高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量 知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算

1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a

+b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；

AB BC CD PQ QR AR +++

++=，但这时必须“首尾相连”．

3、向量的减法：① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量

②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）a a ⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的

5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ

6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。 2平面向量的坐标运算：

(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±

(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--

(3) 若a =(x,y)，则λa =(λx,λy)

(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=

(5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅

若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x

三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：

已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ

叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅= 2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义：a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立： ()()2222a b a b a b

a b +⋅-=-=-； ()222

2a b a a b b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+ 6平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：a b b a ⋅=⋅ ②对实数的结合律成立：()()

()()a b a b a b

R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±

特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； （2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到

b c =⋅ （3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =0

7两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =121x x y y + 8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ（001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角 cos θ=cos ,a b

a b a b •<>=•

=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b

10两个非零向量垂直的充要条件：

a ⊥

b ⇔a ·b ＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质