第十一章 第四节 古典概型与几何概型

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第四节 古典概型与几何概型

[考纲要求]

1.理解古典概型及其概率计算公式.

2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

3.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.

4.了解几何概型的意义.

突破点一 古典概型

[基本知识]

1.基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的;

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2.古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.

(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.

3.古典概型的概率公式

P (A )=A 包含的基本事件的个数基本事件的总数

.

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)

(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发

芽与不发芽”.( )

(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等

可能事件.( )

(3)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋,测其重量,属于古典概

型.( )

(4)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组

的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13

.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√

二、填空题

1.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为________.

答案:2 5

2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为________.

答案:9 10

3.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.

答案:5 6

[典例](2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?

(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;

②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.

[解](1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.

(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.

②由①,不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.

所以事件M发生的概率P(M)=5 21.

[方法技巧]

1.求古典概型概率的步骤

(1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A;

(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;

(3)利用公式P(A)=m

n,求出事件A的概率.

2.求基本事件个数的三种方法

(1)列举法:把所有的基本事件一一列举出来,此方法适用于情况相对简单的试验题.

(2)列表法:将基本事件用表格的方式表示出来,通过表格可以弄清基本事件的总数,以及要求的事件所包含的基本事件数.

(3)树状图法:树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法,树状图法便于分析基本事件间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段.[针对训练]

1.(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()

A.1

12 B.1

14

C.1

15 D.1

18

解析:选C不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,随机选取两个不同的数,共有C210=45种情况,而和为30的有7+23,11+19,13+17这3种情况,∴所

求概率为3

45=1

15.故选C.

2.(2019·大同一中月考)甲、乙两人玩一种游戏,在装有质地、大小完全相同,编号分别为1,2,3,4,5,6六个球的口袋中,甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.

(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率.

(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.

解:(1)设“两个编号和为8”为事件A,则事件A包括的基本事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个.又甲、乙两人取出的数字共有6×6=36个等可能的结果,

故P(A)=5 36.

(2)这种游戏规则是公平的.

设甲赢为事件B,乙赢为事件C,由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件数有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18个.

所以甲赢的概率P(B)=18

36=

1

2,故乙赢的概率P(C)=1-

1

2=

1

2=P(B),

所以这种游戏规则是公平的.

突破点二几何概型

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