21.2函数关系的表示法2
21.2 二次函数的图像和性质
新课标沪科版·数学 九年级上
第21章 二次函数与 反比例函数
21.2 二次函数的图像和性质
知识点 二次函数y=ax²的图象和性质
投篮命中率是衡量一名篮球运动员得分能力 的重要标志,要提高投篮命中率,应该将球的运动路 线想象成抛物线,在心中建立如图所示的抛物线模 型,这种类型的抛物线表达式为y=ax²(a≠0),尽量向 高处抛出篮球,落点就是篮筐,这样投篮命中率会高 一些,同学们不妨多尝试几次,效果会不错的呦!
精度最高的望远镜,用来探测来自太空的无线电波.根
据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径
AB为500米,最低点C到口径面AB的距离是100米,若按
图(2)中方式建立平面直角坐标系,则抛物线的表达式
就是y=
1 625
x²-100.
知识点 二次函数y=a(x+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)²的图象和性质
太阳镜,也称遮阳镜,作遮阳之用.人在阳光下 通常要靠调节瞳孔大小来调节光通量,当光线强 度超过人眼调节能力时,就会对人眼造成伤害.所 以在户外活动场所,特别是在夏天,需要采用遮阳 镜来遮挡阳光,以减轻眼睛调节造成的疲劳或强 光刺激造成的伤害.如图所示的是一副太阳镜,
知识点 用待定系数法求二次函数表达式
跳台滑雪简称“跳雪”.就是运动员脚着特 制的滑雪板,沿着跳台的倾斜助滑道下滑.跳雪是 冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行 路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后 的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似 满足函数关系y=ax²+bx+c(a≠0).下图记录了某 运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数 模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最 高点时的水平距离.
21.2函数关系的表示法
编号：12 八年级《数学》学教案（课题：21.2函数关系的表示法）执笔李玉梅学习目标：知识目标：1.通过实例了解函数的三种表示方法。
2.从具体问题中了解函数各种表示方法的特点。
能力目标：能选择恰当的方法表示实际问题中函数的关系，发展符号感。
初步体会数形结合的思想方法。
情感目标：通过探索过程，让学生充分感受函数的三种表示方法在解决实际问题中的作用.学习重、难点：学习重点：1.认清函数的不同表示方法，知道其优缺点。
2.能按具体情况选用适当方法。
学习难点：函数表示方法之间的转化。
预习导航：（预习课本P41－42,完成下列问题。
）函数的三种表示方法是什么？各有什么特点？学习过程：一、创设情境、引入课题问：表示函数的方法有哪些？那么如何适当的选择呢，引出课题。
二、合作交流1．人们发现，声音在空气中传播的速度（简称音速）随气温的变化而变化。
某研究者通过实验得到了这样一些关于气温x与音速y对应的数据: （书）问题：：（1）音速y是否为气温x的函数？（2）如果是，怎样表示这个函数关系？（3）能否用表达式表示音速y与气温x之间的关系？（4）如何求气温为－4℃，28℃时音速的值？2．上题中音速与气温之间的函数关系，还可借助图形表示出来，建立坐标系，借助于表格（或表达式）找出气温x与音速y的一些对应值，并以每对值为横、纵坐标，确定出坐标系中相应的点，并用光滑的线连结起来。
这些点组成的图形叫这个函数的图像。
请试着画出这个函数的图像。
三、探究新知、引导归纳从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点．表示方法全面性准确性直观性形象性列表法：解析式法：图象法：从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点．在遇到实际问题时，就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．四、质疑问题，自主反馈例1：用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a的函数．解：因为等边三角形的周长L是边长a的3倍．所以周长L与边长a的函数关系可表示为：L=3a （a>0）我们可以用描点法来画出函数L=3a的图象．列表：描点、连线：练习1：下表是2003年汛期某水库自8月1日练习2：课本43页练习题．五、点滴收获1．函数的三种表示方法有哪些，各有什么特点？2．本节课体现了一种什么思想方法？六、布置作业：课后习题1，2，3.。
八年级数学下册 21.2函数关系的表示法 教案 冀教版
21．2 函数关系的表示法教学目标1．用适当的方法表示函数，能运用函数解决问题。
2．提高识图能力、分析函数图象信息能力．3．通过利用图象解决实际问题，体会到数学知识来源于实际生产、生活的需要，反之，又很好地服务生产、生活。
教学重点观察分析图象信息．教学难点观察分析图象信息教学过程一．提出问题，创设情境我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立．但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映，即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰．二．探索新知1、在前面，我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题．现在让我们来回顾一下．你是如何从图上找到各个时刻的气温的？分析：图中，有一个直角坐标系，它的横轴是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示气温．这一气温曲线实质上给出了某日的气温T (℃)与时间t（时）的函数关系．例如，上午10时的气温是2℃，表现在气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(10,2)．实质上也就是说，当t＝10时，对应的函数值T＝2．气温曲线上每一个点的坐标(t,T)，表示时间为t时的气温是T．像气温曲线一样，这种用图象表示函数的方法叫做图象法。
函数图象可以数形结合地研究函数，给我们带来便利．2、下图是自动测温仪记录的图象，•它反映了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？引导学生从两个变量的对应关系上认识函数，体会函数意义；可以指导学生找出一天内最高、最低气温及时间；在某些时间段的变化趋势；认识图象的直观性及优缺点；总结变化规律．结论：①．一天中每时刻t都有唯一的气温Ｔ与之对应．可以认为，气温Ｔ是时间t的函数．②．这天中凌晨4时气温最低为-3℃，14时气温最高为8℃．③．从0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的增加而下降．从4时至14•时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态．④．我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少．3、如图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．•其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．根据图象回答下列问题：①．菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？②．小明给菜地浇水用了多少时间？③．菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？④．小明给玉米地锄草用了多长时间？⑤．玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均速度是多少？引导学生分析图象、寻找图象信息，特别是图象中有两段平行于x•轴的线段的意义．解：①．由纵坐标看出，菜地离小明家1．1千米；由横坐标看出，•小明走到菜地用了15分钟．②．由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地浇水用了10分钟．3．由纵坐标看出，菜地离玉米地0．9千米．由横坐标看出，•小明从菜地到玉米地用了12分钟．④．由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了18分钟．⑤．由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米．由横坐标看出，•小明从玉米地走回家用了25分钟．所以平均速度为：2÷25=0．08（千米／分钟）．四．课堂小结本节学会了分析图象信息，解答有关问题．五．作业六、课后随笔。
表示函数关系的三种方法
表示函数关系的三种方法
函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了输入和输出的关系。
表示函数关系的三种方法是：文字描述、图形表示和符号表示。
一、文字描述：文字描述是最为基本和简单的一种函数表示方法。
函数通常用一句话来描述，如：设$f(x)$为一个函数，若$x$为一个实数，则$f(x)=x^2-3x+5$。
这种描述方法的局限在于需要大量文字来描述，对于函数的性质、定义域、值域等无法直观反映，难以实现精确计算。
二、图形表示：图形表示是一种非常直观的函数表示方法，通过函数图像来表示函数的性质。
函数图像是指由函数的值随输入变化而形成的点的图形。
例如$f(x)=x^2-3x+5$这个函数的图像具有二次函数的基本特征，如开口向上或向下、对称轴、交点等。
利用图形表示可以很直观地显示函数的性态，并知道函数的一些基本性质，如函数的单调性、最值、零点等等。
三、符号表示：符号表示是精确而严谨的一种表示方法。
符号表示主要通过定义、公式等方式来标识函数，如$f(x)=x^2-3x+5$就是一种符号表示函数的方式。
它可以提供很多函数的相关信息，如定义域、值域、导数、极限等
等。
这种表示方法需要掌握丰富的数学符号和知识才能理解，可能不太直观。
综上所述，表示函数关系的三种方法各有优劣，需要根据不同情境和目标选择适合自己的方法。
有些场合需要一种直观简单的方法，如初学者学习函数的基本概念可采用图形表示法；有些场合需要精确细致的方法，如深入研究函数的性质和行为，可以使用符号表示法。
函数领域需要图形和符号表示方法相结合，这样可以更好地帮助我们理解和掌握函数的知识，使我们能更好地掌握数学，更好地应用数学。
上街区七中九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.2二次函数的图象和性质2第4课时二次函数y
2 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质第4课时 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质教学目标：1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质。
重点难点：重点：用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。
难点：理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x ＝－b 2a 、(－b 2a ，4ac －b24a)是教学的难点。
教学过程： 一、提出问题1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系?(函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝－4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质?(当x ＜2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞2时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝2时，函数取得最大值，最大值y ＝1)4．不画出图象，你能直接说出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?5．你能画出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?二、解决问题由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，进而观察得到这个函数的性质。
解：(1)列表：在x 的取值范围内列出函数对应值表；x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －612 －4 －212 －2 －212 －4 －612…(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
21.2函数关系的表示方法
21.２函数关系的表示法胡各庄初级中学执笔人：李丽文审核：刘媛媛李荣军学习目标：1.知道函数关系的三种表示方法及各自的优缺点。
2.会从三种表示方法中读取有关信息，并能用它解决简单实际问题。
学习重、难难点：函数关系的三种表示方法；能灵活运用这三种表示方法对具体问题进行分析。
一、课前预习(1)一种豆子每千克售2元，写出豆子的总售价y（元）与所售豆子的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.(2)(3)…，并用平滑的曲线连结描出的各点.二、自主学习请同学们研读课本41-42页内容,然后仿照课本知识完成下面题目:知识点1：表格法（列表法）的关系见下表：★这是用的方法表示了某山区平均气温y与该山的海拔高度x的关系。
知识点2：表达式（解析式）从表格中可以看出，海拔高度x每升高(或降低)100米,平均气温y就降低(或增加)_______ ℃，也就是说海拔高度x每升高(或降低)1米, 平均气温y就降低(或增加)_______ ℃，而山脚(海拔高度x=0)平均气温y=_______℃。
★平均气温y与该山的海拔高度x的关系可以用表达式表示为_________.根据表达式回答:当海拔高度x为500米时, 平均气温y为______℃。
知识点3：图像法★①画出平面直角坐标系,用横轴上的点表示海拔高度x米,用纵轴上的点表示平均气温y℃；②在平面直角坐标系中描出表格中的点；③用光滑的曲线连结各点。
知识点4：体会交流三种表达方式的优缺点三、合作探究1、下列各点在函数3=xy的图像上的是（）2-A．)1,1( B．)1(- D．)1,0(,1(- C．)1,12、树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表（树苗原高．．．．．．．100厘米）：3、如图是某地一天的气温随时间变化的图像，根据图像回答，在这一天中：①什么时间气温最高？什么时间气温最低？最高气温和最低气温各是多少？②20时的气温是多少？③什么时间气温为6℃？④哪段时间内气温不断下降？⑤哪段时间内气温持续不变？4、如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h 与时间t 之间的关系的图像是 （ ） ．四、合作共赢：下面的图象反映的过程是:小明从家里出发去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x 表示时间,y 表示小明离他家的距离.根据图象回答下列问题:1. 菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？2. 小明给菜地浇水用了多少时间？3. 菜地离玉米地多远？小明从菜地走到玉米地用了多少时间？4. 小明给玉米地锄草用了多少时间？5. 玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少?距离y/千米时间x/分钟 1.12五、5分钟检测：1. 下表表示皮球从高为x （m ）处落下的时候，弹跳高度y （m ）与下落高度x 的关系，试问下A ．y =xB ．y =2xC ．y =3xD ．y =12x 3.市场上猪肉的价格为每千克12元，那么质量x （千克）与买x 千克付款y 元，这两个变量中y 是x 的函数，可以有以下三种表示方法：（1）表达式法：y =________.（（4. 设甲、乙两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的关系如图所示，那么可以知道：（1）这是一次_______米赛跑；（2）乙的平均速度是____米/秒；（3）甲、乙两人中先到达终点的是_____。
21,2 一次函数的图像和性质 第一课时八年级数学下册课件(冀教版)
探究新知：你能将关系式法转化成图像法吗？什么是函数的图像？
知识点 1 一次函数的图像
已知函数的表达式，通过列表、描点和连线，可以在直 角坐标系中画出这个函数图像。
已知一次函数y =2x－1.
(1)填写下表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … －7 －5 －3 －1 1 3 5 …
标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为10，则该 直线的表达式是( C )
A．y＝x＋5
B．y＝x＋10
C．y＝－x＋5
D．y＝－x＋10
知识点 2 直线y＝kx＋b 的位置与系数k，b 的关系
从 k、b 的值看一次函数的图像 (1) 当 k＞0, b＞0时，图像过一、二、三像限； (2) 当 k＞0, b＜0时，图像过一、三、四像限； (3) 当 k＜0, b＞0时，图像过一、二、四像限； (4) 当 k＜0, b＜0时，图像过二、三、四像限.
2
2
一次函数图像的画法与我们前边学过的函数图像的画法一样， 其步骤为列表、描点、连线.通过实际操作，我们可得出：
(1)一次函数y =kx+b (k、b 为常数，k≠0)的图像是一条直线.由两
点确定一条直线可知，在画一次函数图像时，只要描出函数图像中 的两个点就可画出此函数的图像.
(2)一般地， y=kx+b (k、b 为常数，k≠0)都过(0，b )(与y 轴交点 坐标)和( b ，0)(与x 轴交点坐标)两点.
(2)以(1)中得到的每对对应值分别为横坐标和纵坐标，在图中
所示的直角坐标系中，描出相应的点.
(3)把(2)描出的点依次用平滑曲线连接起来，就得到y =2x－1
的图像.
(4)一次函数y =2x－1的图像的形状是怎样的？
1.2.2函数的表示法(两节课)
函数的表示法
1. 解析法：
把两个变量的关系, 用一个等式
表示, 这个等式就叫做函数的解析式.
优点: 函数关系清楚, 便于研究
函数性质.
第6页，共34页。
2. 列表法：
列出表格来表示两个变量的关系.
第7页，共34页。
2. 列表法：
列出表格来表示两个变量的关系. 如：平方表，平方根表，汽车、
用函数图象来表示两个变量之
间的关系.
如： 一次函数的图象是一条直线； 如函数 y＝kx＋b (k＜0、b＞0)
y
优点：直观形象．
O
x
第13页，共34页。
例一、某种笔记本的单价是5元，买x(x {1, 2,3, 4,5}
个笔记本需要 y 元。试用函数的三种表示法表示函
数 y f (x) 。
解：这个函数的定义域是数集 {1，2，3，4，5} 。
解：设票价为 y ，里程为 x ，依题意得：
2, 0 x 5
y
3, 5 x 10 4,10 x 15
5,15 x 20
第16页，共34页。
2, 0 x 5
y
3, 5 x 10 4,10 x 15
5,15 x 20
5
4
3
2
1
O
5 10 15 20
第17页，共34页。
我们把像例2，例3这样的函数称为分段函数。
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部
分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点 基本认识：
（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几 个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值
域是各段值域的并集。
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冀州市五中九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.2二次函数的图象和性质1二次函数y=ax2
21.2 二次函数的图象和性质1.二次函数y=ax 2的图象和性质【知识与技能】1.能够利用描点法作出y=x 2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=-x 2的图象，并能够比较与y=x 2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.【过程与方法】经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.【情感态度】培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.【教学重点】会画y=ax 2的图象，理解其性质.【教学难点】结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来.一、情景导入，初步认知一次函数y=kx+b 和反比例函数x k y（k ≠0）图象是什么形状？有哪些性质呢？那么二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图象呢？——引入课题【教学说明】通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.二、思考探究，获取新知1.试着画出y=x 2的图象.【教学说明】让学生自己经历画y=x2的图象的过程，进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的形成过程.2.观察二次函数y=x 2的图象，回答下列问题.（1）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）图象有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？（3）当x ＜0时，随着x 的增大，函数y 如何变化？当x ＞0时呢？【归纳结论】二次函数y=ax 2的图象是一条关于y 轴对称，过坐标原点并向上伸展的曲线，像这样的曲线叫做抛物线.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.3.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=21x 2和y=2x 2的图象. 解：（1）列表.（2）描点、连线.4.探究.（1）观察二次函数y=21x 2和y=2x 2的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是有最低点？图象何时上升、何时下降？ （2）你能根据函数y=21x 2和y=2x 2的图象的共同特点，总结出二次函数y=ax 2(a ＞0)的性质吗？ 【归纳结论】二次函数y=ax 2(a ＞0)的图象及性质为：5.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x 2、y=-21x 2和y=-2x 2的图象.仿照上面的表格，总结出y=ax 2(a ＜0)的性质.6.对比函数y=x 2和y=-x 2、y=21x 2和y=-21x 2、y=2x 2和y=-2x 2的图象，指出它们的相同与不同之处.7.思考：（1）a ＞0与a ＜0时，函数y=ax 2的图象有什么不同？（2）|a|的大小对函数y=ax 2的图象的开口大小有什么影响？（3）二次函数的图象是什么形状？【归纳结论】1.抛物线y=ax 2(a ≠0)的对称轴是y 轴，顶点是原点；2.a ＞0时，抛物线y=ax 2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；3.a ＜0时，抛物线y=ax 2的开口向下.顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.【教学说明】让学生自己去观察分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的.三、运用新知，深化理解1.已知函数y=(m-2)x m2-7是二次函数，且开口向下，则m= -3 .【分析】它是二次函数，所以m 2-7=2,得m=±3,且开口向下，所以m-2＜0,得m ＜2.即：m=-3.2.已知抛物线y=ax 2经过点A （-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B （-1，-4）是否在此抛物线上.【分析】（1）把a 的值求出即可；（2）把B 的坐标代入，等式成立则是在此抛物线上，否则不在.解：（1）把（-2，-8）代入y=ax 2中得：a=-2.∴解析式为：y=-2x 2（2）把（-1，-4）代入y=-2x 2中等式不成立，∴点B （-1，-4）不在此抛物线上.3.已知y=(k+2)42-+k k x 是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大.（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴.解：（1）由题意，得解得k=2.（2）二次函数为y=4x 2，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴.4.已知正方形周长为Ccm ，面积为Scm 2.（1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1cm 2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4cm 2.【分析】此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内.解：（1）由题意，得S=161C 2(C ＞0). 列表：描点、连线，图象如图：（2）根据图象得S=1cm2时，正方形的周长是4cm.（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4cm2.【教学说明】学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，教师更正、强调.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题21.2”中第1、2题.本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣.教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识.整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣.25.2用列举法求概率第1课时用列表法求概率【知识与技能】初步掌握直接列举法计算一些简单事件的概率的方法.【过程与方法】通过用列举法求简单事件的概率的学习，使学生在具体情境中分析事件.计算其发生的概率，解决实际问题.【情感态度】体会概率在生活实践中的应用，激发学习数学的兴趣，提高分析问题的能力.【教学重点】熟练掌握直接列举法计算简单事件的概率.正确理解和区分一次试验中包含两步或两个因素的试验.【教学难点】能不重不漏而又简洁地列出所有可能的结果.一、情境导入，初步认识1.复习回顾①概率的意义；②对于试验结果是有限等可能的事件的概率的求法.2.多媒体展示扫雷游戏，引入课题.二、典例精析，掌握新知我们在日常生活中，常常会用掷硬币的方式来决定游戏的胜负，下列请同学们思考下面的这种游戏规则是否公平.例老师向空中抛掷两枚同样的硬币，如果落地后一反一正，老师赢；如果落地后都只正面时，同学们赢，请问你们觉得这个游戏公平吗？【教学说明】对“游戏是否公平”实际是看两方出现的概率大小如何.所以解决本题的关键是，分别计算出“一正一反”与“都是正面”的概率各是多少并比较，这里教师要引导学生条理清楚地列举出所有可能的结果，学生思考交流.解：我们利用表格的形式，列举出所有可能的结果.∴这游戏不公平.问：“同时掷两枚硬币”与“先后掷一枚硬币”这两种试验的所有可能一样吗？答案：一样.三、运用新知，深化理解1.在“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：20个商标牌中，有5个商标牌背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻，有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）2.从甲、乙、丙三人中任意选两名代表参加会议，甲被选中的概率为（）3.在一个布袋里装有红、白、黑三种颜色的玻璃球各一个，它们除颜色外，没有其他区别，先从布袋中取出一个球，放回袋中并搅匀，再从袋中取一个球，则两次取出的恰好都是红球的概率是_____.4.袋子中装有红、绿各一个小球，除颜色外无其他差别，随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个.求下列事件的概率；（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球；（2）两次都摸到相同颜色的小球；（3）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球.5.在“妙手推推推”的游戏中，主持人出示了一个9位数：258396417，让参与者猜商品价格，被猜的价格是一个4位数，也就是这个9位数中从左到右连在一起的某4个数字.如果参与者不知道商品的价格，从这些连在一起的所有4位数中，任意猜一个，求他猜中该商品的概率.【教学说明】本练习着重演练用列举法求简单事件的概率，可先让学生自主完成，再选派几名学生作答，教师再予以评点.【答案】1.B【解析】所有剩下的商标共20-2=18个，其中有奖的有5-1=4个，所以它第三次翻牌获奖的概率为4/18=2/9.2.C【解析】分析所有的可能结果为（甲、乙），（甲，丙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙）.事件A包含的结果为（甲、乙），（甲，丙）,（乙，甲），（丙，甲）共4个，故P（A）=4/6=2/3.3.1/9【解析】所有可能出现的结果有（红，红）、（红，白）、（红，黑）、（白，红）、（白，白）、（白，黑）、（黑，红）、（黑，白）、（黑，黑）共有9种，所以P（都是红球）=1/9.4.（1）1/4（2）1/2（3）1/25.所有可能结果有:2583,5839,8396,3964,9641,6417,其中只有一种是该商品的价格，所以猜中该商品的概率为1/6.四、师生互动，课堂小结1.本堂课你学到了什么知识，有哪些收获？2.你能不重不漏地列举出事件发生的所有可能吗？3.你能正确求出P（A）=m/n吗？【教学说明】围绕上述问题，教师引导学生交流归纳.用列举法求简单事件概率的一般步骤，重点是要让学生掌握方法.1.布置作业：从教材“习题25.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.1.本节课通过以学生喜闻乐见的扫雷、掷硬币等游戏为载体，充分调动了学生的学习欲望，将学生摆在了真正的主体位置上，充分发挥了他们的主观能动性，从而让学生在趣味中掌握本节课的知识.生活中有许多有关概率的问题，本节课的学习亦能让学生尝试用概率的知识去解决生活中的问题，从而体会到概率知识在生活中的应用价值.2.本节课还通过普通列举法与列表法，对找出包含两个因素的试验结果的对比，让学生感受到列表法的作用与长处，使学生易于接受知识.3.教师引导学生交流归纳知识点，看学生能否会不重不漏地列举出事件发生的所有可能，能否找出事件A中包含几种可能的结果，并能求P（A），教学时要重点突出方法.二次函数说课稿（一）一、教材分析：1、教材所处的地位：二次函数是湘教版初中数学九年级（下册）的内容，在此之前，学生已经学过了函数及一次函数的内容，对于函数已经有了初步的认识。
1.2.2函数的表示法
例题剖析
例3 某种笔记本的单价是5元，买x（x{1,2,3,4,5}） 个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数 y=(x)。 解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝用解 析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x{1,2,3,4,5}. 用列表法可将函数表示为 笔记本数x 钱数y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25
y 100
90 80
70
.
班♦ 平 均 分
■
▲
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ. . . .
▲
.
■ ▲
王伟
♦
▲
♦ ▲
■
■
♦
♦ 张城
▲ ■
■
♦
赵磊
60 0
1
2
3
4
5
6
x
例5 画出函数y=|x|的图象. 解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如下：
x, x≥0, -x, x<0.y
5
4 3 2
1 -3 -2 -1 0 1
2 3 x
有些函数在它的定义域中，对于自变量X的不同取值 范围，对应关系不同，这样函数通常称为分段函数。
第一次 第二次 王伟 张城 赵磊 班级平均分 98 90 68 88.2 87 76 65 78.3
第三次 91 88 73 85.4
第三次 92 75 72 80.3
第五次 88 86 75 75.7
第六次 95 80 82 82.6
y 100
90 80
70
.
班♦ 平 均 分
■
▲
. . . .
▲
应关系f，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这个
九年级数学 21.2二次函数的图象和性质(共6课时)教学设计
21.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y=ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)2.画函数图象的一般步骤是什么?一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象.(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
高中数学1.2.2函数的表示法(二)
函数是两个非空数集间的一种确定的对 应关系．若将数集扩展到任意的集合时，会 得到什么结论？
阅读课本 P22~23.
§1.2.2函数的表示法（二）
设A,B是两个非空的集合，如果按某一个 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一 个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应，那么就称对应 f :A→B为从集合A到 集合B的一个映射(mapping).
映射是从非空集合A到非空集合B的一种 对应关系,函数是从非空数集A到非空数集B的 映射.由此可知，映射是函数的推广，函数是 一种特殊的映射.
§1.2.2函数的表示法（二）
A 求正弦 B
300
1 2
450
2 2
600
3
2
900
1
类型一：一对一
§1.2.2函数的表示法（二）
A 求平 方 B
3
9
3
2
4
2
3
C. f : x y x
D.
f
:
x
y
1 6
x
§1.2.2函数的表示法（二）
【2】下面的对应,不是从M到N的映射的是( B).
A. M 1,3,4,6,7, N 1,1, f : x y 1x .
B. M Z, N R,
f :x y x.
C. M 2,3,4, N 4,6,8, f : x y 2x.
2
1
1
1
类型二：多对一
§1.2.2函数的表示法（二）
A 开平方 B
9
3
3
4
2
2
1
1
1
注意:一对多不是映射
§1.2.2函数的表示法（二）
初中数学 什么是函数关系
初中数学什么是函数关系初中数学中，函数关系是一个重要的概念。
函数关系描述了两个集合之间的对应关系，其中一个集合的每个元素对应着另一个集合的唯一元素。
在这篇文章中，我们将详细介绍函数关系的概念、性质以及在数学中的应用。
一、函数关系的定义函数关系是指两个集合之间的对应关系，其中一个集合的每个元素对应着另一个集合的唯一元素。
通常，我们用字母x表示第一个集合的元素，用字母y表示第二个集合的元素。
函数关系可以用以下形式表示：y = f(x)，其中f表示函数。
函数关系可以通过多种方式表示，包括集合、点集、映射和图表等。
下面我们将讨论这些表示方法。
1. 集合表示法：函数关系可以用一个集合表示，其中包含了所有的有序对(x, y)。
例如，{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}就表示了一个函数关系，其中x的值分别对应着y的值。
2. 点集表示法：函数关系可以用一组点来表示，其中每个点的横坐标对应着x 的值，纵坐标对应着y的值。
例如，(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)就表示了一个函数关系。
3. 映射表示法：函数关系可以用一个映射来表示，其中每个输入x都对应着一个输出y。
例如，f(x) = 2x就表示了一个函数关系，其中输入x的值经过函数f 的处理后，得到输出y的值。
4. 图表表示法：函数关系可以用一个图表来表示，其中横轴表示x的值，纵轴表示y的值。
图表上的点表示函数关系中的有序对。
通过观察图表上的趋势，我们可以了解函数的性质和规律。
二、函数关系的性质函数关系具有以下几个重要的性质：1. 定义域和值域：函数关系中的定义域是指所有可能的输入值x的集合，值域是指所有可能的输出值y的集合。
函数关系的定义域和值域可以通过集合表示法来表示。
2. 单射性：如果函数关系中的每个x值对应着唯一的y值，那么这个函数关系是单射的。
也就是说，不会出现两个不同的x值对应着相同的y值。
3. 满射性：如果函数关系中的每个y值都有对应的x值，那么这个函数关系是满射的。
数学函数关系表达
数学函数关系表达数学函数是数学中的一种基本概念，它描述了数值之间的关系。
函数关系的表达方式有多种，每种方式都有其独特的特点和应用场景。
本文将探讨几种常见的数学函数关系表达方式，并分析其优缺点。
一、函数关系的符号表示在数学中，函数关系可以用符号表示。
常见的符号表示方式有：1. 函数关系的显式表达式函数关系的显式表达式是最常见的表达方式。
它通过一个公式明确地表示出函数关系。
例如，函数y = f(x)可以用显式表达式y = 2x + 3来表示。
这种表达方式简洁明了，适用于简单的函数关系。
然而，对于复杂的函数关系，显式表达式可能变得冗长和难以理解。
2. 函数关系的隐式表达式函数关系的隐式表达式是通过方程或条件来表示的。
例如，函数关系x^2 +y^2 = 1可以用隐式表达式表示。
这种表达方式适用于无法用显式表达式表示的函数关系，但求解和分析隐式表达式的函数关系可能会更加困难。
3. 函数关系的级数展开函数关系的级数展开是将函数关系表示为级数的形式。
级数展开可以用于近似计算和函数逼近。
例如，函数关系e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...可以用级数展开表示。
级数展开的优点是可以用有限项来近似计算函数值，但在某些情况下，级数展开的收敛性可能需要额外的条件。
二、函数关系的图像表示除了符号表示外，函数关系还可以通过图像表示。
图像表示是一种直观且易于理解的方式，它可以帮助我们更好地理解函数关系的性质和特点。
1. 函数关系的曲线图函数关系的曲线图是函数关系在坐标系中的图形表示。
通过绘制函数关系的曲线图，我们可以直观地看到函数的增减性、极值点、拐点等性质。
曲线图的优点是可以清晰地展示函数关系的特点，但在某些情况下，函数关系的曲线图可能会很复杂，需要使用计算机绘图工具进行绘制。
2. 函数关系的散点图函数关系的散点图是将函数关系的离散点在坐标系中表示出来。
散点图可以用于观察函数关系的离散性质和分布规律。
21.2函数关系的表示法
2．借助于表格(或表达式)，找出x和y的若干对对应值，如(－5，328．36)，(0，331．36)，(5，334．36)，(10，337．36)，(15，340．36)，…．分别以每对值为横、纵坐标，确定出坐标系中相应的点(图21—4)．
学习重点
函数关系的三种表示方法。
学习难点
对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析。
教学准备
导学卡
教学过程设计
三个阶段
学习内容
教师
行为
期望学生行为
自主学习阶段
一、情境导入，揭示问题
用适当的方法表示函数，能够帮助我们更好地认识函数，并运用函数解决问题。
我们已经看到，用表达式、图形、表格等都可以表示两个变量之间的函数关系．现在，我们对这些表示方法作进一步的研究。
表达式：简单明确、易于深化研究。
图象表示：形象直观，便于分析变量的变化趋势。
课后反思
二、揭示课题，个体构建
自学目标：（自学课本41----42页，认真完成导学卡）
人们发现，声音在空气中传播的速度(简称音速)随气温的变化而变化．某研究者通过实验得到了这样一些关于气温x与音速y对应的数据:
x/°C－10－50 Nhomakorabea5
10
15
20
y/(m/s)
325.36
328.36
331.36
334.36
337.36
(2)从哪天起水位开始全面回落?
通过学生的探究和交流，用图像表示函数关系，并从图像中获取更多的信息．
(2)从第4天起水位开始回落．
六、课后小结
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km/h
60 30
0
4
8
12
16 20
24 时间 h
3、下图表示的是，小明放学回家途中骑车速度与时 间的关系。你能想像出他回家路上的情景吗？
速 度
0
时间
发散思维
练习：
1.柿子熟了，从树上落下来，下面的哪一幅 图可以大致刻画出柿子下落过程中的速度变 化情况？
速 度 时间 速 度 时间 速 度 时间 速 度 时间
④哪段时间内气温不断下降？ ⑤哪段时间内气温持续不变？
下面的图象反映的过程是:小明从家里出发去菜 地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x表示时 间,y表示小明离他家的距离.
距离y/千米
2 1.1 0
15 25 37 55 80
根据图象回答下列问题:
时间x/分钟
1.菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？
下面的图象反映的过程是:小明从家里出发去菜 地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x表示时 间,y表示小明离他家的距离.
距离y/千米
2 1.1 0
15 25 37 55 80
时间x/分钟
3.菜地离玉米地多远？小明从菜地走到玉米地用了多 少时间？ 从纵坐标看:菜地离玉米地0.9千米. 从横坐标看:小明从菜地用到玉米地用了12分钟.
下面的图象反映的过程是:小明从家里出发去菜 地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x表示时 间,y表示小明离他家的距离.
距离y/千米
2 1.1 0
15 25 37 55 80
时间x/分钟
4.小明给玉米地锄草用了多少时间？
从横坐标看:小明给玉米地锄草用了18分钟(即55-37)
距离y/千米
2 1.1 0
21.2.函数关系的表示法
胡各庄初中
李丽文
三种表示方法的优缺点：
关系式法： 优点：可以简明、准确、清楚的表示两个变量之间的数量关系； 缺点：求对应值时往往要通过运算，而且在实际问题中有的函数 关系不一定能用关系式表示出来。 图像法： 优点：通过图像可以直观、形象地把函数关系表示出来； 缺点：从图像观察得到的数量关系是近似的。 列表法： 优点：通过表格中已知的自变量的值，可以直接读出与之对应的 函数值； 缺点：只能列出部分对应值，难以反映全貌。
3、如图是某地一天的气温随时间变化的图像，根 据图像回答，在这一天中：
①什么时间气温最高？什么时间气 温最低？最高气温和最低气温各是 多少？
3、如图是某地一天的气温随时间变化的图像，根 据图像回答，在这一天中：
②20时的气温是多少？ ③什么时间气温为6℃？
3、如图是某地一天的气温随时间变化的图像，根 据图像回答，在这一天中：
0
①
②
0
③
0
④
1 5 25 37 55 80
时间x/分 钟
5.玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平 均速度是多少? 从纵坐标看:玉米地离小明家2千米，从横坐标 看:小明从玉米地走回家用了25分钟. 平均速度是0.08千米/分钟.
2.下图表示一辆汽车的速度随时间变化的情况：
① 汽车行驶了多长时间？ 它的最高时速是多少？ ② 汽车在哪些时间段保 持匀速行驶？时速分别 是多少？ ③ 出发后8分钟到10分钟之 间可能发生了什么情况？ ④ 用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。
从纵坐标看:菜地离小明家1.1千米.
从横坐标看:小明走到菜地用了15分钟.
下面的图象反映的过程是:小明从家里出发去菜 地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x表示时 间,y表示小明离他家的距离.
距离y/千米
2 1.1 0
15 25 37 55 80
时间x/分钟
2.小明给菜地浇水用了多少时间？ 从横坐标看:小明给菜地浇水用了10分钟(即25-15)