《线段的垂直平分线的性质和判定》课件(2套)

5．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5 cm，BD＝3 cm，求BE的长．
解：∵BD＝CD，∴BC＝2BD＝6 cm，又∵AD⊥BC，∴AB＝AC ＝5 cm.∵点C在AE的垂直平分线上，∴CE＝AC＝5 cm，∴BE＝ BC＋CE＝11 cm
知识点2：线段的垂直平分线的判定 6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( A) A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 7．在锐角△ABC内有一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC( A ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点
证明：连接DE，DF，由SAS证△BED≌△CDF，∴DE＝DF，又∵GE ＝GF，GD＝GD，∴△GED≌△GFD(SSS)，∴∠EGD＝∠FGD＝90°， 即DG⊥EF，∴DG垂直平分EF
方法技能： 1．利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相等，应用时要注 意：一是点必须在垂直平分线上，二是距离指的是点到线段两端 点的距离． 2．利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段相等关 系． 易错提示： 对线段垂直平分线的判定理解不透而出错．
证法一 过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC ＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P点在 AB的垂直平分线上．
证法二 取AB的中点C，过P，C作直线．∵PA＝PB，PC ＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即 PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上．
证法三 过P点作∠APB的平分线． ∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)． ∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应边相等，对 应角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°， ∴P点在AB的垂直平分线上．
证法四 过P作线段AB的垂直平分线PC. ∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平 分线上．
3．(习题6变式)如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折， 使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，若△ABD的 周长是22 cm，则AE的长为(C ) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
4．如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点M恰好在 AC上，且AC＝16 cm，则点B到点M的距离为__8_c_m___．
三、课堂练习 教材第62页练习第1，2题． 四、课堂小结 本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定， 并学会了用尺规作线段的垂直平分线． 五、布置作业 1．教材习题13.1第6题．
2．补充题： (1)下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PA＝PB， PO⊥AB，则必有AO＝BO，为什么？
(2)如左下图，△ABC中，AC＝16 cm，DE为AB的垂直 平分线，△BCE的周长为26 cm.求BC的长．
求证：PA=PB
l
证明：∵l⊥AB ,
P
∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90º.
在 ΔPAC和Δ PBC中，
AC=BC
∠ PCA= ∠ PCB
PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC.
A
C
B
∴PA=PB.
线段的垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 距离相等。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
M P
ALeabharlann CBN• 例1：如图，在△ABC中，已知AC=27，DE垂 直平分AB，交AB于点D，交AC于点E， △BCE的周长等于50，求BC的长.
从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的 逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定．
要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一 条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这 样才能确定已知线段的垂直平分线．
下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一 步的依据．
一、问题导入 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是 线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？ 这节课我们就来研究它． 二、探究新知 (一)线段的垂直平分线的性质 教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发 现？
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点， 分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什么 发现？
知识点1：线段的垂直平分线的性质 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，已知 线段PA＝5，则线段PB的长度为( B ) A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线 交AC于点D，则△BDC的周长是( C ) A．8 B．9 C．10 D．11
13．1 轴对称
13．1.2 线段的垂直平分线的性质(2课时)
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段 的垂直平分线的性质和判定解题．
重点 线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线 段的垂直平分线的性质和判定解题． 难点 灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．
师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是 所求作的垂线？请与同伴进行交流．
生：从作法的第(2)(3)步可知CD＝CE，DF＝EF， ∴C，F都在AB的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定) ． ∴CF就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)． 师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的 垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的 垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方 法找线段的中点．
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB
P1A=P1B
……
M P
由此你能得到什么规律？
命题：线段垂直平分线上的点与
这条线段两个端点的距离相等。 A
C
B
P1 N
线段的垂直平分线
命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
已知：如图， 直线l⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 点P在l上.
12．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点， PE＝3 cm，则P点到直线AB的距离是__3__cm.
13．如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC 于E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．
解：∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD，∴△ACD的周长＝AD＋AC＋CD ＝AB＋AC＝14 cm，又∵AB－AC＝2 cm，可得AB＝8 cm，AC＝6 cm
(二)线段的垂直平分线的判定 你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个 命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需 分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的 形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结 论． 原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”， 结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”．
此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段 两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分 线上．”
写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证 明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册 上完成．
学生给出了如下的四种证法． 已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB. 求证：P点在AB的垂直平分线上．
学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线 段两个端点的距离相等．
性质的证明：
教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言 可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线， 点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我 们要证明的是PA＝PB.
教 师 分 析 证 明 思 路 ： 图 中 有 两 个 直 角 三 角 形 ， △ APC 和 △BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.
10．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不 一定成立的是( C ) A．AB＝AD B．CA平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
11．如图，∠MON内有一点P，PP1，PP2分别被OM，ON垂直平分， P1P2与OM，ON分别交于点A，B.若P1P2＝10 cm，则△PAB的周长为( C ) A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
教师要求学生自己写已知，求证，自己证明． 学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．
已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN 上任意一点．求证：PA＝PB.
证明：在△APC和△BPC中， ∵PC＝PC(公共边)，∠PCB＝∠PCA(垂直定义)，AC＝ BC(已知)， ∴△APC≌△BPC(SAS)． ∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)． 因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂 直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
8．如图，点D在三角形ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在 __A_C_的垂直平分线上．
9．如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE 相等？试说明理由．
解：连接BC，∵AB＝AC，DB＝DC，∴A，D都在线段BC的 垂直平分线上，即AD垂直平分BC，∴BE＝CE
15．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交 于点P，过点P分别作PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M.求证：BN＝ CM.