数学建模期末试卷答案

课程名称：数学实验与数学建模主讲教师：唐向阳

学号 2010212569姓名凌泽广成绩：

2012《数学模型》考试试题

一、(20分)某造纸厂用原材料白坯纸生产原稿纸、笔记本和练习本三种产品。该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为3万公斤。已知工人的劳动生产率为：每人每月生产原稿纸30捆，或生产日记本30打，或练习本30箱。而原材料的消耗为：每捆原稿纸用白坯纸10/3公斤，每打笔记本用白坯纸40/3公斤，每箱练习本用白坯纸80/3公斤。生产一捆原稿纸可获利2元，生产一打笔记本可获利3元，生产一箱练习本可获利1元。

(1)试确定在现有生产条件下的最优生产方案。

(2)如白坯纸的供应量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工的工资支出为每人每月40元，问：要不要招收临时工？

解（1）：建立模型：设每月生产原稿纸x捆，每月生产笔记本y打，每月生产练习本z箱，用Max f来表示造纸厂获利的最大值，那么根据题意有如下线性规划模型，

Max f=x*2+y*3+z*1

且x,y,z满足如下不等式：

Max f=2x+3y+z

x/30+y/30+z/30<=100

10x/3+40y/3+80z/<=30000

x>=0,y>=0,z>=0

利用mathematica 软件包求解上述不等式：

运行程序

ConstrainedMax[2x+3y+z,{x+y+z≤3000,x+4y+8z≤9000,

x≥0,y≥0,z≥0},{x,y,z}]

运行结果如下：

{8000,{x→1000,y→2000,z→0}}

故可知，当生产原稿纸为1000捆，生产笔记本2000打，生产练习本0箱时，此时造纸厂所获得的利润最大，最大为8000元

（2）建立模型：如果造纸厂每月所招进来的每名临时工人所创造的利润大于每个月的工资，那么造纸厂就可以招收临时工人，现假设需要招收m名临时工人，那么总共就有由于白坯100+m名工人，设每月有x1名工人用来生产原稿纸，有x2名工人用来生产笔记本，有，x3名工人用来生产练习本，由于纸的供应量不变，此时设造纸厂所获得的最大利润

为Max g，依据题意可知有如下线性规划模型，

Max g=60x+90y+30z-40m

且x,y,z,m满足如下不等式：

x+y+z<=100+m

30x*10/3+30y*40/3+30z*80/3<=30000

x,y,z,m>=0

x,y,z<=100+m

利用mathematica软件包求解上述程序,

运行程序：

ConstrainedMax[60x+90y+30z-40m,{x+y+z<=100+m,x+4y+8z≤300, x≥0,y≥0,z≥0,x≤100+m,y≤100+m,z≤100+m,m≥0},{x,y,z,m}]

得到结果：

{10000,{x→300,y→0,z→0,m→200}}

由此可知，此时造纸厂所获得的最大利润为10000元，所需要招收的临时工为200人；

那么此时每名临时工人每月为公司所带来的利润为：10000/200=50>40,

因此可知：造纸厂可以招收临时工。

二、(30分) 有某种货物的存贮系统，市场对这种货物的需求量(单位：单位)和订

次20单位，订货点为15单位（即存货低于15单位时订货，但已订货未到前不再订），存贮费每件每周10元，缺货损失费每件每周500元。对于缺货，货到后不补，设开始时存货为20单位。

试用mathematica生成随机数R1,R2,R1模拟需求量，R2模拟订货提前期。模拟14周的运行情况，填下表，并求订货费用、存贮费用、缺货费用以及周平

解：建立模型：先将上述图表的概率转换成累积概率：

d=Table[random[],{k,14}

Do[if[d[j]]<=0.02,r1=r1+1;r2>0.02,and r2≤0.1;r3>0.1,and r3<=0.32;r4>0.32,and r4≤0.54;r5>0.66,and r5≤0.84;r6>0.84,and r6≤0.93;r7>0.93,r7≤1],{j,14}]

Print["r1=","r2=","r3","r4","r5","r6","r7",r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7]

生成一组随机数R1：68,52,90,59,08,72,44,95,81,94,28,89,63,0

用同样的方法生成一组随机数R2：50,86,1

那么用R1这14个数分别按秩序的代表着从第1周到底14周模拟的需求量，

可知模拟出来的需求量分别为4,3,5,3,1,4,3,6,4,6,2,5,3,1.

现在逐一分析每一周后的存储量，且最开始的存货为20单位

(1)在第一周后的的存储量为20-4=16>15，不需要订货

(2)在第二周后的存储量为16-3=13<15，此时需要订货

类似于同样的（1），（2）进行分析可知，所得的数据如表中所示。

所以，由表格数据可知，

订货费用为25*3=75；

存储费用为10*200=2000；

缺货费用为500*1=500；

周平均费用为1/14（75+2000+500）=183.9。

三、(50分)一个城郊的社区计划更新消防站。原来的消防站在旧城中心。规划要将新的消防站设置得更科学合理，故在前一个季度收集了火警反应时间的资

料：

(1) 平均要用3.2分钟派遣消防队员；

(2) 消防队员到达火灾现场的时间(行车时间)依赖于火灾现场的距离。

(3) 行车时间的资料列于表1

1

时间估计为d分钟。给出消防队对求救电话的反应时间的模型d(r)；

2．求平均反应时间。设社区位区域[0, 6] [0, 6]内，(x, y)是新的消防站的位置。根据求救电话频率，确定消防队对求救电话的平均反应时间z = f (x, y) ；

3．求新的消防站的最佳位置。

解：首先对下面的参量与变量进行整体说明：

（x ,y）表示新的消防站的位置x ,y中至少有一个为0，1，2，3,4,5,6,

（i，j）表示火灾现场所在区域的位置i , j=1,2,3,4,5,6

r表示消防队里火灾现场的距离

d(r) 表示消防队电话求助的反应时间

z 表示消防队对求救电话的平均反应时间

A 表示每年从各区域打来的紧急救助电话的数量矩阵

a 表示每年从各区域打来的紧急电话的频率矩阵

1.建立模型：先对距离（里）与时间（分钟）的数据关系进行数据拟合，

运行程序如下：

Clear[data]

data={{1.22,2.62},{3.48,8.35},{5.10,6.44},{3.39,3.51},{4.13,6.52},{1.75,2.46},{2.95,5.20},{1.3 0,1.73},{0.76,1.14},{2.52,4.56},{1.66,2.90},{1.84,3.19},{3.19,4.26},{4.11,7.00},{3.09,5.49},{4. 96,7.64},{1.64,3.09},{3.23,3.88},{3.07,5.49},{4.26,6.82},{4.40,5.53},{2.42,4.30},{2.96,3.55}}; ListPlot[data]