轴转动部分是一明显难点,原因之一是学生在中学阶段接触刚体力学的内容不多而感到生疏和难以接受.另外,教师不恰当的教学方法也是阻碍学生充分理解和熟练掌握这部分内容的重要原因.为改进教学方法,提高教学效果,我们总结了几年来的教学经验,发现在刚体的定轴转动课程中运用类比法教学,能使教学过程变得简单、明了,不但可以避免不必要的重复,而且能将互相类比的内容互相比照,衔接起来,更容易让学生理解和掌握.下面结合自己的教学实践,具体阐述一下类比法教学在刚体的定轴转动课程中的运用.2类比法教学在刚体的定轴转动课程中运用的初步设想类比法是根据两个对象都具有某些属性,并且其中的一个对象还有另外的某个属性,推出另一个对象也有某个属性的逻辑方法.类比方法是以两个对象之间的类似、对象属性之间的相互联系和相互制约为基础的,一方面从课程体系来讲,刚体的定轴转动是机械运动的一部分,且各教材都将其安排在质点的动力学之后,另一方面从学生的接受能力来讲,在中学阶段学生已经对质点的动力学有一定的了解,所以可以以质点力学为基础来用类比的方法讲解刚体定轴转动的问题.本文认为应该从刚体的概念、质点的平动和刚体的转动的最基本量的对比作为基础来引入刚体定轴转动的几个重要定律.这样不仅使学生更容易理解和掌握刚体定轴转动的相关知识,而且对于机械运动这部分内容也会有一个整体的把握.3类比法教学在刚体的定轴转动课程中运用的具体内容3.1基本概念的对比讲解在讲解本章之前应该强调,刚体的转动是机械运动的一部分,质点力学是机械运动的平动部分,刚体的转动是机械运动的转动部分.一般教材中质点力学是安排在刚体力学前面的,学生对于质点这一概念有比较深刻的印象,所以在讲解刚体这一概念时我们要强调刚体是特殊的质点系统,特殊就特殊在这一质点系统在外力的作用下,系统内任意两质点间的距离始终保持不变.如果在讲解刚体概念时能够对比强调这一点,不仅使同学们能够在质点的基础上理解刚体的概念,更增加了对比性.相同点是两者都是处理力学的理想物理模型,不同点是两者分别是用来处理不同类型的力学问题的,质点是用来处理机械运动的平动而刚体是用来处理机刚体定轴转动讲授心得李化南(吉林师范大学物理学院,吉林,四平136000)摘要:针对学生学习刚体定轴转动的现状,根据多年的教学实践,总结出以质点力学为基础应用类比法讲解刚体定轴转动定律的方法,强调应以刚体的概念、最基本量的对比作为基础来引入刚体定轴转动的几个重要定律.关键词:机械运动;质点;刚体中图分类号:O313.3-42文献标识码:A文章编号:1673-260X (2008)04A-0033-02Vol.24No.4Jul.2008第24卷第4期2008年7月赤峰学院学报(自然科学版)Journal of Chifeng Univer sity (Natura l Sc ience Edition)33械运动转动问题的.3.2基本量的对比讲解可以说质量(m)和转动惯量(J)分别是质点力学和刚体转动力学最基本的量,而质量已经不是新的概念了,但在这里应该强调质量的物理意义,是平动惯性大小的量度,而转动中转动惯量的地位是和平动中的质量是完全相当的,它的物理意义是转动中惯性大小的量度,但是转动惯量又有其特殊性,一般来讲在质点力学中质量是已知给出的,而转动惯量在具体问题中,却是一个需要计算的量,而且转动惯量是一个与刚体质量、刚体的质量分布以及转轴位置都有关系的一个物理量.而涉及到运动的时候,力(F)和力矩(M)就分别是最基本的量了,牛顿第二定律(F!=ma")和刚体的定轴转动定律(M#=J!$)分别是质点的平动和刚体的转动的最基本定律,其中a和"分别是平动的加速度和转动的角加速度.另外应该给出v和#分别是平动速度和转动的角速度,它们的地位都是相当的.了解了刚体的最基本物理量(转动惯量、转动速度、力矩和转动加速度)以后,刚体的角动量(L!=J$$)以及刚体的转动动能(12J%2)就不难理解了.3.3重要定律的对比讲解事实上,学习刚体的定轴转动定律最重要的还是要使学生对于刚体的定轴转动的规律有一个基本的了解,会运用在本章中学习到的各定律来解决刚体的定轴转动问题.那么在了解了上面最基本量之后,介绍刚体定轴转动的各定律就不难了.首先回顾牛顿第二定律的微分形式,继而是力的时间积累和空间积累问题,即分别是冲量(I")和功(A),那么力的时间累积和空间累积效果即冲量和功可以分别用什么来表达呢?就是质点的动量定理和动能定理了.那么既然力矩和力是相当的物理量,那么力矩的时间和空间累积效果分别是什么呢?自然就过渡到新的物理定义冲量矩(t2t1%M#dt)和力矩的功(&2’1%M# d()这两个重要概念上来,而冲量矩和力矩的功分别可以用角动量的增量和转动动能的增量来表示的,即分别为刚体定轴转动的角动量定理和刚体定轴转动的动能定理.当然在这里还涉及到刚体定轴转动的角动量守恒的问题,有质点的动量守恒定律(∑mv"的条件是∑F!=0)为基础,刚体定轴转动的角动量守恒定律(∑J)=常量的条件是∑M#)也就很容易理解了.4总结教学实践证明:以质点力学为基础,运用类比方法对刚体定轴转动力学中的刚体的概念、转动惯量、力矩、转动速度以及转动角加速度这5个基本量的对比讲解来引入刚体定轴转动几个重要定律的讲解,不但使学生更容易理解和掌握刚体定轴转动的相关知识,而且对于力学机械运动这部分内容也会有一个整体的把握,从而达到了提高教学效果的目的.———————————————————参考文献:〔1〕吴現成,高锦英.有关刚体力学定轴转动部分的教法研究[J].高等理科教育,1999,(4):52-55.〔2〕温彦生.应有类比法讲授刚体的转动[J].包头医学院学报,2000,(1):86-87.〔3〕程守洙,江之水.普通物理学1[M].高等教育出版社,1990.34。
4第四章 刚体的定轴转动
第 1 讲 刚体的定轴转动
预习要点 1. 理解刚体的运动； 2. 掌握描述刚体定轴转动的运动学方法； 3. 理解力矩的概念及力矩的功；
式中 mi ri2 表示第i个质点对转轴的转动惯量；
对质量连续分布的刚体，任取质量元 dm ，其到轴的
距离为 r ，则转动惯量：
J r2dm 单位：kg ·m2
若系统由多个刚体组成，则系统对转轴的总转动惯量， 等于各部分对同一转轴的转动惯量之和
一个长为4L的轻杆，连有两个质量都是m的小球（大小可 忽略），此系统可绕垂直于杆的轴转动，求下列转动惯量；
在转动平面内，O为转动平面与转轴的焦点，r 为从O 点指向
M 力的作用点 A 的位矢，两矢量的夹角为 ；
力 F 对定轴 OZ 的力矩 ：
（力臂：力的作用线到转轴的距离）
z
M Z Fd Fr sin
通常，从OZ轴正向俯视，有 逆时针转动（趋势）力矩为正， 反之为负；
单位：牛·米（N ·m）
F
Or
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬
有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张
力. 设 m2 m1
解: 受力分析如图：
FT1 m1g m1a m2g FT2 m2a
FT2R FT1R J a r
m2
)
gl
sin
α
刚体定轴转动公式总结
刚体定轴转动公式总结刚体定轴转动公式是描述刚体在固定轴上的旋转运动的公式,它给出了刚体在一个角速度为 $omega$ 的角加速度为 $a$ 的旋转轴上,沿着固定轴 $z$ 方向旋转的角度为 $theta$ 的公式:$$theta = frac{omega}{2a}z$$该公式是刚体定轴转动公式的简写形式,其中 $omega$ 是角速度,$a$ 是角加速度,$z$ 是固定轴的位移。
刚体定轴转动公式是经典力学中重要的概念之一,可以用来描述刚体在旋转过程中的位置和运动。
在应用中,刚体定轴转动公式常常用于求解刚体在旋转轴上的运动轨迹、刚体在旋转过程中的能量等。
除了刚体定轴转动公式外,还有一些其他的定轴转动公式,如定轴转动定理和定轴转动方程等,它们可以用来描述刚体在固定轴上的更复杂的旋转运动。
定轴转动定理指出,对于一个质点在固定轴上的定轴转动,它的转动惯量为零,即 $iint_S iint_S 公斤 cdot ddot{mathbf{x}} cdot ddot{mathbf{x}} = 0$,其中 $S$ 是质点在旋转过程中所经过的面积。
定轴转动方程指出,对于一个质点在固定轴上的定轴转动,它的转动速度为固定轴的角速度 $omega$,沿着固定轴 $z$ 方向旋转的角度为 $theta$,则它的定轴转动方程为:$$frac{1}{2}iint_S iint_S 公斤 cdot ddot{mathbf{x}} cdotddot{mathbf{x}} = omega^2 z^2$$其中 $iint_S iint_S$ 表示积分。
拓展:除了刚体定轴转动公式外,还有一些其他的定轴转动公式,如定轴转动定理和定轴转动方程等,它们可以用来描述刚体在固定轴上的更复杂的旋转运动。
定轴转动定理指出,对于一个质点在固定轴上的定轴转动,它的转动惯量为零,即 $iint_S iint_S 公斤 cdot ddot{mathbf{x}} cdot ddot{mathbf{x}} = 0$,其中 $S$ 是质点在旋转过程中所经过的面积。
3-2 刚体的定轴转动定理
d d d d dt d dt d
d d
3g cosd d 2l 3g 0 2l cosd 0 d 3g 1 2 si n 2l 2
3 g sin l
例3．匀质圆盘的质量为m，半径为R，在水平
桌面上绕其中心旋转，如图所示。设圆盘与桌 面之间的摩擦系数为μ，求圆盘从以角速度ω0 旋转到静止需要多少时间？ 解：以圆盘为研究对象，它受重力、桌面的支 持力和摩擦力，前两个力对中心轴的力矩为零。 在圆盘上任取一个细圆环，半径为r，宽度为dr，整个圆环所受摩 擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和。由于圆环上各个质点 所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取ω0的方向 为正方向，则整个圆环所受的力矩为
dL M dt
对刚体上的每个视为质点的质量元应用 这个结论，从而得出刚体在外力矩的作用下 角动量的变化规律。
3－2 刚体的定轴转动定律
一、定轴转动定律的推导
考虑如图所示刚体上的任意两个 质量元，第i个质量元mi，所在 处的位矢为 r ，施加的外力 F i
i
第j个质量元 mj，所在处的位矢 r 为 j，施加的外力 F
注意以下几点： 1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的； 2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加 速度、角速度的正负； 3.当系统中既有转动物体又有平动物体时，则对转 动物体按转动定律建立方程，对于平动物体按牛顿 定律建立方程。
例１、一个质量为M、半径为R的定滑轮
（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一 端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的 定轴O 物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静 止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。 · m t R 绳 v0=0 h
刚体小结总结
mvR m(u v) R J 0 1 v 2 J mR 4 R 4 解得： v u 9
刚体转动vmgmgmg刚体的转动内容提要 例6 均质细杆长2l，以垂直于杆的速度v在瞬时与支 点A碰撞。求：（1）碰撞后杆的角速度。（2）碰撞 后机械能损失多少？ 解：碰撞瞬间重力矩可忽略
刚体转动
刚体的转动内容提要 讨论5 均质杆绕水平轴转动，已知m、l、
1 2 2 1 2 1 ml ml m l 杆的动量 2 动能 6 角动量 3
0
m dp dm v dr r l
p dp
l 0
r
dm
m m 1 2 1 rdr l m l l l 2 2
m
v
p
o
v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 水平方向动量守恒； 动量不守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 机械能不守恒 .
刚体转动
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .
刚体的转动内容提要 讨论2
一个人站在有光滑固定转轴的转动平 台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把 此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑 铃与转动平台组成的系统的： （A）机械能守恒,角动量守恒; （B）机械能守恒,角动量不守恒, （C）机械能不守恒,角动量守恒; （D）机械能不守恒,角动量不守恒. •答：（C）
3）碰后杆上摆，机械能守恒（杆，地球）
1 2 J mghc 2
刚体转动
3 h 2hc h0 2
刚体的转动内容提要 例4.光滑平面上一轻质弹簧（劲度系数为k）一端固 定，另一端系一质量为m´的滑块，最初滑块静止时， 弹簧呈自然长度lo，今一质量为m的子弹以速度vo沿 水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑 块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度l时，求滑 块速度的大小和方向？ 解： ⑴过程：完全非弹性碰撞，动量守恒 o 设子弹和滑块碰后速度为v1
刚体力学总结
C
ac
无滑动滚动条件：
R p
vc
vC R aC R
【例】两个质量和半径 都相同，但转动惯量不 同的柱体，在斜面上作 无滑动滚动，哪个滚得 快？
C R f
mg
y
x
mg sin f ma C 质心运动定理
Rf JC 过质心轴转动d
C
不太大刚体的重力势能：E p mgh
机械能守恒定律：只有保守力做功时
E k E p 常数
四、刚体的无滑动滚动 瞬时转轴 1、平面平行运动 质心做平面运动＋绕过质心垂直轴做转动 只考虑圆柱，球等轴对称刚体的滚动。 2、无滑动滚动：任意时刻接触点P 瞬时静止
2
2 J 直径 mR 5
2
二、转动刚体的角动量定理 刚体定轴转动的角动量定理(微分形式) dL M dt
刚体定轴转动的角动量定理(积分形式)
t2
一般的质点系
M d t Δ L L 2 L1
t1
t2
一个刚体
M dt J J 0
t1
8
三、转动刚体的角动量守恒
1、绕定轴转动 若合外力矩为零，则刚体角动量守恒。 2、刚体由几个部分组成，且绕同一定轴转动 若合外力矩为零，则刚体总角动量守恒，角 动量可在这几部分间传递。
三、刚体转动的功和能 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的 功，等于它的转动动能的增加
W E k 2 E k1 1 1 2 2 J 2 J 1 2 2
计算转动惯量的几条规律： Jc J
1、对同一轴可叠加：J J i
i
m
C 质心
+刚体的转动总结
r ( t t ) r ( t ) r dr v lim lim t 0 t 0 t t dt
二 转动：对点、对轴（只讨论定轴转动）
定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心 都在一条固定不动的直线（转轴）上。
转轴
各质元的线速度、加速度一般不同，
但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同
描述刚体整体的运动用角量最方便。
刚体的平面运动 .
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
d dt
d d 2 dt dt 2
角速度方向规定为沿轴方向，
指向用右手螺旋法则确定。
d dt
加速转动 方向一致 减速转动 方向相反
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴 的转动惯量。 解：取如图坐标，dm=dx
A B
L
X
J A r dm
2
x dx mL / 3
2 2 0
L
A
L/2
C L/2
B
X
J C r dm
2
x 2dx mL2 / 12
L 2 L 2
几种刚体的转动惯量
g 2
mg
m 解方程得： a mM
v 2ah v 1 R R
4mgh 2m M 4mgh 2m M
例2圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
求 到圆盘静止所需时间 解 取一质元
dm ds 2π r dr
d M r df r g dm
一 平动：
刚体在运动中，其上任意两点的
连线始终保持平行。
刚体的定轴转动自学总结
刚体的定轴转动自学总结刚体的定轴转动是指固定在一个轴上的刚体绕着这个轴进行往复运动的过程，它是力学中的一个重要概念。
在实际工程中，很多机械运动都可以看作是定轴转动，如发动机、机械传动系统等。
在定轴转动中，刚体的转速和转动惯量是两个重要的物理量。
转速是指单位时间内刚体在轴上旋转的角度，通常用弧度/秒表示。
转动惯量是指刚体对转动的惯性，是刚体对转动的抵抗能力，通常用质量和几何形状等因素计算得到。
刚体在定轴转动中还有一些特殊的运动形式，其中最常见的是匀速圆周运动。
匀速圆周运动是指刚体绕着一个固定轴以等速率进行圆周运动的过程。
在匀速圆周运动中，刚体的角速度和圆周速度相等，且速度的大小不变，方向也不断变化。
刚体匀速圆周运动可以通过力矩原理进行分析，其中力矩是指力对于旋转物体产生的转动效应。
除了匀速圆周运动，刚体在定轴转动中还可能出现几个特殊的情况，如开普勒定律、角加速度和动能定理等。
开普勒定律是指刚体在定轴转动中其椭圆轨迹上的点与轴之间的连线，一个点到轴的距离与该点的速率之积为常数。
角加速度则是指刚体在定轴转动中角速度随时间的变化率，使用单位时间内角速度变化的大小衡量。
动能定理是指刚体在定轴转动中由于受力而产生运动，其运动能量的增量等于所受外力所做功的大小。
总之，刚体的定轴转动是力学中一个重要的概念，其对于解决实际工程问题具有重要的意义。
学习定轴转动需要掌握相关的物理量和运动规律，需要对力学原理有一定的掌握，并能够进行相关的数学计算和分析。
只有在不断的学习和实践中才能够更好的掌握和运用定轴转动，为实际工程解决问题提供更好的帮助。
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无滑动滚动：vpt
C
R ap
acvvCca, pap点pt aaa加CCpna速Caa度Cpt 沿 aa半ppnn径方向
p
过p点转轴惯性力矩等于零
24
【例】两个质量和半径 都相同，但转动惯量不 同的柱体，在斜面上作 无滑动滚动，哪个滚得 快？
C R
fp mg
关于瞬转轴列转动定理重解：
mgR sin Jp
第5章 刚体的定轴转动 自学总结
2005年春季学期 陈信义编
目录 一、刚体的定轴转动定律
演示实验
1、茹科夫斯基 转椅（和车轮）
二、转动刚体的角动量守恒 三、刚体转动的功和能
2、陀螺仪
3、质心运动 （杠杆）
四、无滑动滚动 瞬时转轴（补充） 4 、 不 同 质 量 分
五、进动
布的等质量柱体 滚动
5、车轮进动
由求 ：
3g cos
2l
,
d
dt
,
d dt
d dt d
d d
0
0
12 3g sin
2 2l
3g sin
l
3、求转轴受力
（1）Nn 平动：质心运动定理
Nn mg sin ma n
an
1 2
l
2
l 2
Nn
5 2
mg
sin
（2）Nt 转动：关于质心轴列转动定理
MC JC , C O 为什么？
Rf JC 过质心轴转动定理 aC R 纯滚动条件（运动学条件）
mgR sin
JC mR2
转动惯量小的滚得快！
【演示实验】不同质量分布的等质量柱体滚动
3、轴对称刚体无滑动滚动中的瞬时转轴
时刻t 接触点P 瞬 时静止；
B A
D v
E
在 时 间 (t~t+t)
C
F
内，以P点为原点
建立平动坐标系；
1 2
m R2
薄球壳：
J 直径
2 3
m
R2
球体：
J 直径
2 5
m
R2
【例】转轴光滑，初态静止，求下摆到
角时受力分析
2、关于O轴列 转动定理
MO JO
Mo
l cos
2
mg
JO
1 3
m l2
3g
cos
2l
【思考】为什么不关于过质心轴列转动定理？
W
Ek2
Ek1
1 2
J22
1 2
J12
力矩的功：W 2M d 1
不太大刚体的重力势能：E p mghC
机械能守恒定律：只有保守力做功时
Ek Ep 常数
用机械能守恒重解：
转轴光滑，初态静止，求下摆到θ角
时的角加速度，角速度。
解：杆机械能守恒
势能零点
0
mg
l 2
sin
1 2
J
2
J
1 3
只考虑圆柱，球等轴对称刚体的滚动。
2、无滑动滚动：任意时刻接触点P 瞬时静止
【思考】下一时刻P点位置？
C
ac
无滑动滚动条件：
R
vc
vC R
p
aC R
【例】两个质量和半径 都相同，但转动惯量不 同的柱体，在斜面上作 无滑动滚动，哪个滚得 快？
C
y
R
f
x
mg
mgsin f maC 质心运动定理
2、适用于转轴固定于惯性系中的情况。
3、对于转轴通过质心的情况，如果质心有加速 度，上式也成立。（惯性力对质心的力矩和 为零）
外力对固定转轴力矩的计算：
M
(r
f )
zˆ
r f
zˆ
f
f //
转动平面内的分 力对转轴的力矩
平转面动or
r
f
M 0 ：沿转轴方向
M 0 ：沿转轴反方向
计算转动惯量的几条规律：
p
时间(t ~t+t)内，刚体的运动（质心平动、
绕质心轴转动）可以看成：绕过 P 点且垂直于 固定平面的转轴的无滑动滚动。
接触点P ：瞬时转动中心 瞬时转轴
绕瞬时转轴的转动定理的形式？ 虽然p点瞬时静止，但有加速度，所以除了
力矩Mp外，还应考虑惯性力矩。 惯性力作用在质心上，方向与p点的加速度
方向相反。
ml
2
绕固定轴 转动动能
比用转动定律简单！
3g sin
l
d 3g cos
dt 2l
杆动能的另一种表达：科尼西定理
势能零点
0
mg
l 2
sin
Jc
1 ml2 12
1
m
l
2
2 2
质心动能
1 2
Jc
2
绕过质心轴
转动动能
四、刚体的无滑动滚动 瞬时转轴（补充）
1、平面平行运动 质心做平面运动＋绕过质心垂直轴做转动
1、对同一轴可叠加：J Ji i
2、平行轴定理：J Jc md 2
m
3、对薄平板刚体，有垂直轴定理：
z
Jz Jx Jy
Jc J
C 质心
d
xi
yi ri
y
x
Δmi
1 2
m
R2
R
1 4
mR
2
常用的转动惯量
细杆：
J过中点垂直于杆
1 12
m L2
J过一端垂直于杆
1 3
m L2
圆柱体： J对称轴
2、几个刚体绕同一定轴转动 若合外力矩为零，则刚体总角动量守恒，角 动量可在这几部分间传递。
3、关于过质心轴 若对过质心轴合外力矩为零，则对该轴刚体 角动量守恒。无论质心轴是否是惯性系。
【演示实验】茹科夫斯基转椅(和车轮)、陀螺仪
三、刚体转动的功和能
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的
功，等于它的转动动能的增加
F 质心以vC0的初速做上抛运动。
（2）在上抛过程中棒的转动
绕过质心转轴，列转动定理：
Fl JC JC
d
dt
JC
t
JC
t
Flt
JC
12Flt
mL2
在上抛过程中，棒以恒定角
l
速度绕过质心轴转动。
C F
【演示实验】 质心运动（杠杆）
二、转动刚体的角动量守恒 1、绕定轴转动
若合外力矩为零，则刚体角动量守恒。
一、刚体的定轴转动定律
z
Mz
dLz dt
Jz
d
dt
Jz
O
ri
mi
Mz :外力矩沿z轴分量的代数和
Lz :刚体沿z轴的角动量
Lz Jz
Jz : 刚体对z轴的转动惯量
Jz mi ri2 , Jz r 2dm i
Mz
dLz dt
Jz
d
dt
Jz
1、由关于定点的质点系角动量定理，向过该点 的固定转轴投影得到。
Jp JC mR 2
简单多了！
下面证明：对于无滑动滚动的轴对称刚体， 接触点p的加速度沿过p点的半径方向，因此， 关于过p点的转轴，惯性力矩等于零。
轴对称刚体，绕瞬时转轴的转动定理：
Mp Jp
J p : 关于过p点转轴的转动惯量
证明：
ap
aC
ap
按切aa、pp :: 法pp点点向相相分对对解惯质：性心ap系的的加ap加速t 速度a度pn
MC
Nt
l 2
,
JC
1 ml 2 12
Nt
1 4
mg
cos
【例】一长为L，质量为m的均匀细棒，水平放 置静止不动，受垂直向上的冲力F作用，冲量 为Ft（t很短），冲力的作用点距棒的质心l 远，求冲力作用后棒的运动状态。
解 （1）质心的运动
(F mg ) t mv C0
l
vC 0
F
m m
g
t
C