分类计数与分步计数

答:分类计数原理和分步计数原理。
2.分类计数原理和分步计数原理的共同点是什 么？不同点什么？
答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种 不同的方法。
不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同,分 类计数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一 个方法都能完成这件事。分步计数原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完 成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。
报且仅报一所院校，有多少种不同的报名办法？
解：五位学生中每位都有3种不同的报名方法，故共有 3×3×3×3×3＝35＝243种不同的报名方法。
例3：从甲地到乙地，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
Biblioteka Baidu 乙地
甲地
丙地
4×3+3=15
1、有不同的中文书9本，不同的英文书7本， 不同的俄文书5本，从其中取出不是同一国文 字的书2本，问有多少种不同的取法？
N=9×7＋7×5＋9×5=143
2、集合A={1，2，-3}，B={-1，-2，3，4}，从A、 B中各取1个元素作为点P（x，y）的坐标。
（1）可以得到多少个不同的点？
（2）这些点中，位于第一象限的有几个？
(1)N=3×4+4×3=24 (2)N=2×2＋2×2＝8
3.如图,该电路,从 A到B共有多少条 不同的线路可通 电？
N=m1+m2+ ··· +mn
丙地
甲地
问题2：从甲地到乙地，要从甲地先乘汽 车到丙地，在于次日从丙地乘火车到乙 地，一天中汽车有4班，火车有3班，那 么两天中。从甲地到乙地共有多少种不 同的走法？
乙地
分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要
分成n个步骤，在第1步有m1种不同的办法，在第2步有m2 种不同的办法······在第n步有mn种不同的方法，那么完成 这件事共有
A
B
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类计数原理, 从A到B共有
N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。
当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。
m1
A
m2
……
第一类, 由甲经乙去丙,
又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法;
第二类, 由甲经丁去丙,
也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法;
所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的
走法。
甲地 丁地
乙地 丙地
请同学们回答下面的问题 :
1. 本节课学习了那些主要内容？
甲地
乙地
问题1：从甲地到乙地，可以乘火车也可以乘汽车，一天中，火车有2班，汽车 有3班，飞机有4班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不 同的走法？
分类计数原理（加法原理）：完成一件事，在n类
办法，在第1类办法中有m1种不同的办法，在第2类办法中有 m2种不同的办法······在第n类办法中有mn种不同的方法，那 么完成这件事共有
请同学们回答下面的问题 :
3. 何时用分类计数原理、分步计数原理里呢?
答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算 完成这件事情的方法总数用分类计数原理。
完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完 成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完 成这件事的方法总数用分步计数原理。
10.1.1分类计数与分步计数
世界杯足球赛共有32个队参赛。它们先分 成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按 确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军， 此外还决出了第三、第四名。问一共安排了多 少场比赛？
8×6+8+4+2+2=64
你能数出下面的图形中矩形的个数吗？
想学会计数的方法就要学习我们今后所学的内容
结束语
两大原理妙无穷, 茫茫数理此中求; 万万千千说不尽, 运用解题任驰骋。
mn
点评: 我们可以把加法 原理看成“并联电路”; B 乘法原理看成“串联电 路”。如图:
A m1
B m2 …... mn
4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可 通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通 。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
解:从总体上看,由甲到丙有 两类不同的走法,
N=m1×m2× ··· ×mn
例1、有3个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色
小球5个，黄色小球4个。 （1）从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从袋里任取红、白、黄小球各一个，有多少种不同的取法？
解：（1）有6＋5＋4＝15种方法 （2）有6×5×4＝120种方法
例2、五位应届高中毕业生，报考三所重点院校，每位