一元二次方程ppt知识讲解
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一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
把n=4m 代入代数式4m2-5mn+n2,
得4m2-5m×4m+(4m)2=0.
综上所述,代数式4m2-5mn+n2 的值为0 .
知1-练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)是“倍根
方程”,求a,b,c 之间的关系.
解:由“倍根方程”的定义可设ax2x2=
=1.
知1-练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1,x2 是方程2x2-3x+1=0 的两根,
则代数式
+
+
的值为 ______.
1
知1-练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0.
(1)若该方程有两个实数根,求m 的最小整数值;
知1-练
3-1.[中考·襄阳] 关于x 的一元二次方程x2+2x+3-k=0 有
两个不相等的实数根.
(1)求k 的取值范围;
解:b2-4ac=22-4×1×(3-k)=-8+4k.
∵方程有两个不相等的实数根,
∴-8+4k>0,解得k>2.
知1-练
(2)若方程的两个根为α ,β , 且k2=αβ +3k,求k 的值.
8=0 就是“倍根方程”
解题秘方:紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的
关系解题,理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1-练
(1)若关于x 的一元二次方程x2-3x+c=0 是“倍根方程”,
2
则c=________;
知1-练
(2)若(x- 2)(mx-n) =0(m ≠ 0)是“倍根方程”,求代数式
4m2-5mn+n2 的值;
解方程(x-2)(mx-n)= 0(m ≠
一元二次方程课件ppt
(4)原方程变形为 (xm)2 n 形式
(5)如果右边为非负数,直接开平方法 求出方程的解,如果右边是负数,一元二 次方程无解。
心动 不如行动
例1: 用配方法解方程
x26x70
解: 移项得:x26x7
配方得:x26x32732
即(x3)2 16
开平方得: x34
∴原方程的解为:x11, x27
范例研讨运用新知
x12;x21.
学习是件很愉快的事
淘金者
❖ 你能用分解因式法解下列方程吗?
1 .x2-4=0; 解:1.(x+2)(x-2)=0,
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
a,b,c满足什么条件时,方程的两根互
为相反数?
解:一元二次方程 a2 xb xc0a0的解为:
x 1 b 2 b a 2 4 a,x c 2 b 2 b a 2 4 ac
x1x2
b b24acb b24ac
2a
2a
b b 2a 2a
b0
❖用“因式分
解法”解一元 二次方程
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程
1.x2 7;
2.3y2y1.4
解:1.一元二次方程解: 2.一元二次方程
x2 70
3y2 y 14 0
的两个根 x1 是7,x2 7. x27(x7)x (7).
的3两y2个y根1 是y1 4 3 (2y, y22)y (73 . 7).
3
(5)如果右边为非负数,直接开平方法 求出方程的解,如果右边是负数,一元二 次方程无解。
心动 不如行动
例1: 用配方法解方程
x26x70
解: 移项得:x26x7
配方得:x26x32732
即(x3)2 16
开平方得: x34
∴原方程的解为:x11, x27
范例研讨运用新知
x12;x21.
学习是件很愉快的事
淘金者
❖ 你能用分解因式法解下列方程吗?
1 .x2-4=0; 解:1.(x+2)(x-2)=0,
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
a,b,c满足什么条件时,方程的两根互
为相反数?
解:一元二次方程 a2 xb xc0a0的解为:
x 1 b 2 b a 2 4 a,x c 2 b 2 b a 2 4 ac
x1x2
b b24acb b24ac
2a
2a
b b 2a 2a
b0
❖用“因式分
解法”解一元 二次方程
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程
1.x2 7;
2.3y2y1.4
解:1.一元二次方程解: 2.一元二次方程
x2 70
3y2 y 14 0
的两个根 x1 是7,x2 7. x27(x7)x (7).
的3两y2个y根1 是y1 4 3 (2y, y22)y (73 . 7).
3
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里? 它们有什么共同特点呢?
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知
数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a,b,c为常数, a≠0)
想一想: 还有其他的方法吗?试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题,弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解:当x=-3时,左边=9-(-3)-2=10, 则左边≠右边, 所以-3不是方程x2-x-2=0的解; 下面几个数同理可证. 经检验得-1,2为原方程的根.
获取新知
知识点三:建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上,修筑三条宽相等 的小路(两条纵向,一条横向,纵向与横向垂直),把矩形空 地分成大小一样的六块,建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2,问小路的宽应为多少?
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形,再将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的
解一元二次方程ppt课件
21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,且关于 x
突 的一元二次方程 b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0 有两个相等的实数根.判断
破 △ABC 的形状.
[解析] 根据已知条件得出 Δ=0,将等式变形,利用勾股定理的逆定理
B. 只有一个实数根
读
C. 有两个不相等的实数根
D. 没有实数根
[解题思路]
原方程
x(x-2)=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a,b,c 的值
a=1,b=-2,c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8>0
判断根的情况
[答案] C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a,b,c 的值,代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
(1)x2-4x-3=0; (2)2x2-6x=1; (3)(t+3)(t-1)=12.
解
[解题思路] 按照下面的顺序进行求解.
读
[答案] 解:(1)移项,得 x2-4x=3,配方,得 x2-4x+4=3+4,即(x-
2)2=7,开方,得 x-2=±
,所以 x1=2+
,x2=2-
;
(2)二次项系数化为 1,得 x2-3x= ,配方,得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”,转化为一元一次方程求解
一元二次方程ppt课件
一元二次方程ppt课件
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数,且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac,当 Δ>0时,方程有两个不相等的实根;当 Δ=0时,方程有两个相等的实根;当 Δ<0时,方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根,除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系,如 x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项,使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1,即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边,使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方,得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数,且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac,当 Δ>0时,方程有两个不相等的实根;当 Δ=0时,方程有两个相等的实根;当 Δ<0时,方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根,除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系,如 x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项,使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1,即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边,使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方,得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼 房之间,开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长 和宽各为多少?
(x+10)
x
问题1、绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间, 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且 长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?
例1.将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次 方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项.
• 分析:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).因此, 方程(8-2x) (•5-2x)=18必须运用整式运算进行整理,包括 去括号、移项等.
• 解:去括号,得: • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项,得:4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4,一次项系数为-26,常数项为22.
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
-3
3x2 5 0
3
0
-5
x2 3x 0 1
-3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式,并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:
解一元二次方程PPT课件
2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程:
x 3 2 3x
2
2
解: 原方程化为:x 2 2 3x 3 0
a 1, b 2 3, c 3
2
x1 x2 0
结论:当 相等的实数根.
2 3 0 2 3 x 3 2 1 2
b 2 4ac 0
2
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
当 b 4ac >0 时,方程有两个不同的根 2 当 b 4ac =0 时,方程有两个相同的根 当 b 2 4ac <0 时,方程无实数根
2
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
解:移项,得 x2+4x-2=0
a= 1 ,b= 4 ,c = -2 . b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 . 4 24 4 2 6 x= = 2 1 = 2. 即 x1 = 2 6 , x2 = 2 6 .
练习:
用公式法解下列方程:
1、x2 +2x =5
2
2
即
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况:
2 2
4ac b (1) b 4ac 0, 这时 0 4a
即
此时,方程有两个不等的实数根
b b2 4ac x 2a 2a
完全平方公式?
配方法
我们通过配成完全平方式 (x n) a(a 0) , 然后直接开平方,得到了一元二次方程的根,这种解 一元二次方程的方法称为配方法
《一元二次方程的解法》课件PPT 苏科版
方式的结构特征,当二次项系数为1时, 常数 项是一次项系数一半的平方.
感悟新知
归纳
知1-讲
1. 当二次项系数为 1 时, 已知一次项的系数, 则常数项为一次项系数一半的平方;已知常 数项,则一次项系数为常数项的平方根的两 倍.注意有两个.
2. 当二次项系数不为1时,则先化二次项系数 为1,然后再配方.
由此可得
x 4 15,
x1 4 15, x2 4 15.
知2-练
感悟新知
(2) 移项,得 2x2-3x=-1.
二次项系数化为1,得 x2 3 x 1 .
配方,得
x2
3 2
x
3 4
2
2
1 2
322
4
.
x
3 4
2
=
1 16
.
由此可得
x3 1, 44
x1
1,
x2
1 2
知2-练
知2-练
(2)2x2+1=3x;
分析:(1) 方程的二次项系数为1,直接运用配方法.
(2) 先把方程化成2x2-3x+1=0.它的二次项系数
为2,为了便于配方,需将二次项系数化为1,
为此方程的两边都除以2.
感悟新知
解: (1) 移项,得 x2-8x=-1.
配方,得 x2-8x+42=-1+42, (x-4)2=15.
感悟新知
1 填空:
(1)x2+10x+_2_5__=(x+__5__)2;
知1-练
(2)x2-12x+_3_6__=(x-__6__)2;
(3)x2+5x+____=(x+____)2; 2
(4)x2- 3 x+____=(x-____)2.
2 将代数式a2+4a-5变形,结果正确的是( D )
感悟新知
归纳
知1-讲
1. 当二次项系数为 1 时, 已知一次项的系数, 则常数项为一次项系数一半的平方;已知常 数项,则一次项系数为常数项的平方根的两 倍.注意有两个.
2. 当二次项系数不为1时,则先化二次项系数 为1,然后再配方.
由此可得
x 4 15,
x1 4 15, x2 4 15.
知2-练
感悟新知
(2) 移项,得 2x2-3x=-1.
二次项系数化为1,得 x2 3 x 1 .
配方,得
x2
3 2
x
3 4
2
2
1 2
322
4
.
x
3 4
2
=
1 16
.
由此可得
x3 1, 44
x1
1,
x2
1 2
知2-练
知2-练
(2)2x2+1=3x;
分析:(1) 方程的二次项系数为1,直接运用配方法.
(2) 先把方程化成2x2-3x+1=0.它的二次项系数
为2,为了便于配方,需将二次项系数化为1,
为此方程的两边都除以2.
感悟新知
解: (1) 移项,得 x2-8x=-1.
配方,得 x2-8x+42=-1+42, (x-4)2=15.
感悟新知
1 填空:
(1)x2+10x+_2_5__=(x+__5__)2;
知1-练
(2)x2-12x+_3_6__=(x-__6__)2;
(3)x2+5x+____=(x+____)2; 2
(4)x2- 3 x+____=(x-____)2.
2 将代数式a2+4a-5变形,结果正确的是( D )
《一元二次方程》一元二次方程PPT课件
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况?
对一元二次方程: ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
新知探究
跟踪训练 把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它们的二次项系
数、一次项系数和常数项.
(1) x 2 2 4;
x2 4x 0 1 -4 0
(2)2 x 3 x 4 x2 10 ;
x2 2x 14 0 1 2 -14
(3)x2 x 1 1. 32
2x2 3x 9 0 2 -3 -9
新知探究 知识点3
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
对接中考
关于 x 的一元二次方程 x2-(a2-2a)x+a-1=0 的两个实数根互为相反数,
则 a 的值为( B )
A.2
B.0
C.1
D.2或0
已知x1,x2是一元二次方程 x2−2x=0 的两个实数根,下列结论错误的是 (D )
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系: x1+x2=-p,x1x2=q.
新知探究
一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 中,二次项系数 a 未必是1,它的两个 根的和、积与系数又有怎样的关系呢?
新知探究
由求根公式知
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
x1 x2 b
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解x 1 得 2 ,x23 . 5 x 5 2 3 ,或 5 x 5 3 2 . 答:这两个数 32或 为 23.
快乐学习 5
几何与方程
• 5 .将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm 的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容 积是400cm3,求原铁皮的边长.
解:设原正方形铁皮为的 xc边 m,根长据题,得 意
独立
作业
知识的功!
快乐学习 1
数字与方程
• 1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
解:设其中一个x,数 根为 据题,得 意
xx44.5
整理 x24 x 得 4 5 0 . 解 x 1得 5 ,x 2 9 . x 4 5 4 9 ,或 x 4 9 4 5 .
c分别称为二次项、一次项和常数项,a, b分别
称为二次项系数和一次项系数.
回顾与复习 2
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为 配方法(solving by completing the square)
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
答:这两个5,数 9或为 9,5.
快乐学习 2
数字与方程
• 2. 两个连续奇数的积等于20022-1,求这两个数.
解 :设这两个2x连 1和 续 2x1奇 ,根数 据,得 题意
2 x 1 2 x 1 20 2 0 1 . 2
整理x得 2 10020.01 解x 1 得 10 ,x 0 2 1 10.01 2 x 1 2, 或 0 2 x 1 0 2 3 ; 2 0 x 1 0 2或 1 0 2 x 1 0 2 1 . 答 :这两个连 20 续 ,2 00 3奇 或 0 1数 20或 为 0 120.03
心动 不如行动
公式法是这样生产的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解:x2bxc0.
1.化1:把二次项系数化为1;
x2x2baxbaax2baaac2.2ba2ac.边系2;3.数.移配绝项方对::把值方常一程数半两项的边移平都到方加方;上程一的次右项
x
b
2
2a
b24a42ac.
一元二次方程ppt
回顾与复习 1
一元二次方程的概念
方程都是只含有 一个未知数x 的 整式方程,并且都可
以化为 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0) 的形式,
这样的方程叫做一元二次方程.
把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称
为一元二次方程的一般形式,其中ax2 , bx ,
当 b24a c0时 ,方a程 2xb xc0a0有两个不相
x1,2
b
b24ac. 2a
当 b24a c0时 ,方a程 2x b xc0a0有两个相 :
x1,2
b. 2a
当 b 2 4 a c 0 时 ,方 a2程 x b x c 0 a 0 没有实
我们 b 2 4 把 a 叫 c代 a 做 2 x b 数 方 c x 0 a 式 0 程 的
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公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b24ac0时,它的根: 是
xbb24a.cb24a c0. 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular).
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
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数字与方程
4.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个 两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数 ,两个两位数的积为763.求原来的两位数.
解:设这个两位数的字个为 x位 ,根数 据题,得 意
1 5 0 x x 1 x 0 5 x 7.36
整理 x25 得 x60.
4.变形:方程左边分解因 式,右边合并同类项;
当b24ac0时, x b b24ac.
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方;
2a
2a
6.求解:解一元一次方程;
xbb24a.cb24a c0. 7.定解:写出原方程的解.
2a
用心 去想一想 知识是怎样发现的
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
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数字与方程
3. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位 数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
解:设这两位数的个为 位x,数 根字 据题,得 意
x21x 03x.
整理 x2 1得 x1 3 0 0 .
解 x 1 得 5 ,x 2 6 . x 3 5 3 2 ,或 x 3 6 3 3 . 答:这个两位数 25,为 或36.
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
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解应用题
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系.
根的 .用 " " 来 判 .即 表 别 b 2 4 a 示 式 . c
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分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分 解因式法.
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零;