第五章线性系统的频域分析法

对 A(ω ) 求导并令等于零，可解得 A(ω ) 的极值对应的频率 ω r 。
ω r = ω n 1 2ζ 2
该频率称为谐振峰值频率。可见，当 ζ = 当ζ
> 1 2
s = jω
G( jω) =| G( jω) | e
j∠G( jω)
= A(ω)e
j (ω)
G( jω) = G(s) |s= jω
G( jω) = G(s)|s= jω =| G( jω)| e j∠G( jω) = A(ω)e j(ω)
A A j (ω ) k1 = G( jω ) e k2 = G( jω ) e j (ω ) 2j 2j
可以作为系统模型
G( jω) = G(s) |s= jω = G( jω) e j(ω)
定义 幅频特性
A(ω ) =| G( jω ) |
(ω ) = ∠G ( jω )
它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 相频特性
它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； 它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； 幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 G ( jω ), 频率特性。 频率特性 G ( jω ) = A(ω )e j (ω ) ，它也是 ω 的函数。G( jω) 称为频率特性 还可将 G ( jω ) 写成复数形式，即
A(ω ) = 1 1 + T 2ω 2 ,
G (s) =
1 Ts + 1
G ( jω ) =
1 jT ω + 1
(ω ) = tg 1T ω
幅频特性 L(ω) = 20log A(ω) = 20log K 20log 1+ T 2ω2 低频段：当Tω << 1时，ω 高频段：当 Tω >> 1时， ω
一、极坐标频率特性曲线（奈魁斯特Nyquist曲线） 极坐标频率特性曲线（奈魁斯特Nyquist曲线） Nyquist曲线 它是在复平面上用一条曲线表示ω 由 0 → ∞ 时的频率特性。 即用矢量 G ( jω ) 的端点轨迹形成的图形。 ω 是参变量。在曲线 的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。 由于 | G ( jω ) |是偶函数， 所以当 ω 从 ∞ → 0 和 0 → ∞ 变化时，奈魁 斯特曲线对称于实轴。
G ( jω ) = P(ω ) + jQ(ω ) 这里 P(ω ) = Re[G ( jω )] 和 Q(ω ) = Im[G( jω )] 分别称为系统的实
频特性和虚频特性。
例：
K G (s) = Ts + 1
求T、K的值 、 的值
r(t) = sin t
2 c (t ) = sin(t 45o ) 2
K G ( jω ) = 1 + jT ω
A(ω ) =
K 1 + ω 2T 2
ω =1
由相频特性可得， 由相频特性可得，T=1 由幅频特性可得， 由幅频特性可得，K=1
(ω ) = arctan T ω
二、频率特性的几何表示法 极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线） 对数频率特性曲线（又称波德图） 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）
> 0 L(ω ) = 20 lg K = 常数 = = 0 < 0
K >1 K =1 K <1
相频特性：
log ω
0° (ω ) = ∠ K = 180° K ≥0 K <0
(ω )
180°
K ≥0
K <0
180°
K 积分环节的频率特性： ⒉ 积分环节的频率特性：G ( s ) = s π K (ω) = tg1(ω /0) = A(ω) =
1 ω = ω o = 处，为 T
max = 20log 1 + T 2ω0 ≈ 3(dB)
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
2
相频特性： 相频特性：
(ω ) = tg 1Tω
当 ω = 0时， (0) = 0; 当 ω = 1 / T 时， (1 / T ) = 45o ; 当 ω = ∞ 时， ( ∞ ) = 90 o 。
ω =0
Q(ω )
A(ω ) (ω ) ω =∞
ω
P(ω )
G(s) =
s +1 s2 + s +1
num=1; den=[1 1]; nyquist(num,den)
K 例 G (s) = Ts + 1
取两个特殊点： 取两个特殊点：
K G ( jω ) = 1 + jT ω
A(ω ) =
K 1 + ω 2T 2
∑
n
i =1
ki s si
Aω(s + jω) AG( jω) k1 = C(s)(s + jω) |s = jω = G(s) = (s + jω)(s jω ) s = jω 2j
Aω ( s jω ) k 2 = C ( s )( s jω ) |s = jω = G ( s ) ( s + jω )( s jω ) AG ( jω ) = 2j
第五章 线性系统的频率法分析
提示： 提示： 信号的分解： 信号的分解：信号可分解为三角函数的线 性组合（傅里叶级数与傅里叶变换） 性组合（傅里叶级数与傅里叶变换） 基本信号： 基本信号：正弦信号 特点： 特点： 1. 图解法，计算量小 图解法， 2. 物理意义明确，可实验测定 物理意义明确， 3. 可兼顾系统动态特性与噪声抑制 4. 可适用于某些非线性系统 频率特性
1/T
1/ T
L(ω) ≈ 0
L(ω) ≈ 20log Tω = 20logω 20logT
这是一条斜率为 斜率为-20dB/Dec的直线 斜率为 的直线 低频高频渐近线的交点为： log K = 20 log K 20 log Tω ， 20
1 Tω = 1, ω o = ，称为转折频率或交接频率。 T
(ω ) = arctan T ω
(ω) = 0
ω =0
A(ω) = K
ω =∞
A(ω) = 0
(ω) = 90
o
jω
σ
二、对数频率特性曲线（波德Bode图） 对数频率特性曲线（波德Bode图 Bode 它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。 波德图坐标（横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角）的分度： 横坐标分度： 横坐标分度：它是以频率 ω 的对数值 log ω 进行分度的。所以 横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化， 称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。如下图所示：
c (t ) = k1e
jω t
+ k2 e
jω t
A G ( jω ) e j (ω t + ) e j (ω t + ) = 2j
= A G ( jω ) sin(ω t + (ω ))
正弦信号作用下线性时不变系统稳态响应是同频的正弦信号
G ( jω )
：反映幅值衰减
(ω ) ：相移
渐近对数幅频特性曲线
1 20T
1 10T
1 5T
1 2T1 Tຫໍສະໝຸດ 2 T5 T10 T
20 T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）： 波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）： 当ω ≤ ω o 时，误差为： 1 = 20 log 1 + T 2ω 2 当ω > ω o 时，误差为： 2 = 20 log 1 + T 2ω 2 + 20 log Tω 最大误差发生在
2
讨论 0 ≤ ζ ≤ 1时的情况。当K=1时，频率特性为：
1 G ( jω ) = (1 T 2ω 2 ) + j 2ζωT
幅频特性为： 相频特性为：
A(ω ) =
1
(1 T 2ω 2 ) 2 + ( 2ζωT ) 2 2ζωT (ω ) = tg 1 1 T 2ω 2
L 对数幅频特性为： (ω ) = 20 log A(ω ) = 20 log (1 T 2ω 2 ) 2 + (2ζωT ) 2
本章主要内容
频率特性的基本概念 特性曲线的绘制 性能指标的求取：稳定性与动态性能指标 频域分析方法
5-2 频 率 特 性
一、基本概念
C (s) G (s) = R (s)
r(t) = Asinωt
k1 k2 = + + s + jω s jω
Aω R(s) = 2 2 s +ω
Aω C ( s) = 2 G(s) 2 s +ω
由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( ω0, -45°) 点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是 根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当 增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。
K Kω n = 2 振荡环节的频率特性： ⒋ 振荡环节的频率特性： G ( s ) = 2 2 T s + 2ζTs + 1 s + 2ζω n s + ω n 2
低频段渐近线： Tω << 1时，L(ω ) ≈ 0 高频段渐近线： Tω >> 1时，L(ω ) ≈ 20 log (T 2ω 2 ) 2 = 40 log Tω 1 两渐进线的交点 ω o = 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。 T
2ζωT 相频特性： (ω ) = tg 1 T 2ω 2