华理线代作业问题详解第七册
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再设 是 的任意一个非零特征值, 对应的特征向量为 ,
即有
,
两边左乘 得 , 即
,
显然 （否则有 , 得到 , 矛盾）,
故 也是 的特征值, 对应的特征向量为 .
8．设 为实正交矩阵, 即 , 证明: 的特征值的绝对值只能是 或 .
证明: 设 是 的特征值, 是对应 的特征向量, 即有
,
所以有
,
另一方面, 又有
2. 问下列矩阵能否与对角阵相似？为什么？
(1) ; (2) ;
(3) .
解：(1)显然 有三个不同的特征值 , 故 有三个线性无关的特征向量, 从而 相似于对角阵 .
(2) ,
由 得A的特征值
再由 知方程组 有两个线性无关的特征向量；
而单根 必有另一特征向量, 故 有三个线性无关的特征向量，从而三阶矩阵 能够相似于对角阵 .
(3) ,
由 得A的特征值
再由 , 知方程组 只有一个线性无关的特征向量, 即三阶矩阵 没有三个线性无关的特征向量, 故 不能相似于任何对角矩阵.
3. 设矩阵 . (1)证明 可对角化; (2)计算 .
解:（1）由 , 可得矩阵 的特征值位 .
对应特征值 , 有两个线性无关特征向量 , ；
对应特征值 , 有一个线性无关特征向量 ；
.
4.设 , 且 有特征值 , 则 =( ).
(A) ; (B) ; (C) ; (D) .
解: B. 一方面 ； 又 , 所以得 .
5.设向量 是矩阵 的逆矩阵 的特征向量, 试求常数 的值.
解：设 , 左乘 得 , 即 ,
即 , 解得 , , 故有
或 .
6. 设 分别是矩阵 属于不同特征值 的特征向量, 试证: 不可能是 的特征向量.
因为 有三个线性无关的特征向量, 所以 可对角化.
取 , 则有
;
(2)由（1）知 , 而 , 故
.
4．已知矩阵 与 相似，
(1)求 ；(2)求一个满足 的可逆阵 .
解: (1)由 相似于 , 得 , 即
,
亦即
,
解之得 ；
(2) 与 有相同的特征值 ,
解方程组 , 得特征向量 ,
解方程组 , 得特征向量 ,
.
(2) 由 , 可得 特征值为 ,
当 解方程组 , 得基础解系 , ，正交化得
, ,
再单位化得 , ;
当 解方程组 , 得基础解系 ,单位化得 ,
取 , 则有
.
2. 已知3阶实对称矩阵 的特征值为6,3,3, 对应于特征值3的特征向量为 , , 求 的对应于特征值6的特征向量及矩阵 .
解: 实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的，所以 的对应特征值6的特征向量为 与 都正交，于是得到
华东理工大学
线性代数
作业簿（第七册）
学 院____________专 业____________班 级____________
学 号____________姓 名____________任课教师____________
5.1 方阵的特征值与特征向量
1. 求下列矩阵的特征值与特征向量:
(1) ; (2) .
解:（1）由 ，
解得 的特征值为: ,
当 时, 解方程 , 由
, 得基础解系为 ,
故对应 的全部特征向量为 ;
当 时, 解方程 , 由
, 得基础解系为 ,
故对应 的全部特征向量为 .
解: (2) 由 ,
解得 的特征值为: ,
当 时, 解方程 , 由
, 得基础解系为 , ，故对应 的全部特征向量为
;
当 时, 解方程: , 由
解: 设 是 的对应于特征值 的特征向量, 即有
,
另一方面, 又有
,
综合得
,
再由定理“矩阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的”, 知必有 即得 , 与已知条件 矛盾, 故命题得证.
7. 设 为 阶矩阵, 证明 与 有相同的特征根.
证明: 只要证明 的特征值都是 的特征值即可.
如果0是 的特征值, 则得 , 从而 , 故0也是 的特征值;
, 得基础解系为 ,
故对应 的全部特征向量为 .
2. 已知3阶矩阵 的特征值为 , ,求 的特征值.
解: 容易证明， 当 是 的特征值时, 则矩阵 的多项式 必有特征值 .设 , 则 有特征值: , , .
3.设矩阵 , 且 的特征值为 , 求 .
解: ,
因为 有特征值为 得: , 即 , 解得 , 无限制, 故
,
结合上述两式得 , 即 .
5.2 相似矩阵
1.已知 是 阶可逆矩阵， 如果 与矩阵 相似，则下列四个命题中，
(1) 与 相似,(2) 与 相似,
(3) 与 相似,(4) 与 相似,
正确的命题共有( ).
(A) ; (B) ; (C) ; (D) .
解：A. (2)、（3）、（4）显然；（1）成立是因为 .
和 ,
取一非零解 ,
再取 , 则有 ,
所以
.
解方程组 , 得特征向量 ,
取 , 则有 .
5.3 实对称矩阵
1.求正交矩阵 , 将下列矩阵正交对角化.
(1) ; (2) .
解: (Baidu Nhomakorabea)由 , 可得特征值为 ，
当 解方程组 , 得基础解系 ,单位化得 ;
当 解方程组 , 得基础解系 ，单位化得 ;
当 解方程组 , 得基础解系 ，单位化得 ;
取 , 则有
即有
,
两边左乘 得 , 即
,
显然 （否则有 , 得到 , 矛盾）,
故 也是 的特征值, 对应的特征向量为 .
8．设 为实正交矩阵, 即 , 证明: 的特征值的绝对值只能是 或 .
证明: 设 是 的特征值, 是对应 的特征向量, 即有
,
所以有
,
另一方面, 又有
2. 问下列矩阵能否与对角阵相似？为什么？
(1) ; (2) ;
(3) .
解：(1)显然 有三个不同的特征值 , 故 有三个线性无关的特征向量, 从而 相似于对角阵 .
(2) ,
由 得A的特征值
再由 知方程组 有两个线性无关的特征向量；
而单根 必有另一特征向量, 故 有三个线性无关的特征向量，从而三阶矩阵 能够相似于对角阵 .
(3) ,
由 得A的特征值
再由 , 知方程组 只有一个线性无关的特征向量, 即三阶矩阵 没有三个线性无关的特征向量, 故 不能相似于任何对角矩阵.
3. 设矩阵 . (1)证明 可对角化; (2)计算 .
解:（1）由 , 可得矩阵 的特征值位 .
对应特征值 , 有两个线性无关特征向量 , ；
对应特征值 , 有一个线性无关特征向量 ；
.
4.设 , 且 有特征值 , 则 =( ).
(A) ; (B) ; (C) ; (D) .
解: B. 一方面 ； 又 , 所以得 .
5.设向量 是矩阵 的逆矩阵 的特征向量, 试求常数 的值.
解：设 , 左乘 得 , 即 ,
即 , 解得 , , 故有
或 .
6. 设 分别是矩阵 属于不同特征值 的特征向量, 试证: 不可能是 的特征向量.
因为 有三个线性无关的特征向量, 所以 可对角化.
取 , 则有
;
(2)由（1）知 , 而 , 故
.
4．已知矩阵 与 相似，
(1)求 ；(2)求一个满足 的可逆阵 .
解: (1)由 相似于 , 得 , 即
,
亦即
,
解之得 ；
(2) 与 有相同的特征值 ,
解方程组 , 得特征向量 ,
解方程组 , 得特征向量 ,
.
(2) 由 , 可得 特征值为 ,
当 解方程组 , 得基础解系 , ，正交化得
, ,
再单位化得 , ;
当 解方程组 , 得基础解系 ,单位化得 ,
取 , 则有
.
2. 已知3阶实对称矩阵 的特征值为6,3,3, 对应于特征值3的特征向量为 , , 求 的对应于特征值6的特征向量及矩阵 .
解: 实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的，所以 的对应特征值6的特征向量为 与 都正交，于是得到
华东理工大学
线性代数
作业簿（第七册）
学 院____________专 业____________班 级____________
学 号____________姓 名____________任课教师____________
5.1 方阵的特征值与特征向量
1. 求下列矩阵的特征值与特征向量:
(1) ; (2) .
解:（1）由 ，
解得 的特征值为: ,
当 时, 解方程 , 由
, 得基础解系为 ,
故对应 的全部特征向量为 ;
当 时, 解方程 , 由
, 得基础解系为 ,
故对应 的全部特征向量为 .
解: (2) 由 ,
解得 的特征值为: ,
当 时, 解方程 , 由
, 得基础解系为 , ，故对应 的全部特征向量为
;
当 时, 解方程: , 由
解: 设 是 的对应于特征值 的特征向量, 即有
,
另一方面, 又有
,
综合得
,
再由定理“矩阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的”, 知必有 即得 , 与已知条件 矛盾, 故命题得证.
7. 设 为 阶矩阵, 证明 与 有相同的特征根.
证明: 只要证明 的特征值都是 的特征值即可.
如果0是 的特征值, 则得 , 从而 , 故0也是 的特征值;
, 得基础解系为 ,
故对应 的全部特征向量为 .
2. 已知3阶矩阵 的特征值为 , ,求 的特征值.
解: 容易证明， 当 是 的特征值时, 则矩阵 的多项式 必有特征值 .设 , 则 有特征值: , , .
3.设矩阵 , 且 的特征值为 , 求 .
解: ,
因为 有特征值为 得: , 即 , 解得 , 无限制, 故
,
结合上述两式得 , 即 .
5.2 相似矩阵
1.已知 是 阶可逆矩阵， 如果 与矩阵 相似，则下列四个命题中，
(1) 与 相似,(2) 与 相似,
(3) 与 相似,(4) 与 相似,
正确的命题共有( ).
(A) ; (B) ; (C) ; (D) .
解：A. (2)、（3）、（4）显然；（1）成立是因为 .
和 ,
取一非零解 ,
再取 , 则有 ,
所以
.
解方程组 , 得特征向量 ,
取 , 则有 .
5.3 实对称矩阵
1.求正交矩阵 , 将下列矩阵正交对角化.
(1) ; (2) .
解: (Baidu Nhomakorabea)由 , 可得特征值为 ，
当 解方程组 , 得基础解系 ,单位化得 ;
当 解方程组 , 得基础解系 ，单位化得 ;
当 解方程组 , 得基础解系 ，单位化得 ;
取 , 则有