CH1第4节 等可能概型(古典概型)

9 6 3 3 (答案 : p 1 9 9 106 ) 1 3
2o 骰子问题 概率.
掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
(答案 : p 3 63 )
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
说明
随机选取n( 365)个人, 他们的生日各不相同的 概 率为
365 364 ( 365 n 1) p . n 365
而n个人中至少有两个人生 日相同的概率为
365 364 ( 365 n 1) p 1 . n 365
我们利用软件包进行数值计算.
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 设 A { 前 2 次摸到黑球, 第 3 次摸到红球} 第3次摸到红球 4种 第1次摸到黑球 6种 第2次摸到黑球
第3次摸球 第2次摸球 第1次摸球
10种
基本事件总数为 10 10 10 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 6 4, 6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10 课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位 不能为0，求数字0出现3次的概率.
( 3 12! ) ( 2! 5! 5! ) 种 , 因此所求概率为
6 3 12! 15! . p2 2! 5! 5! 5! 5! 5! 91
例5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 解 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 7 1 周一 7 2 周二 7 3 周三 7 4 周四
(2) 每个杯子只能放一个球
问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能
放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率. 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为
4 3 2 1 p4 4 p 4 p10 10 9 8 7 1 . 210
课堂练习 1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.
第2张 1 2 第3张 1 2
k
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 1 2
1
2
3
4
n=4,k =3
共有4.4.4=43种可能取法
3 4
3
4
3
4
(5)、不全相异元素的排列 在n个元素中，有m类不同元素、每类各有k1, k2 ,… km 个，将这n个元素作全排列，共有如下种方式：
n! k1 !k2 ! km !
(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有
( 3!12! ) (4! 4! 4! ) 种.
因此所求概率为
25 3!12! 15! . p1 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91
(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种, 12! 种. 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法 共有
D N D 种, k n k
D N D N . 于是所求的概率为 p k n k n
例3 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到 的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是 多少 ?
别有m1 , m2,,…, mk种方法，而完成这件事只需其中一 种方法，则完成这件事共有m1 + m2,+…+mk种方法． (2) 乘法原理： 设完成一件事有n个步骤．第一步有
m1种方法、第二步有m2种方法，…第n步有mn 种方法， 则完成这件事共有m1 × m2 × … × mn种方法.
(3)、不同元素的选排列 从n个不相同的元素中无放回取k个的排列(k ＜ n)， k 称为从n个不同元素中取k个元素的选排列,共有 Pn 种。 当 n ＝ k 时，称n个元素的全排列．共有n！种。
250 2000 . 由于 250, 故得 P ( B ) 2000 8 2000 83 由于 83 84, 得 P ( AB ) . 24 2000
于是所求概率为
P ( AB ) 1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}
83 3 333 250 1 . 2000 2000 2000 4
例9、某人将三封写好的信随机装入三个写 好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概 率是多少？
这是一个
对 问
解：设Ai ={第i封信装入第i个信封} i =1,2,3
A={没有一封信装对地址} 则 A ={至少有一封信装对地址} 直接计算P(A)不易，我们先来计算 P ( A )
P ( A ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A3 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) 2! 1 其中： ( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P 3! 3 1 1 P ( A1 A2 ) P ( A1 A3 ) P ( A2 A3 ) 3! 6
k 1个 元素 k2个 元素 n个元素 因为: C C
k1 n k2 n k1
……
k m个 元素
C
km km
n! k1 !k2 ! km !
(6)、环排列 从n个不同元素中，选出m个不同的元素排成一 个圆圈的排列，共有：
n(n 1)(n 2) (n m 1) m Cn (m 1)! m 4 每个排列
第四节 等可能概型(古典概型)
一、等可能概型 二、典型例题 三、几何概率 四、小结
一、等可能概型(古典概型) 1. 定义
(1) 试验的样本空间只包含 有限个元素; ( 2) 试验中每个基本事件发 生的可能性相同 . 具有以上两个特点的试 验称为等可能概型或 古典概型 .
2. 古典概型中事件概率的计算公式
( 2) A 2 { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT ,TTH }.
因此 P ( A 2 ) 7 8 .
例 2 设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少 ?
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 N 种, n

周五
7 12 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3 周三 周四
2 4

周五
2 12
周一 周二
周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 . 7
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
例如：从3个元素取 出2个的排列总数有6种
P 6
2 3
n! p n(n 1)(n 2) (n k 1) (n k )!
k n
(4)、不同元素的重复排列 从n个不同的元索中，有放回地取k个元素进行的排 列，共有 nk 种（元素允许重复 1 剟k n）。
n n n n
次出现正面”求 P ( A1 ). ( 2) 设事件 A2 为 , “至少有一 次出现正面”求 P ( A2 ). ,
解 (1) 设 H 为出现正面, T 为出现反面.
则 S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.
而 A 1 { HTT , THT , TTH }. 得 P ( A 1 ) 3 8 .
例8、从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中
至少有两只鞋子配成一双的概率是多少?
解：A ={4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双}
A ={4只鞋子中没两只鞋子配成一双}
CCCCC 8 P ( A) C 21 8 13 P( A) 1 P( A) 1 21 21
4 5 1 2 1 2 4 10 1 2 1 2
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法 3 3 3 3 34 种,

4 种 2
2个
2 种 2
2个
因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为
4 2 4 2 p 3 . 27 2 2
解 设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件
P( “取到的数能被8整除”，则所求概率为 A B ). P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B )
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
2000 333 因为 333 334, 所以 P ( A) , 6 2000
例6 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365日各不相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) p1 . 64 365
故64 个人中至少有2人生日相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) 0.997. p 1 64 365
1 2 3 4 1 3 4 3 2 1
重复了4 次
4
1
2
3
(7)、组合 2 从n个不同元素中取m个而不考虑其次序的排列 （组合），共有 Cnm 种.
4! 排列数为 4
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球
问题1
设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无
放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率. 解 设 A {摸得 2 只球都是白球 }, 6 基本事件总数为 , 2 4 A 所包含基本事件的个数为 , 2 4 6 2 故 P ( A) . 2 2 5
例7、有n个人排队，排成一圈，求甲、乙两人 相邻的概率是多少? 解：(2)排成一圈是环排列， n个人的环排列有(n－1)! 种，甲、乙相邻占一个位置的环排列有(n一2)!种，考 虑互换性，有利事件有2× (n一2)!种．故：
(n 2)! 2! 2 P( A) (n 1)! n 1 更为简单的想法是：设想一个圆周上：有n个位置， 甲占了一个位置后，乙还有n一1个位置可选，其中与 甲相邻的位置有2个．所以: 2 P ( A) n 1
设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A
为 E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事 件 A 出现的概率记为:
m A 所包含样本点的个数 P ( A) . n 样本点总数
称此为概率的古典定义.
【注】求解古典概型问题的关键是弄清样本空间中的 基本事件总数和对所求概率事件有利的事件个数．在考虑 事件数的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列 问题，掌握以下关于排列组合的知识是有用的： (1) 加法原理：设完成一件事有k类方法，每类又分
例4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
15 10 5 15! . 5 5 5 5! 5! 5!
(答案 : 2 9)
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率. 20 10
(答案 : p 36520 ) 10 10
二、典型例题
例1 将一枚硬币抛掷三次 (1) 设事件 A1 为“恰有一 .