著名不等式公式(供知识拓展)

三角形内角的嵌入不等式

三角形内角的嵌入不等式，在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个内角，则对任意实数x、y、z，有：

算术-几何平均值不等式

在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不

等关系。设为n个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是

。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：

等号成立当且仅当。

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子

在n = 4 的情况，设: ，那么

.

可见。

历史上的证明

历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。n = 2的情况很早就为人所知，但对于一般的n，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明

1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：

命题P n：对任意的n个正实数，

1. 当n=2 时，P2显然成立。

2. 假设P n成立，那么P2n成立。证明：对于2n个正实数，

3. 假设P

n成立，那么P n−1成立。证明：对于n- 1 个正实数，设，

，那么由于P n成立，

。

但是，，因此上式正好变成

综合以上三点，就可以得到结论：对任意的自然数，命题P n都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然

数k，命题都成立。因此对任意的，可以先找k使得，再结合第三条就可以得到命题P n成立了。归纳法的证明

使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：

由对称性不妨设x

n + 1是中最大的，由于，设，则

，并且有。

根据二项式定理，

于是完成了从n到n + 1 的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明[3]：

在n的情况下有不等式和成立，于是：

所以，从而有

。

基于琴生不等式的证明

注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：

。

由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

此外还有基于排序不等式、伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广

算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

加权算术-几何平均不等式

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设

和为正实数，并且，那么：

。

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩阵形式

算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：对于系数都是正实数的矩阵

设，，那么有：

也就是说：对k个纵列取算术平均数，它们的几何平均大于等于对n个横行取的n个几何平均数的算术平均。

极限形式

也称为积分形式：对任意在区间[0,1]上可积的正值函数f，都有

这实际上是在算术-几何平均值不等式取成后，将两边的黎曼和中的n趋于无穷大后得到的形式。

伯努利不等式

数学中的伯努利不等式是说：对任意整数，和任意实数，

；

如果是偶数，则不等式对任意实数x成立。

可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数和任意实数，，有严格不等式：

。

伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。

[编辑] 证明和推广

伯努利不等式可以用数学归纳法证明：当n = 0,1，不等式明显成立。假设不等式对正整数n，实数时成立，那么

。

下面是推广到实数幂的版本：如果x> − 1，那么：

若或，有；

若，有。

这不等式可以用导数比较来证明：

当r = 0,1时，等式显然成立。

在上定义f(x) = (1 + x)r− (1 + rx)，其中，对x微分得f'(x) = r(1 + x)r− 1−r，则f'(x) = 0当且仅当x = 0。分情况讨论：

10 < r< 1，则对x> 0，f'(x) < 0；对−1 < x< 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x= 0时取最大值0，故得

。

2r< 0或r> 1，则对x> 0，f'(x) > 0；对−1 < x< 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x= 0时取最小值0，故得

。

在这两种情况，等号成立当且仅当x = 0。

[编辑] 相关不等式

下述不等式从另一边估计(1 + x)r：对任意x, r > 0，都有

。

佩多不等式

几何学的佩多不等式，是关连两个三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。这不等式指出：如果第一个三角形的边长为a,b,c，面积为f，第二个三角形的边长为A,B,C，面积为F，那么：

，

等式成立当且仅当两个三角形为一对相似三角形，对应边成比例；

也就是a / A = b / B = c / C。