2.2.2函数的表示法(公开课)
2.2.2函数的表示法课件-高一上学期数学北师大版
笔记本数 x 1 钱数 y 5
2345 10 15 20 25
y
25
·
20
·
15 10
··
5·
0 12345 x
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结
函数三种表示方法的优势及不足
表示法
优势
不足
解析法
能便利地利用代数工具研究其性质
某些函数关系很难用解析法表示
列表法 不用计算即可看出两个变量之间的对应值
只能表示有限个数值间的函数关系
123 x
定义：定义域分成若干区间段，自变量 x 在不同取值区间，有不同对应关 系的函数称为分段函数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
要点辨析
1. 分段函数是一个函数，而不是几个函数；处理分段函数的问题时，首先 要明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系； 2. 分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起，在每段 对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围； 3. 分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，只能写成一个集合的 形式；值域是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集.
y
依据上述表格中的每一列的 ( x，y ) 的值可画出图象； 25
20
这就是图象法表示 y = f (x)；
15
(定义域：x∈{1，2，3，4，5} )
10
5
注：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、
0
折线、离散的点等.
· · ·· ·
12345 x
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：三种函数表示法各自有什么特点？ y = 5x，x∈{1，2，3，4，5}
函数的表示法(公开课)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
y
y
2
A
2
B
0
2
y
x
2
C
0
2x
0y 2
x
2
D
0
x
2
思索交流
x+2, (x≤－1)
5. 已知函数f (x)= x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x旳值是( D )
A. 1
B.
1或
3 2
C. 1,
3,
3 2
D. 3
怎样求函数解析式
一、【配凑法（整体代换法）】
若已知 f (g(x)) 旳体现式，欲求 f (x) 旳体现式， 可把 g(x)看成一种整体，把右边变为由 g(x) 构成 旳式子，再换元求出 f (x) 旳式子。
x
例3 、国内跨省市之间邮寄信函,每封信函旳质量和相应旳邮资如表.
信函质量 (m)/g
0<m≤20
邮资(M)/元 1.20
20<m≤40 2.40
40<m≤60 3.60
60<m≤80 4.80
80<m≤100 6.00
画出图像,并写出函数旳解析式.
解：邮资是信函质量旳函数，函数图像如图。
函数旳解析式为
7.0
9.4
10.0
11.0
y 9 x 32 5
解析法
(6)某气象站测得本地某一天旳气温变化情况如图所示：
温度
8
T （℃）
6
4
２
0
２
时间
２ ４ ６ ８1
1
1
1
1
2
2
t2
( 时
【数学】2.2.2《函数表示法》课件(北师必修1)
问题探究
3. 下表列出的是正方形面积变化情况.
边长x米 面积y 米2
1 1
1.5 2.25
2 4
2.5 6.25
3 9
当x在(0,+∞)变化时，这个函数关系你能用式子表示吗?
解析法有两个优点：一是简明、精确地概 括了变量间的关系；二是可以通过解析式 求出任意一个自变量的值所对应的函数 值．中学阶段所研究的主要是能够用解析 式表示的函数．
问题探究
4. 国内跨省市之间邮寄信函,每封 信函的质量和对应的邮资如下表:
信函质量(m)/g 0 m 2 0 邮资(M)/元
2 0 m 4 0 4 0 m 6 0 60 m 80 8 0 m 1 0 0
1.20
2.40
3.60
4.80
6.00
请画出图像,并写出函数的解析式.
10
O
v 30
质点的速度.
10
20
30
t
t+10, (0 ≤ t<5)
解 解析式为v (t)=
3t, (5 ≤ t＜10)
30, ( 10 ≤t ＜20) -3t+90,(20 ≤ t≤30)
t=9s时,v(9)=3×9=27 (cm/s)
小结： 1.函数图像可以是一些点或线段。 2.分段函数是一个函数，自变量在 不同的范围内时，函数的对应法则 不同（每段解析式不同）。
问题探究
1. 下表列出的是正方形面积变化情况.
边长x米 面积y 米2
1 1
1.5 2.25
2 4
2.5 6.25
3 9
这份表格表示的是函数关系吗?
列表法的优点：不需要计算就可以直接看 出与自变量的值相对应的函数值，简洁明 了．列表法在实际生产和生活中也有广泛 应用．如成绩表、银行的利率表等．
高中数学2-2-2《函数的表示法》课件
1.函数的表示法
列表法 图象法 解析法
用
表格
的形式表示两个变量之间函数 关系的方法 关系表示出来的方法 (简
用图象 把两个变量间的 函数 一个函数的 对应关系 称
解析式
可以用自变量的 解析表达式
)表示出来的方法
2.分段函数 在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系， 那么这样的函数通常叫做分段函数.
1 (1)y＝ ，(x>1)； x (2)y＝x2－4x＋3，x∈［1,3］ ； 1 (3)y＝x x (0<x<1) (x≥1) ；
【思路点拨】 初中阶段我们已经知道，一次函数的图象是直线，二次函 数图象是拋物线，反比例函数图象是双曲线.现在我们只要结合定义域，找 到一些关键点，便可画出函数的大致图象.
法
图 象 法 能形象直观地表示出函数的变化情况 只能近似地求出自变量的值所对
应的函数值，而且有时误差较大
2.关于分段函数 (1)分段函数虽由几部分构成，但代表的是一个函数.只不过在定义域内的不 同部分取值时，函数对应关系不同.其值域也是各段上的函数值集合的并集.
(2)求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于
m (3)可设 f(x)＝kx，g(x)＝ (k≠0，m≠0)， x m 则 φ(x)＝kx＋ . x 1 由 φ( )＝16，φ(1)＝8， 3 1 k＋3m＝16， 得 3 k＋m＝8，
k＝3， ∴ m＝5.
5 ∴φ(x)＝3x＋ . x
作函数的图象
作出下列函数的图象.
哪一段，就用哪一段的解析式. (3)作分段函数的图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时，
先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象
高一数学同步教学课件：2.2.2函数的表示法
解： 设票价为y，里程为x，则根据题意，如果某空调汽车 运行路线中设21个汽车站，那么汽车行驶的里程约为20公里 ，所以自变量x的取值范围是（0，20] 由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式：
2，
y
3， 4，
5，
0 x 5; 5 x 10; 10 x 15; 15 x 20.
以预测它的整体趋势.
第七页，编辑于星期日：二十二点 十五分。
3.解析法
一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式 （简称解析式）表示出来，这种方法称为解析法.
例如，设正方形的边长为x，面积为y，则y是x
的函数，用解析法表示为 y x2 , x (0, ).
特点：解析法表示的函数关系能较便利地通过计算等手 段研究函数性质.但是，一些实际问题很难找到它的解析式.
12： 00
16：00 20：00 24：00
温度/ （℃）
-5
4
9
8.5
3.5
-1
第四页，编辑于星期日：二十二点 十五分。
像这样，用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法
，称为列表法. 特点：列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应
关系，比较直观.但是，它只能表示有限个元素间的函数关系
10, y x 6,
1.3x,
(0 x 4) (4 x 20) (x 20)
第十七页，编辑于星期日：二十二点 十五分。
2.某种笔记本的单价是5元，买x
x 本笔1, 2, 3, 4, 5
记本需要多少元？试用函数的三种表示方法表示此函数.
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝，用解 析法可将函数y=f(x)表示为
数学北师大版必修第一册2.2.2函数的表示法课件
注意：
试一试
试一试
思考讨论（综合练习）：
这两道题的方 法叫换元法 （注意定义域）
这道题的方法 叫拼凑法
这道题 的方法 叫待定 系数法
方法点拨：
函数的图象法表示，是函数表示中非常重要的一种 表示方法，它直观、具体地反应了函数的性质，补 偿了数、式的枯燥与抽象，是“数形结合”思想方法的 主要内容之一，不仅在研究函数中经常使用，在日 常生活中用途也非常广泛。
注 意 ：①函数的三种表示法各有优势.
解析法：变量之间的关系明确，便于精确计算，但不够 直观，某些函数无法用解析式表示；
列表法：变量之间的对应关系直观、明了，不需计算， 但数据量有限；
图象法：直观地显示出变量的关系、变化规律和函数的 性质，使抽象的函数具体化，但无法进行精确运 算，如求函数定义域、求精确的函数值等。
提示：是函数关系，但没有精确的函数解析式。
函数的三种表示法： 解析法、列表法、图象法
将变量的函数关系用代数式表示，是函数表示方法的解析法； 用表格给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的列表 法；用图形给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的 图象法。
列表法 表示的列车时刻表
图象法 表示的某同学成绩变化图
第二章 函数
第2节 函数修 建，2009年全 部竣工，是当 今世界上最大 水利关键工程。
思考讨论：
如图，是我国最大的水 库 —— 三 峡 水 库 上 游 某 个地区年降雨量的统计 图，图中表示了年号与 降雨量之间的对应关系， 那么它们是不是函数关 系呢？ 能不能用精确的 解析式表示呢？
第二课时2.1函数,2.2函数的表示法
第二课时（2.1函数,2.2函数的表示法）第二课时（2.1函数,2.2函数的表示法）
教学目的：
1. 理解函数的概念，映射的概念；
2. 初步掌握函数的表示法.
教学重点难点：函数，映射的“三要素”，分段表示函
数的解析式.
教学过程：
一、复习：函数的概念，映射的概念，函数的表示法
二、例题
例1 已知函数-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).
例2下列函数中哪个与函数是同一个函数？
⑴
例3 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
①
例5某种笔记本每个5元，买 x{1,2,3,4}个笔记本的钱
数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，
定义域，值域，并画出这个函数的图像。
例6 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮
资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0x100)的信函应付邮资为（单位：分），
试写出以x为自变量的函数y的解析式，定义域，值域，
并画出这个函数的图像。
三、课堂练习：课本P51练习1，5，6； P56练习 1，2，3
四、作业习题2.1 4，5，6（3）（4）（6）。
高中数学第二章函数2.2.2函数的表示法省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
3．已知函数
f(x)
＝
x2＋1，x≤0， 2x＋1，x>0，
若
f(x) ＝ 10 ， 则
x ＝ ___－__3_或__92____.
导学号 00814239 [解析] 当 x≤0 时，由 f(x)＝10 可得 x2＋1＝10，所以 x＝－3(x＝3 舍去)；
当 x>0 时，由 f(x)＝10 可得 2x＋1＝10，所以 x＝29.故 x 的值等于－3 或92. 4．已知 f(x)是正比例函数，且过点(1,1)，则 f(x)＝___x____. 导学号 00814240
第6页
2.分段函数 (1)在函数定义域内，对于自变量x不一样取值范围，有着不一样对应法则， 这么函数通常叫____分__段__函__数． (2)分段函数定义域是各段定义域_______，并其集值域是各段值域_______．(填 “并交集集”或“并集”)
第7页
1．已知函数 f(x)由下表给出：
x －1 0 1 2
其中说法正确是( A)
A．②与③
B．②与④
C．①与③
D．①与④
[解析] 因为纵坐标表示八年来前t年产品生产总量，故②③正确．
第29页
分段函数
1．分段函数概念： 在函数定义域内，对于自变量x不一样取值区间，有着不一样对应法则函 数，叫做分段函数．分段函数表示式因其特点分成两个或两个以上不一样表示 式，所以它图像也由几部分组成，有能够是光滑曲线，有也能够是一些孤立点 或几段线段． 2．关于分段函数，我们应注意以下几点： (1)分段函数是一个函数，不能写成几个函数，求分段函数解析式时，能够 分段求解，但最终结果一定要合并；
第27页
〔跟踪练习 3〕 导学号 00814246 某工厂八年来产品累积产量 C(即前 t 年年产量之和)与时间 t(年)的函数图像如 图，下列四种说法： ①前三年中，产量增长的速度越来越快； ②前三年中，产量增长的速度越来越慢； ③第三年后，这种产品停止生产； ④第三年后，年产量保持不变．
《2.2.2函数的表示法》导学案2.doc
则可以对变量进行置换，设法构《2.2.2函数的表示法》导学案问题导学一、 求函数的解析式活动与探究1(1) 已知f(x)是一次函数，且满足3/(x+l) —2/*(x —1) =2x+17,求八x)；(2) 已知/(S+1) =x+2\[x,求/G)；(3) 已知/(尤)+孑*(—x)=工+1,求/G)的解析式.迁移与应用1. 已知八矽是二次函数，且满足/(o)=l, /(x+1) —/(X)=2x,求/G).2. (1)已知£)=2X ,打(x)；(2)已知牙G)—求/G) •求函数解析式的常见方法：(1) 若已知函数类型，可用待定系数法求解.(2) 若不清楚函数类型，比如已知f[g(x)]的解析式，求八x)的解析式，可采用配凑法和 换元法.配凑法是将f[g (x)]右端的代数式配凑成关于g(X)的形式，进而求出f(x)的解析式； 换元法是令gG)=f,然后解出x,即用r 表示x,然后代入ytg(x)]中即可求得的),从而求得产 (X).(3) 构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象，程组，通过解方程组求得函数解析式.二、 作函数的图像活动与探究2作出下列函数的图像： (1) y=—x+l, xez ；(2) y=2x 2-4.x~3, 0Wx<3.迁移与应用X %x ,0<XLxNl(2)y= \x~\~ 11+ \x—3 |.2.画出函数)=-『一2*(*>1或*<一1)的图像.一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线.作图像时一般应先确定函数的定义域，再化简解析式(有的要表示为分段函数)，再列表、描点画出图像，并在画图像的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点，分段函数的区间端点等.对于常见的一次、二次函数的图像可直接画出来.三、分段函数及其应用活动与探究3已知函麴^)=h，*〉1.(1)求[3, f(—2)的值；(2)画出的图像；⑶求产(x)的定义域和值域.迁移与应用Jx+1,1.已知弥)=]_好3, x〉l,贝妙侦(2)) = ( ).A. 0B. 1C. 2D. 32.画出下列函数的图像，并写出它们的值域：(1)分段函数求值时，一定要注意所给自变量的值所在的范围，根据范围选择相应的解析式代入求得.(2)分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图像也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段.(3)分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图像法”，其定义域是自变量x各段取值的并集，值域是各段值域的并集.当堂检测1.已知函数八I)由下表给出：-1 0 1 2f(x) 4 2 0 1则六2)的值为().A. 4B. 2C. 0D. 12./(A-)=|A-2的图像是().4.已知_f(x)满足f(2x—1)=4/,贝仃(x)的解析式为.5.某商场进了10台电脑，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系, 分别用列表法、图像法、解析法表示出来.。
高中数学第二章函数2.2.2函数的表示法(二)2.2.3映射学案(含解析)北师大版必修1
2．2 函数的表示法(二) 2．3 映射内 容 标 准学 科 素 养 1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图像．2.了解映射的概念，会判断给出的对应是否是映射．3.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题.提升数学运算 准确分类讨论 加强逻辑推理授课提示：对应学生用书第23页[基础认识]知识点一 分段函数预习教材P 32－33，思考并完成以下问题在现实生活中，常常使用表格描述两个变量之间的对应关系．比如：国内邮寄信函，每封信函的重量和对应邮资如下表：信函重量m/g 0＜m ≤2020＜m ≤4040＜m ≤6060＜m ≤8080＜m ≤100邮资M /元提示：据函数定义知M 是m 的函数，其解析式为：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.80，m ∈(0，20]1.60，m ∈(20，40]2.40，m ∈(40，60]3.20，m ∈(60，80]4.00，m ∈(80，100](2)在(1)中有几个函数？为什么？提示：一个．因为(1)中的函数虽然有5个不同的部分，但不是5个函数，只不过在定义域的不同子集内，对应关系不同而已．知识梳理 分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．知识点二 映射思考并完成以下问题在某次数学测试中，高一(1)班的60名同学都取得了较好的成绩，把该班60名同学的名字构成集合A，他们的成绩构成集合B.(1)A中的每一个元素，在B中有且只有一个元素与之对应吗？提示：是的．(2)从集合A到集合B的对应是函数吗？为什么？提示：不是．因为集合A不是数集．知识梳理设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．2．映射与函数的关系：映射是从集合A到集合B的一种对应关系，这里的集合A，B可以是数集、点集或其他集合，当A，B是数集时，此时的映射就是函数，即函数是一种特殊的映射．思考：1.“分段函数就是几个函数”，这句话正确吗？提示：不正确．分段函数是一个函数，而非几个函数，只不过是在不同的定义域的子区间上其解析式不同而已．2．已知集合A＝{x|x是中国人}，集合B＝{x|x是每个中国人的身份证号码}，对应关系f：每个中国人对应其自己的身份证号码，那么对应f：A→B是函数吗？是映射吗？提示：不是函数，而是映射．原因是集合A与B是非空的集合，但不是非空的数集．[自我检测]1．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射是()解析：A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应．答案：C2．下列图形是函数y ＝－|x |(x ∈[－2,2])的图像的是( )解析：y ＝－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，(－2≤x ＜0)－x ，(0≤x ≤2)，其图像是x 轴下方的两条线段，包括x ＝±2时的两个端点．答案：B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x ＞0)，π(x ＝0)，0(x ＜0)，则f (f (－2))＝________.解析：∵f (－2)＝0，∴f (f (－2))＝f (0)＝π. 答案：π授课提示：对应学生用书第23页 探究一 分段函数求值[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＜0，x 2，0≤x ＜2，12x ，x ≥2，(1)求f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12的值； (2)若f (x )＝2，求x 的值．[思路点拨] (1)由内到外，先求f ⎝⎛⎭⎫－12，再求f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12，最后求f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12； (2)分别令x ＋2＝2，x 2＝2，12x ＝2，分段验证求x .[解析] (1)f ⎝⎛⎭⎫－12＝⎝⎛⎭⎫－12＋2＝32， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫32＝⎝⎛⎭⎫322＝94， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫94＝12×94＝98.(2)当f (x )＝x ＋2＝2时，x ＝0，不符合x ＜0；当f (x )＝x 2＝2时，x ＝±2，其中x ＝2符合0≤x ＜2；当f (x )＝12x ＝2时，x ＝4，符合x ≥2.综上，x 的值是2或4.延伸探究 在题设条件不变的情况下，若f (x )＞3，求x 的取值范围． 解析：当x ＜0时，f (x )＝x ＋2＞3，得x ＞1，显然无解． 当0≤x ＜2时，f (x )＝x 2x ＞3或x ＜－3， ∴3＜xx ≥2时，f (x )＝12x ＞3，得x ＞6.综上，x 的取值范围是(3，2)∪(6，＋∞)． 方法技巧 1.求分段函数函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 跟踪探究 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，2x －1，x ≥2.求f (－5)，f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－52的值． 解析：由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－23， ∵f ⎝⎛⎭⎫－52＝－52＋1＝－32，而－2＜－32＜2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝⎝⎛⎭⎫－322＋2×⎝⎛⎭⎫－32＝94－3＝－34. 探究二 分段函数的图像[例2] 如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B (起点)向A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y .试求：(1)y 与x 之间的函数关系式； (2)画出y ＝f (x )的图像．[思路点拨] 当点P 在线段BC 上时△APB 的面积随点P 的变化而变化；当点P 在线段CD 上时，△APB 的面积是一个定值；当点P 在线段AD 上时，△APB 的面积随点P 的变化而变化，可见应分三段考虑面积计算．[解析] (1)①当点P 在线段BC 上运动时， S △APB ＝12×4x ＝2x (0≤x ≤4)；②当点P 在线段CD 上运动时， S △APB ＝12×4×4＝8(4＜x ≤8)；③当点P 在线段AD 上运动时，S △APB ＝12×4×(12－x )＝24－2x (8＜x ≤12)．∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，(0≤x ≤4)，8，(4＜x ≤8)，24－2x ，(8＜x ≤12).(2)画出y ＝f (x )的图像，如图所示：方法技巧 1.由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，所以它的图像也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．2．对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图像．跟踪探究 ，并写出它们的值域： (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜x ＜1，2x ，x ≥1；(2)y ＝|x ＋1|＋|x －3|.解析：(1)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜x ＜1，2x ，x ≥1的图像如图①，观察图像，得函数的值域为(1，＋∞)．(2)将原函数式中的绝对值符号去掉， 化为分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1＜x ≤3，2x －2，x ＞3，它的图像如图②.观察图像，得函数的值域为[4，＋∞)．探究三 映射[例3] 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－1,2}．则从A 到B 可以建立多少个不同的映射？ [解析] 从A 到B 可以建立8个映射，如下图所示．延伸探究 1.(改变问法)本例条件不变，则从B 到A 的映射有多少个？ 解析：从B 到A 可以建立9个映射，如图所示．2．(增加条件)本例若增加条件：f (a )＋f (b )＋f (c )＝A 到B 的映射有多少个？解析：欲使f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，需a ，b ，c 中有两个元素对应－1，一个元素对应2，共可建立3个映射．3．(变换条件)本例条件变为设A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－1,0,1}，若从A 到B 的映射f 满足：f (a )＋f (b )＝f (c )，求这样的映射f 的个数．解析：要确定映射f ，只需确定A 中的每个元素对应的像即可，即确定f (a )，f (b )，f (c )的值，由题可知f (a )，f (b )，f (c )∈{－1,0,1}，且满足f (a )＋f (b )＝f (c )，列表由上表可知，所求的映射有7个． 方法技巧 判断是否为映射的几大要点：(1)集合A ，B 的元素是任意的，没有任何限制；(2)映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往是不一样的；(3)映射要求对集合A 中的每一个元素在集合B 中都有元素与之对应，而且这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A 中元素的任意性和集合B 中与其对应的元素的唯一性就构成了映射的核心；(4)映射允许集合B 中存在元素在A 中没有元素与其对应；(5)映射是特殊的对应，即“多对一”或“一对一”的对应，而对应不一定是映射，其中“一对多”的对应不是映射．跟踪探究 ，哪些是从集合A 到集合B 的映射？ (1)A ＝B ＝N ＋，对应关系f ：x →y ＝|x －3|；(2)A ＝R ，B ＝{0,1}，对应关系f ：x →y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥00，x ＜0；(3)设A ＝{矩形}，B ＝{实数}，对应关系f ：矩形的面积．解析：(1)集合A 中的3，在f 作用下得0，但0∉B ，即3在集合B 中没有相对应的元素，所以不是映射．(2)对于集合A 中任意一个非负数都唯一对应元素1，对于集合A 中任意一个负数都唯一对应元素0，所以是映射．(3)对于每一个矩形，它的面积是唯一确定的，所以f 是从集合A 到集合B 的映射.授课提示：对应学生用书第25页[课后小结]1．对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数；分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．2．函数与映射的关系映射f ：A →B ，其中A ，B 是两个非空集合；而函数y ＝f (x )，x ∈A ，A 为非空实数集，其值域也是数集，于是函数是数集到数集的映射．由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．[素养培优]分段函数容易在分类讨论中出错 易错案例：某质点30 s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图像如图．用解析式法表示出这个函数，并求出9 s 时质点的速度．易错分析：解决这类问题的关键是根据自变量的取值情况决定其对应的运算关系，即保持自变量的取值范围与对应关系的一致性，一般需分类讨论求解、考查逻辑推理、分类讨论的学科素养．自我纠正：整体看表达式不能用一个式子写出，但可以分段求得．v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋t ，t ∈[0，5)，3t ，t ∈[5，10)，30，t ∈[10，20)，－3t ＋90，t ∈[20，30).当t＝9时，v(9)＝3×9＝27 cm/s.。
2.2 函数的表示法教学方案 (2)
2.2 函数的表示法
教学目标
1．掌握函数的三种表示法，即解析法、列表法和图象法；
2．会根据实际问题中的条件列出函数解析式；
3．通过本节的教学，进一步向学生渗透事物间是普遍联系和相互转化的辨证唯物主义观点；4．通过本节的教学，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力，即数学地发现问题、提出问题和解决问题的能力.
教学重点和难点
重点：函数的三种表示方法.
难点：函数三种表示法的应用.
让两个学生到黑板上板书.学生思考、倾听、理解。
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探索新知：函数的表示法
1.列表法
时刻 0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 20：00 24：00
温度/(℃) -2
-5
4
9
8.5
3.5
-1
2.图像法
3.解析法
y=x2, x∈(0,+∞)
探索活动1：自主学习课本28页—29页 的内容，完成下表：
函数的表 示法
祝大家心情愉快！ 再见！
信函质量(m)/g 0 m 20 20 m 40 40 m 60 60 m 80 80 m 100
邮资(M)/元 1.20 2.40 3.60 4.80 6.00
请画出图像,并写出函数的解析式.
邮资是信函质量的函数, 其图像
如下:
M/元
6.0
。
4.8
。
2.4
。
。 1.6
。
0.8
O 20 40 60 80 100 m/g
来
简明；给自变 量可求函数值
一些实际问题 很难找到它的
解析式
应用
某种笔记本的单价是5元，买
x(x {1,2,3,4,5})本笔记本需要y元。
试用函数的三种表示法表示函数y=f(x) .
解：这个函数的定义域是数集
{1,2,3,4,5}. 用解析法可将函数y=f(x)表示为
y 5x, x {1,2,3,4,5}
用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记 本数x
1
2
3
45
钱数y 5 10 15 20 25
用图象法可将y=f(x)表示为下图：
y 25 20 15 10 5
0
1234 5
x
例例32、画出函数y x的图像。
解： y
x
x , x 0 x ,x 0
y
1
01
x
问题探究
3.国内跨省市之间邮寄信函,每封 信函的质量和对应的邮资如下表:
列表法
图像法
解析法
定 优点 缺点
用表格的形式表示 两个变量之间函数
关系的方法
不需要计算就可 以直接看出与自 变量的值所对应
的函数值
用图像把两个 变量间的对应 关系表示出来
在方法
直观形象，反 映变化趋势
只能表示有限个 元素间在函数关
系
只能近似求自变 量的值对应的函 数值，误差较大
把两个变量之 间的关系用一 个等式表示出
2. 分段函数的定义域是各个部分定 义域的并集，值域也是各个部分值 域的并集。
2x+3, x＜－1,
2. 已知函数f (x)= x2, －1≤x＜1,
x－1, x≥1 .
（1）求f(-2) （2）求f[f(－2)] ;
（3） 当f (x)=－7时,求x ;
谈谈你本节课有什么收获
四、课后作业
P31练习第1题
解：函数解析式为
1.2,
2.40,
M=
3.60,
4.80,
6.00,
0<m ≤ 20 20<m ≤ 40 40<m ≤ 60 60<m ≤ 80 80<m ≤ 100
这种在定义域的不同部分，有不同的对应法则 的函数称为分段函数。
注意
这种在定义域的不同部分，有不同的对应法则
的函数称为分段函数。
1. 分段函数是一个函数,不要把 它误认为是“几个函数”;