函数的表示法(2)
函数的表示法 第二课时
• 作业：P25
3
f
3 32 13 － ＝1＋－ ＝ .所以 4 2 2
f
1 13 f ＝ . 4 2
(2)若 x≥0，由 x＋1＝2，得 x＝1； 1 1 1 若 x<0，由 ＝2，得 x＝± ，由于 >0，舍 x＝ |x| 2 2 1 1 ，所以 x＝－ . 2 2 1 故 x＝1 或－ . 2
误区解密
因忽视分段函数自变量的范围而出错
x2－1 f(x)＝ 2x＋1
【例 4】 已知函数 若 f(x)＝3，求 x 的值．
x≥0 ， x<0
错解：由x2－1＝3得x＝±2； 由2x＋1＝3，得x＝1，故x的值为2，－2或1. 错因分析：本题是一个分段函数问题，在解决 此类问题时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义 域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函 数，而是一个函数，求值时不能忽视x的取值范围．
－x－x 当－2<x<0 时，f(x)＝1＋ ＝1－x， 2
1 ∴f(x)＝ 1－x
0≤x≤2 . －2<x<0
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
点评：1.对含有绝对值的函数，要作出其图象， 首先应根据绝对值的意义脱去绝对值符号，将函数 转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 2．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式 不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点 的实虚之分．
高一数学函数的表示法2(2019年新版)
以自娱 布与刘贾入九江 ”孝文曰：“朕能任衣冠 叹曰：“堂堂 畔约 不胜 ”曰：“贤者也 是为懿公 告故不伤婴 以为常 自天子至於庶人 晋中军随会奔秦 人言曰‘绝成皋之口 如用我 复合从 复振 未贵 ”高祖曰：“吾极知其左迁 自讬於无为 虽布衣穷处之士或首恶而危海内 人侵之 於是
百姓悲痛相思 无礼 而文武不以其故贬王；为胶西郡 衡山王以此恚 湢测泌瀄 默然 秦围邯郸 申李下狱 事两越 同好相留 是以所如者不合 齐孟尝君父田婴欺楚 今子兄弟二十馀人 非所以厉士民彰君声也 方今唯秦雄天下 著十二本纪 奋其私智而不师古 对曰：“有贤者 出击匈奴无大功 其地
生 用太宰嚭计 平公卒 诗云“匪兕匪虎 决通川防 不妨百姓 而前将军广、右将军食其军别从东道 齐人败吴 其次驺衍 杀其将军 天子贺 姓琇氏 惠后生叔带 居家室忧 言於秦昭王曰：“客新有从山东来者曰蔡泽 力田畜 以尝使大夏 功实天赞 主地 会韩人郑国来间秦 单于有太子名冒顿 且
为天子道天神也 盖天下始畔秦也 驩欣奉教 必入於郢矣 引入 亡走 薄太后崩 乘虚无 廉颇曰：“我为赵将 国重而名尊 齐人遂夷杀其将骑劫 乃出李园女弟 子兰立 使备盗贼 化为蟲 君其行之；”吕公曰：“此非兒女子所知也 原罢西南夷、沧海而专奉朔方 与韩攻周 哀怜百姓以自忘 臣节可
宋水 视膳於堂下 庄襄王即位三年 子昌立 蒲伏 子以为何如 庄蒙栩栩 曰：“今如此不取 尽服从北夷 在强葆之中 而外累於远方之备 松柏苍苍 ”乃使固入圈刺豕 卒有田常、六卿之患 汉王从临晋渡 秦轻之 竟与大军合 ” 问君子 阎乐归报赵高 燕日败亡 於是燕昭王问伐齐之事 且夫秦之
攻燕也 犀首入相秦 上暴露於外而君守於中 赵封乐乘为武襄君 天下富实 人皆谓之狂生 及期 秦欲伐齐 是时 重耳甚卑 诸城未下者 作司马相如列传第五十七 过赵 忠臣进谏 陷彼两贤 乱昆鸡 楚往迎妇 ”於是公子泣 外畏齐、楚兵 此所谓得埶而益彰者乎 遂以亡天下 曰：‘谁为此计者乎
函数的表示法 教案 (2)
3.1.2 函数的表示方法教学设计教 学 过 程知 识 师生活动设计意图一、小测检验（检测上节课所学内容）题目:画出下列函数.54;22--=-=x x y x y 二、新授课 （一）创设情景，启发思考 活动一 教材例题 表3.1-4是某校高一 （1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 表3.1-4 姓名 测试序号 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 王伟 98 87 91 92 88 95张城 90 76 88 75 86 80赵磊 68 65 73 72 75 82班级平均分 8 .278.3 85.4 80.3 75.7 82.6请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析.思考：可以用什么函数表示方法分析问题？解：从表3.1-4中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将每位同学的 “成绩”与 “测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为６个离散的点）表示出来，如图3.1-6，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.从图3.1-6可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级教师展示题目，学生作答。
教师组织，学生思考。
学生口述，教师总结评价。
回忆上节课所学知识点。
建立联系。
通过具体例题，巩固函数表示方法的特征。
加深理解并巩固函数表示法特征。
（2）小王全年综合所得收入额为189６00元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8％，2％， 1％，9％，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是45６0元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？分析：根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额：第一步，根据②计算出应纳税所得额t ；第二步，由t 的值并根据表3.1-5得出相应的税率与速算扣除数；第三步，根据①计算出个税税额y 的值. 由于不同应纳税所得额t 对应不同的税率与速算扣除数，所以y 是t 的分段函数.解：（1）根据表3.1-5，可得函数y ＝f （t ）的解析式为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<-≤<-≤<-≤<-≤≤=.960000,18192045.0,960000660000,8592035.0,660000420000,529203.0,420000300000,3192025.0,300000144000,169202.0,14400036000,25201.0,360000,03.0t t t t t t t t t t t t t t y 函数图象如图3.1-7所示.教师引导并口述思路，学生自主作答。
函数2
7
如何书写呢？
函数的关系式是等式.
那么函数解析式的书写有没有要求呢？
通常等式的右边是含有自变量的代数 式,左边的一个字母表示函数.
根据所给的条件,写出y与x的函数关系式：
矩形的周长是18cm,它的长是y cm,宽是x cm.
8
1.下列各式中，ｘ是自变量，请判断ｙ是不是ｘ的
函数？若是，求出自变量的取值范围。
（1）y=2x+4 1 y （ 3） x 2
（2）y=－2x2
（ 4） y
x 3
如果当x=a时， y=b，那么b叫做 当自变量的值为a 时的函数值
解：（1）当x=3时，y=2x+4=2×3+4=10 （2）当x=3时，y=－2x2=－2×32=－18 （3）当x=3时， y
1 1 1 x 2 32
小露牛角
• 完成P26，练习1
当堂检测
1、 求下列函数中自变量x的取值范围 (1)y= (2)
(3)y =-
1、（凉山·中考）函数 是（ ）
的自变量x的取值范围
A.x≥﹣2且x≠2
C.x≠±2
B.x＞﹣2且x≠2
D.全体实数
x 2 0 【解析】 选B.由题意知， 2 解得 x 4 0
由于池中共有300 m3每时排25 m3全部排完 只需300÷25=12（h），故自变量T的取值范 围是0≤t≤12
（3）开始排水后的第5h末，游泳池中还有多 少水？ 当t=5，代入上式得Q=-5×25+300=175（m3）， 即第5h末池中还有水175 m3
（4）当游泳池中还剩150 m3已经排水多少时？ 当Q=150时，由150=-25 t +300，得t =6， 即第6 h末池中有水150m3
2007-9-13 函数的表示法(2)
四、小结
1、分段函数
2、求解析式
3、映射的概念
1 2 2 2 3 2 1
A B
求平方
3 －3 2 －2 1 －1
9 4 1
A B
开平方
9 4 1
3 －3 2 －2 1 －1
A B
乘以 2
1 2
3
1 2 3 4 5 6
例7 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射? (1)集合A=｛P|P是数轴上的点｝，集合B=R，对应关系f： 数轴上的点与它所代表的实数对应； (2)集合A＝｛P|P是平面直角坐标系中的点｝，集合B ＝ ( x, y) | x R , y R ，对应关系f：平面直角坐标系 中的点与它的坐标对应； (3)集合A＝｛x|x是三角形｝，集合B＝｛x|x是圆｝，对 应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆； (4)集合A＝｛x|x是新华中学的班级｝，集合B＝｛x|x是 新华中学的学生｝，对应关系f：每一个班级都对应班里 的学生；
问题 函数概念与映射概念之间有怎样的关系？有什么异同？
函数是从非空数集A到非空数集B的映射。映射 是从集合A到集合B的一种对应关系，这里的集 合A、B可以是数集，也可以是其他集合。函数 是一种特殊的映射。
问题 如何判断一个对应关系是不是映射？
A B
求正弦
30 45 60 90
0 0 0 0
一、复习回顾Байду номын сангаас
（1）函数的三种表示方法：
解析法、图象法、列表法
（2）用描点法画函数图象的步骤：
列表、描点、连线 （视其定义域决定是否连线）
（3）有些函数在它的定义域中，对于自变量的
不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称 为分段函数。分段函数是一个函数！
函数的表示方法(2)
y {72.4( x3), x3
例２，例３中这样 的函数通常叫做分段函数
分层训练
必做题 p32 3, 5, 6, 7, 8
选做题
p32
9, 10, 11,
• 思考题
已知一个函数的解析式为 ，它的 值域为［１，４］，这样的函数有多少个？试写出 其中两个函数
yx
2
作业
• 课本p93 4, 6
学习目标
• 理解分段函数的含义 • 会选择适当的方法表示函数
自学指导
• 什么是分段函数
自学检测
• 课本p32 12
• 例３ 某市出租汽车收费标准如下：在３km以内（含 ３km ）路程按起步价７元收费，超过３km 以外的 路程按2.4元／km 收肥．试写出收费额关于路程的函 数解析式． 解 设路程为xkm 时，收费额为y元，则由题意得：当x≤ ３时，y＝７；当x＞３时，按2.4元／km所收费用为 2.4×（x-3）, 那么有 y=7+2.4 ×（x-3）. 7,0 x3 于是，收费额关程的函数解析式为
函数的概念及其表示法(2)
一、新课教学（一）函数的有关概念 1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作：y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．注意：○1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 2． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定 ○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． ○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
○2 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ （1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1（2）f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x（3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x（三）课堂练习求下列函数的定义域（1）|x |x 1)x (f -=（2）x111)x (f +=（3）5x 4x )x (f 2+--=（4）1x x 4)x (f 2--= （5）10x 6x )x (f 2+-= （6）13x x 1)x (f -++-=1. 理解函数的三种不同的表示方法：列表法，图象法和解析法，并体会它们的优缺点；2. 会求函数的解析式，掌握求函数解析式的基本方法：配凑法，换元法，待定系数法，解方程组法，赋值法等；3．会用描点作图法画基本初等函数的图象. 1. 复习回顾（1）已知π=)(x f ，则)(2x f =_______；（2）函数34)(2-+=x x x f ，则)1(+x f =_______________； 2. 阅读课本，完成下列题目（1）解析法：就是用____________表示两个变量之间的对应关系，这个数学表达式就叫做____________.（2）图象法：就是用_______表示两个变量之间的对应关系。
函数的表示方法第1课时 (2)
（2） 函数图象既可以是连续的曲线，也可 以是直线、折线、离散的点等等。
练习: 国内跨省市之间邮寄信函,每封信 函的质量和对应的邮资如表.
信函质 0<m≤ 20<m≤ 40<m≤ 60<m≤ 80<m≤1 量 20 40 60 80 00 (m)/g
邮资 (M)/分 80 160 240 320 400
t∈[0,5)
30 0 5 10 15 20 25 30
v/(cm/s)
t/s
3t , t∈[5,10) 30 v(t ) t∈[10,20) 25 30, 3t 90, t∈[20,30]. 20
15
思考:某质点在30s内运动速度v是时间t的函数,它的图 像如图,用解析法表示出这个函数,并求出9s时质点的 v/(cm/s) 速度. t∈[0,5) 10 t ,
2, 3, y 4, 5,
0 < x 5, 5 < x 10,
y 5
10 < x 15, 3 15 < x 20, 2
1
0 5 10 15 20 X
4
我们把上述两例中的函数叫做分段函数: 即分区间定义的函数. 分段函数的图象要分段作出!
注意: （1）有时表示函数的式子可以不止一个， 对于分几个式子表示的函数，不是几个函数， 而是一个函数,我们把它称为分段函数.
例一、 下列对应是不是A到B的映射？ 1 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9} ，f:乘 2加1 2 A=N+，B={0,1} ，f: x 除以2得的余数 3 A=R+，B=R，f:求平方根 ss 4 A={x|0≤ x<1}，B={y|y≥1} f:取倒数
函数表示法(2)
以下映射是A到B的映射吗？
f:A B
1 1 2 3 4 5
f:A
1 2 3 4
B
1 2 3 4
f:A
-1
1 -2 2 -3
B
f:A
B
-1
2
3
1 4 9
1 4
1
-2
2 -3 3
9
6
乘以2 自对应
3
平方
开平方
概念理解
1.“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B 到A的映射往往不是同一个映射。 ②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素， 集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性； ③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集 合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯 一性； ④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集 合B中，这是映射的封闭性.
函数表示法（二）
一、分段函数
例 1： 作 下 列 函 数 的 图 像 (1) f ( x ) | x 4 x 3 | ( 2 ) f ( x ) m a x { 2 x , x}
2 2
x 2, x 1 2 例 2： 已 知 函 数 f (x) x , 1 x 2 , 2 x, x 2
象与原象
给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A， b∈B，如果a元素与元素b对应，那么，我们 把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的 原象。
映射概念
例1:下列从集合A到集合B的对应中是映射的是
(A)
A B
* ，对应法则 f: N
x y | x 3 |
(B)A=R,B={0,1},对应法则f: (C)A=B=R,对应法则f: (D)A=Z,B=Q,对应法则f:
人教版高中数学必修一1.2.2函数的表示法 (2)ppt课件
例 某种笔记本的单价是5元，买x 试用函数不同表示法表示函数
x个笔记本需要元。 1,2,3,4,5
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝用解析法可将函 数y=f(x)表示为
y 5x, x 1,2,3,4,5
解：这个函数的定义域集合是{x|0<x≤100} ，函数的解析式为
80, x (0,20], 160, x ( 20,40], y 240, x ( 40,60], 320, x (60,80], 400, x (80,100].
y
400 320
这就是分段函数
函数的三种表示法的缺点：
1、解析法的缺点：有些问题有时很难用表达式来表示。 2、图象法的缺点：图像及相对应的点的坐标往往不准确。
3、列表法的缺点：有时应用有一定的局限性。
将三者合理的结合在一起，是我们学习的
主要内容。
例题讲解
1、设集合M={x|0≤x≤2}，集合N={y|0≤y≤2}，给出下列四个 图像，其中能表示集合M到N的函数关系的有 .
第一次 王 伟 张 城 赵 磊 班平均分 98 90 68 88．2 第二次 87 76 65 78．3 第三次 91 88 73 85．4 第四次 92 75 72 80．3 第五次 88 86 75 75．7 第六次 95 80 82 82．6
注意
1.本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究 成绩的变化特点； 2.本例能否用解析法？为什么？
作出下列函数的图像 （1）y=|x+2|-|x-5| (2) y=|x-5|+|x+3|
函数的表示法2：分段函数
分段函数Q 情景引入ing jing yin ru某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有六张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让6位观众每人从他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号，牌号数是这样规定的，A 为1，J 为11，Q 为12，K 为13，其余的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按如下的方法进行计算，将自己的牌号乘2加3后乘5，再减去25，把计算结果告诉表演者(要求数值绝对准确)，表演者便能立即准确地猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？分段函数所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．[知识点拨] 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．预习自测1．函数y ＝|x |的图象是( B )[解析] 因为y ＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，所以B 选项正确．2．y ＝f (x )的图象如图所示，则函数的定义域是( D )A ．[－5,6)B ．[－5,0]∪[2,6]C ．[－5,0)∪[2,6)D ．[－5,0]∪[2,6)[解析] 根据分段函数定义域的确定原则：将每一段上函数的自变量的范围取并集，即：[－5,0]∪[2,6)．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( B )A ．1B ．0C ．－1D ．π[解析] 由题设，g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ＞0，3，x ＝0，2x ＋3，x ＜0，求f (f (12))的值.[解析] f (12)＝12×2－3＝－2，f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1， ∴f (f (12))＝f (－2)＝－1.命题方向1 ⇨分段函数的求值问题 典例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2.(1)求f (－4)，f (3)，f [f (－2)]； (2)若f (a )＝10，求a 的值.[思路分析] 分段函数的解析式⇒求函数值或已知函数值列方程求字母的值． [解析] (1)f (－4)＝－4＋2＝－2， f (3)＝2×3＝6，f (－2)＝－2＋2＝0， f [f (－2)]＝f (0)＝02＝0.(2)当a ≤－1时，a ＋2＝10，可得a ＝8，不符合题意； 当－1<a <2时，a 2＝10，可得a ＝±10，不符合题意； 当a ≥2时，2a ＝10，可得a ＝5，符合题意； 综上可知，a ＝5.『规律方法』 求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 当出现f [f (x 0)]的形式时，应从内到外依次求值． 〔跟踪练习1〕已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >10，f [f (x ＋5)]，x ≤10，则f (5)的值是( A )A ．24B ．21C ．18D ．16[解析] f (5)＝f [f (10)]，f (10)＝f [f (15)]＝f (18)＝21，f (5)＝f (21)＝24. 命题方向2 ⇨分段函数与不等式的应用 典例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2<x <4，3x ，x ≥4，若f (a )<－3，则a 的取值范是__(－∞，－3)__.[思路分析]解不等式f (a )<－3需先求f (a )的值―→讨论a 落在分段函数的哪一段上―→解得a 的取值范围[解析] 当a ≤－2时，f (a )＝a <－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)； 当－2<a <4时，f (a )＝a ＋1<－3，此时不等式无解； 当a ≥4时，f (a )＝3a <－3，此时不等式无解． 所以a 的取值范围是(－∞，－3)．『规律方法』 解决分段函数与不等式的问题，应分段利用函数解析式求得自变量的取值范围，最后再将每段中求得的范围取并集，即可得到所求自变量的取值集合．〔跟踪练习2〕已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x <0，1，x ≥0，则不等式xf (x －1)≤1的解集为( A )A ．[－1,1]B ．[－1,2]C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)[解析] 当x －1<0，即x <1时，f (x －1)＝－1， ∴xf (x －1)＝－x ≤1，∴x ≥－1， ∴－1≤x <1.当x －1≥0，即x ≥1时， f (x －1)＝1，∴xf (x －1)＝x ≤1， 又∵x ≥1，∴x ＝1.综上可知，－1≤x ≤1，故选A ． 命题方向3 ⇨分段函数的图象及应用 典例3 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2).(1)用分段函数的形式表示函数f (x )；(2)画出函数f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．[思路分析] 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象．[解析] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1；当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．『规律方法』 1．由分段函数的图象确定函数解析式的步骤(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型． (2)设函数式：设出函数的解析式．(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析． (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围． 2．作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点．〔跟踪练习3〕已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x <1，x 2－2x ，x ≥1.(1)画出函数的图象； (2)若f (x )＝1，求x 的值． [解析] (1)函数图象如图所示．(2)由f (x )＝1和函数图象综合判断可知，当x ∈(－∞，1)时，得f (x )＝－2x ＋1＝1，解得x ＝0；当x ∈[1，＋∞)时，得f (x )＝x 2－2x ＝1，解得x ＝1＋2或x ＝1－2(舍去)． 综上可知x 的值为0或1＋2 分段函数概念的理解错误.典例4 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(x ≥0)x (x <0)的定义域.[错解] ∵x ≥0时，f (x )＝x 2－1，x <0时，f (x )＝x ， ∴当x ≥0时，f (x )的定义域为[0，＋∞)， 当x <0时，f (x )的定义域为(－∞，0)．[错因分析] 错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(x ≤0)x (x <0)是两个函数．[正解] 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪[0，＋∞)，即(－∞，＋∞)，∴函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)．建模应用能力数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．典例5 如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿折线BCDA 由点B (起点)向点A (终点)运动，设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )； (2)画出y ＝f (x )的图象；(3)若△APB 的面积不小于2，求x 的取值范围． [思路分析] (1)点P 位置不同△ABP 的形状一样吗？ (2)注意该函数的定义域．[解析] (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (0≤x ≤4)8 (4<x ≤8)2(12－x ) (8<x ≤12).(2)y ＝f (x )的图象如图所示．(3)即f (x )≥2，当0≤x ≤4时，2x ≥2，∴x ≥1，当8<x ≤12时，2(12－x )≥2， ∴x ≤11，∴x 的取值范围是1≤x ≤11.[点评] (3)可以作直线y ＝2与函数y ＝f (x )的图象交于点A (1,2)，B (11,2)，要使y ≥2，应有1≤x ≤11.『规律方法』 利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)首要条件：把文字语言转换为数学语言． (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型．(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．1．已知函数已知f (1)＝0，且对任意n ∈N *，都有f (n ＋1)＝f (n )＋3，则f (3)＝( C ) A ．0 B ．3 C ．6D ．9[解析] f (3)＝f (2)＋3＝f (1)＋6＝6.2．在下列的四个图象中，是函数f (x )＝x|x |的图象的是( C )3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，(x ≤－1)x 2，(－1＜x ＜2)2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值为( D )A ．1B ．1或 3C ．32D ． 34．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1(x ≥0)|x |(x <0)，且f (x 0)＝3，则实数x 0＝__－3或1__.[解析] 当x 0≥0时，f (x 0)＝2x 0＋1＝3， ∴x 0＝1；当x 0<0时，f (x 0)＝|x 0|＝3， ∴x 0＝±3， 又∵x 0<0， ∴x 0＝－3.一、选择题1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≥0)1(x <0)，则f [f (－1)]＝( A )A ．3B ．1C ．0D ．－1[解析] ∵x <0时，f (x )＝1， ∴f (－1)＝1，∴f [f (－1)]＝f (1)， 又∵x ≥0时，f (x )＝x ＋2， ∴f (1)＝1＋2＝3.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2(x ≤1)x 2＋x －2(x >1)，则f [1f (2)]的值为( A )A ．1516B ．－2716C ．89D ．18[解析] ∵x >1时，f (x )＝x 2＋x －2， ∴f (2)＝22＋2－2＝4， ∴1f (2)＝14∴f [1f (2)]＝f (14)，又∵x ≤1时，f (x )＝1－x 2， ∴f (14)＝1－(14)2＝1－116＝1516，故选A ．3．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km 价为1.8元(不足1 km 按1 km 计价)，则乘坐出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为下列图中的( B )[解析] 由已知得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5(0<x ≤3)5＋[x －3]×1.8(x >3).故选B ．4．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x >0)0(x ＝0)－1(x <0)，则( D )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x[解析] 当x >0时，|x |＝x ，sgn x ＝1，则|x |＝x sgn x ；当x <0时，|x |＝－x ，sgn x ＝－1，则|x |＝x sgn x ；当x ＝0时，|x |＝x ＝0，sgn x ＝0，则|x |＝x sgn x ，故选D ．5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0，x ，x ＜0，φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x 2，x ＜0，则当x ＜0时，f [φ(x )]( B )A ．－xB ．－x 2C ．xD ．x 2[解析] x ＜0时，φ(x )＝－x 2＜0，∴f (φ(x ))＝－x 2.6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则四个图形中较符合该学生走法的是( D )[解析] ∵纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，∴当t ＝0时，纵坐标表示家到学校的距离，不能为零，故排除A ，C ；又由于一开始是跑步，后来是走完余下的路，∴刚开始图象下降的较快，后来下降的较慢，故选D ．二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[－1，1]，x ，x ∉[－1，1]，若f (f (x ))＝2，则x 的取值范围是__{2}∪[－1,1]__.[解析] 设f (x )＝t ，∴f (t )＝2，当t ∈[－1,1]时，满足f (t )＝2，此时－1≤f (x )≤1，无解，当t ＝2时，满足f (t )＝2，此时f (x )＝2即－1≤x ≤1或x ＝2.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x ＜0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__{x |x ≤1}__.[解析] 当x ≥0时，f (x )＝1，由xf (x )＋x ≤2，知x ≤1，∴0≤x ≤1； 当x ＜0时，f (x )＝0，∴x ＜0. 综上，不等式的解集为{x |x ≤1}． 三、解答题9．若方程x 2－4|x |＋5＝m 有4个互不相等的实数根，求m 的取值范围.[解析] 令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5，x ≥0，x 2＋4x ＋5，x <0.作其图象，如图所示由图可知1<m <5.10．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左向右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左侧部分的面积y 关于x 的函数解析式.[解析] 如图所示，过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为四边形ABCD 是等腰梯形， 底角为45°，AB ＝22cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. 当点F 在BG 上时，即x ∈(0,2]时，y ＝12x 2；当点F 在GH 上时，即x ∈(2,5]时， y ＝12×2×2＋2(x －2)＝2x －2； 当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综上，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，x ∈(0，2]，2x －2，x ∈(2，5]，－12(x －7)2＋10，x ∈(5，7].。
人教版高中数学必修第一册函数的表示方法教案(二)
函数的表示方法(二)三维目标 一、知识与技能1.了解实际背景的图象与数学情境下的图象是相通的.2.了解图象可以是散点.3.图象是数形结合的基础.4.了解映射的概念及表示方法. 二、过程与方法1.自主学习，了解作图的基本要求.2.探究与活动，明白作图是由点到线，由局部到全体的运动变化过程.3.会判断一个对应是不是映射.4.重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；通过教师指导发现知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力.三、情感态度与价值观1.培养辩证地看待事物的观念和数形结合的思想.2.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式.3.激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.教学重点 函数的作图. 教学难点如何选点作图，映射的概念. 教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的材料. 教学过程一、创设情景，引入新课师：日常生活中我们见过许多曲线图象.让我们一起来看一看〔多媒体投影〕： 〔图象1〕股市走势图. 〔图象2〕产生的震动波曲线. 〔图象3〕医用心电图的波线.师：初中我们已研究过直线、反比例及二次函数的图象，请大家作出y =2x －1，y ＝x1，y ＝x 2的图象.〔学生在下面自己作图，老师巡视〕我们可以发现这些线的图象都有一个共同的特点，就是由满足一定条件的点构成的，具体地说就是x 作为横坐标，y 作为纵坐标描成的点，所有的点即构成该曲线的图象.二、讲解新课一般而言，如何作出y ＝f 〔x 〕的图象呢？我们将自变量的一个值x 0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点〔x 0，f 〔x 0〕〕，自变量取遍函数定义域A 的每个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合〔点集〕为｛〔x ，y 〕|y =f 〔x 〕，x ∈A ｝，这些点组成的曲线就是函数y ＝f 〔x 〕的图象.可从以下几个方面加深对函数图象的理解：画函数的图象，不仅要依据函数的解析式，而且还必须考虑它的定义域.两个用不同的解析式表示的函数，只有在对应关系相同、定义域相同的条件下，才能是相同的函数，才能有相同的图象.由函数的图象的定义知道，点的集合｛〔x ，y 〕|y =f 〔x 〕，x ∈A ｝是函数的图象，因此从理论上讲，用列表描点法总能作出函数的图象，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图象的特点，如二次函数的图象是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图象的特征描绘出来的.函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，以后可以看到，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质.反之，掌握好函数的性质，将有助于正确地画出函数的图象.我们知道函数的图象是由点集构成的，如何作图即如何选点呢？我们看一看下面的一些例题. [例1] 试画出以下函数的图象：〔1〕f 〔x 〕=x +1〔x ∈{1，2，3，4，5}〕； 〔2〕f 〔x 〕=〔x －1〕2+1，x ∈［1，3〕. 解：〔1〕我们先列表再描点y3 4 56-1-2-3-4〔1〕y-3-4〔2〕f 〔x 〕=x +1的图象？生：仅需把图〔1〕的散点连结起来构成一条直线就是f 〔x 〕=x +1的图象，如图〔2〕.师：对，在初中我们就研究过一次函数的图象，它表示一条直线，所以今后我们作一次函数的图象仅需作出其两点，然后再连成一条直线即可.〔2〕师：这是一个什么曲线？ 生：抛物线.师：是一条完整的抛物线吗？ 生：好像不是. 师：为什么？生：因为x ∈［1，3〕，所以x 的取值受限制.师：对，这个函数的图象与抛物线f 〔x 〕=〔x －1〕2+1有联系，它是其中一段，为了能够作出其图象，我们先作出抛物线f 〔x 〕=〔x －1〕2+1的图象，大家自己动手作出该函数的图象，用虚线表示.〔一会儿后〕请生甲回答如何作出其图象的.〔同时投影其所得的图象〕生甲：先作出顶点〔1，1〕，再作出两点〔2，2〕、〔3，5〕，然后根据抛物线的对称轴是x ＝1，作出〔2，2〕、〔3，5〕关于xf 〔x 〕=〔x －1〕2+1的图象.〔如图〔3〕〕y-1-2-3-4〔3〕师：生甲同学通过选关键点顶点，再结合二次函数的对称性取另外两点作出其关于对称轴的对称点，这样得到5点，最后用圆滑的曲线由左向右顺次连结这些点.这个方法是通常作二次函数的方法.这种方法提醒我们对一些熟知的函数要作出其图象仅需要选一些特征点及辅助点，然后就可以得出其图象.这样要作出f 〔x 〕=〔x －1〕2+1，x ∈［1，3〕，仅需要在f 〔x 〕=〔x －1〕2+1的虚线图象上取x ∈［1，3〕的一段用实线描出，但端点〔3，5〕处用空心点表示.〔如图〔4〕〕y-1-2-3-4〔4〕[例2] 作出函数y =|x －2|〔x ＋1〕的图象. 分析：显然直接用函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对解析式进行等价变形．解：〔1〕当x ≥2，即x －2≥0时，y =〔x －2〕〔x +1〕=x 2－x －2=〔x －21〕2－49. 当x ＜2，即x －2＜0时，y =－〔x －2〕〔x +1〕=－x 2+x +2=－〔x －21〕2+49，所以y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥--.2,49)21(,2,49)21(22x x x x这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出.〔如图〔5〕〕〔5〕方法引导：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x、y的变化X围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数等基本函数的图象．函数是“两个数集间的一种确定的对应关系〞.当我们将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映射的概念.例如，亚洲的国家构成集合A，亚洲各国的首都构成集合B，对应关系f：国家a对应于它的首都b.这样，对于集合A中的任意一个国家，按照对应关系f，在集合Bf：A→B称为映射.设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.在我们的生活中，有很多映射的例子，例如，设集合A={x|x某场电影票上的}，集合B={x|x是某电影院的座位号}，对应关系f：电影票的对应于电影院的座位号，那么对应f：A→B是一个映射.[例3] 教科书P26例7.本例中的〔1〕〔2〕是以后经常用到的映射，教学时应引导学生认真理解.对于〔3〕，还可以把“内切圆〞换成“外接圆〞让学生思考.对于〔4〕，可以与本例后的“思考〞进行比较，让学生进一步体会映射是讲顺序的，即f：A→B与f：B→A是不同的，并且，它们中可以一个是映射而另一个不是映射，也可以两个都是映射或两个都不是映射.在此基础上归纳出映射概念值得注意的几点：〔1〕函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；〔2〕对于映射f：A→B，我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中的元素相对应的元素叫象.所以，集合A叫原象集，集合B叫象所在的集合〔集合B中可以有些元素不是象〕.〔3〕映射只要求“对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应〞，即对于A中的每一个原象在B中都有象，至于B中的元素在A中是否有原象，以及有原象时原象是否唯一等问题是不需要考虑的.〔4〕用映射刻画函数的定义可以这样表达：设A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f〔x〕.其中x∈A，y∈B.原象集合A叫做函数y=f〔x〕的定义域，象集合C叫做函数y=f〔x〕的值域.很明显，C B.[例4] 集合A=｛1，2，3，k｝，B=｛4，7，a4，a2+3a｝，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y=3x+1和A中元素xa及k的值.方法引导：集合A中元素1，2，3在对应法那么的作用下，分别得到象4，7，10，关键是集合B中谁和10对应.解：∵B中元素y=3x+1和A中元素x对应，∴A中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10.对于集合B而言能与10对应的元素有两种情况：a4=10或a2+3a=10.∵a∈N，∴a2+3a－10=0得a=－5〔舍去〕或a=2.当a=2时，a4=16.由3k+1=16得k=5.∴a=2，k=5为所求.A 集合中只有两个的元素，此时应该考虑四种对应关系.然后用条件和集合的性质加以排除.此题将集合与映射两个概念同时考查，有一定的新意.三、课堂练习1.根据所给定义域，画出函数y =x 2－2x +2的图象. 〔1〕x ∈R ； 〔2〕x ∈〔－1，2］； 〔3〕x ∈〔－1，2〕且x ∈Z . 答案：〔1〕 〔2〕〔3〕A 到集合B 的映射，哪些不是，为什么? 〔1〕A =B =N *，对应关系f ：x →y =|x －3|.〔2〕A =R ，B =｛0，1｝，对应关系f ：x →y =⎩⎨⎧,0,1.0,0<≥x x〔3〕A =B =R ，对应关系f ：x →y =±x .〔4〕A =Z ，B =Q ，对应关系f ：x →y =x1. 〔5〕A ={0，1，2，9}，B ={0，1，4，9，64}，对应关系f ：a →b =〔a －1〕2. 答案：〔1〕对于A 中的3，在f 作用下得0，但0∉B ，即3在B 中没有象，所以不是映射. 〔2〕对于A 中任意一个非负数都有唯一象1，对于A 中任意一个负数都有唯一象0，所以是映射. 〔3〕集合A 中的负数在B 中没有元素与之对应，故不是映射. 〔4〕集合A 中的0在B 中没有元素和它对应，故不是映射.〔5〕在f 的作用下，A 中的0，1，2，9分别对应到B 中的1，0，1，64，所以是映射. 四、课堂小结1.本节学习的数学知识：函数的图象、函数图象的作法、作函数图象的要素、映射的概念. 2.本节学习的数学方法：定义法、数形结合与分类讨论的思想方法、归纳与发散的思想、思维的批判性. 五、布置作业1.画出以下函数的图象.〔1〕y =〔－1〕x ，x ∈{0，1，2，3}； 〔2〕y =x －|1－x |；〔3〕y =xx x -+||)21(0.A.y 轴所示的函数表达式为x =0B.y =x 〔x ＜0〕是定义域为空集的函数f 是从集合A 到集合B 的映射，那么A 中每一元素在B 中都有象 f 是从集合A 到集合B 的映射，那么B 为A 中元素的象的集合M =｛x |0≤x ≤6｝，P =｛y |0≤y ≤3｝，那么以下对应关系中，不能看作从M 到P 的映射的是 A.f ：x →y =21x B.f ：x →y =31x C.f ：x →y =x D.f ：x →y =61x 板书设计1.2.2 函数的表示法〔2〕作法 注意点 例1 例2映射的定义 对映射的几点说明 例3 例4 课堂练习 课堂小结。
函数的表示方法(2)
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值
域是各段值域的并集。
例2、 画出函数 y
= | x |的图象.
变一： 画出函数 y
= | x＋１| 的图象. 变二： 画出函数 y = |x－１| 的图象. 变三： 画出函数 y = |x|＋１的图象. 变四： 画出函数 y = |x|－１的图象.
变五： 画出函数 y = | x-1 |+ |x + 4|的图象，并求函
问题2、在函数的定义中，若将“A,B是两个 非空的数集”改为“A,B是两个非空的集合”， 会得到什么概念呢？
设A、B是两个非空的集合，如果按某个确定的对应 关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集 合A到集合B的一个 映 射 。
例4. 下面哪些对应是从A到B的映射？哪些是函数？
数的值域。
x 5，x 1 2 例3、 已知函数f(x) x ， 求f (3),f[f ( 3)];
(2)画出y f (x)的图像；
1 (3)若f(a)= ，求a的值 . 2
函数的定义：
设A、B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应 关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集 合A到集合B的一个函数。
A 9 4 1 Ａ １ －１ ２ －２ ３ －３
（3 ） （1 ）
开平方
B 3 -3 2 -2 1 -1
A 求正弦 B
30o
45
o
1 2
2 2
60o
3 2
90o
（2）
1
求平方 Ｂ １ 4
Ａ
高中数学 1.2.2函数表示法(二)课件 新人教A版必修1
1
30
2
2
45
2
60
3
90
2 1
h
2
A 求 平 方 B39－3来自24－2
1
1
－1
h
3
A 开 平 方 B
3
9
－3
4
2 －2
1
1 －1
h
4
A 乘 以 2 B
1
1
2
3
2
4
5
3
6
h
5
A乘 以 4B
0
1
4
2
3
12
4
5
20
h
6
映射f:A→B，可理解为以下4点：
函映数射
设A,B是两个非空的数集集合，如果按某一个 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一 个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集 合B的一个函映数射。
由此可知，映射是函数的推广，函 数是一种特殊的映射。
h
1
判断下列对应是不是映射？如果是，那这个映射 是函数吗？
若函数f(x)的定义域为[a,b]，则f(g(x))的定义 域应由不等式a≤g(x)≤b解出即得。
练习 若函数f(x)的定义域为[1，4]，则函数f(x+2)
的定义域为_[_-1_,_2_]_.
h
10
例 已知f(2x-1)的定义域是[0，3]，求f(x)定义域。
已知f(g(x))的定义域，求f(x)定义域的方法： 已知f(g(x))的定义域为D，则f(x)的定义域为
h
17
1、A中每个元素在B中必有唯一的象 2、对A中不同的元素，在B中可以有相同的象 3、允许B中元素没有原象 4、A中元素与B中元素的对应关系，可以 是：一对一，多对一，但不能一对多
人教新课标版数学高一必修1学案 函数的表示法(二)
1.2.2 函数的表示法(二)自主学习1．了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题． 2．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 2．映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
3．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是非空数集．对点讲练分段函数的求值问题【例1】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≤－1)，x 2 (－1<x <2)，2x (x ≥2).(1)求f [f (3)]的值； (2)若f (a .)＝3，求a . 的值．分析 本题给出的是一个分段函数，函数值的取得直接依赖于自变量x 属于哪一个区间，所以要对x 的可能范围逐段进行讨论． 解 (1)∵－1<3<2，∴f (3)＝(3)2＝3. 而3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)当a .≤－1时，f (a .)＝a .＋2，又f (a .)＝3，∴a .＝1(舍去)；当－1<a .<2时，f (a .)＝a .2，又f (a .)＝3，∴a .＝±3，其中负值舍去，∴a .＝3；当a .≥2时，f (a .)＝2a .，又f (a .)＝3， ∴a .＝32(舍去)．综上所述，a .＝ 3.规律方法 对于f (a .)，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a . 所在范围有关，因此要对a .进行讨论．由此我们可以看到： (1)分段函数的函数值要分段去求；(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．变式迁移1 设f (x )＝⎩⎨⎧12x －1 (x ≥0)，1x (x <0)，若f (a .)>a .，则实数a .的取值范围是________．答案 a .<－1解析 当a .≥0时，f (a .)＝12a .－1，解12a .－1>a .，得a .<－2与a .≥0矛盾，当a .<0时，f (a .)＝1a ，解1a>a .，得a .<－1.∴a .<－1.分段函数的图象及应用【例2】 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 化简f (x )的解析式 →化简f (x )的解析式 →把f (x )表示为分段函数形式→画出f (x )的图象→求f (x )的值域 解 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎨⎧1 (0≤x ≤2)1－x (－2<x <0).(2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．规律方法 对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．变式迁移 2 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1| (x <1)－x ＋3 (x ≥1)，使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是______________________． 答案 (－∞，－2]∪[0,2] 解析在同一坐标系中分别作出f (x )及y ＝1的图象(如图所示)，观察图象知，x 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2]．映射概念及运用【例3】 判断下列对应关系哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些不是，为什么？（1）A={x|x 为正实数}，B={y|y ∈R[}，f ：x →y=±x（2）A=R ，B={0，1},对应关系f ：x,→y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；0， x<0；（3）A=Z ，B=Q ，对应关系f ：x →y=1x；（4）A={0，1，2，9}，B={0，1，4，9，64}，对应关系f:a →b=()21a -解 (1)任一个x 都有两个y 与之对应，∴不是映射．(2)对于A 中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，任意一个负数都有唯一的元素0和它对应， ∴是映射．(3)集合A 中的0在集合B 中没有元素和它对应，故不是映射． (4)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射．规律方法 判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是否是“对于A 中的 每一个元素”；(2)在B 中是否“有唯一的元素与之对应”．一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点至少有一点不具备就不是映射．说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可． 变式迁移3 下列对应是否是从A 到B 的映射，能否构成函数？ (1)A=R ，B=R,f:x →y ＝1x ＋1；(2)A ＝{a.|a.＝n ，n ∈N ＋}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b|b ＝1n ，n ∈N ＋，f ：a.→b ＝1a；(3)A=[)0,+∞,B=R ，f:x→y 2＝x ；(4)A ＝{x|x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x|x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆． 解 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在， ∴不是映射，更不是函数．(2)是映射，也是函数，因A 中所有的元素的倒数都是B 中的元素．(3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是数集．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．判断一个对应是不是映射，主要利用映射的定义：(1)集合A 到B 的映射，A 、B 必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)； (2)对应关系有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；(3)与A 中元素对应的元素构成的集合是集合B 的子集．课时作业一、选择题1．下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝N *，f ：a .→b ＝(a .＋1)2D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 答案 A2．设集合A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ) A ． f:x→y ＝12x B. f:x→y ＝13xC. f:x→y ＝14xD. f:x→y ＝16x答案 A由f:x →y ＝12x ，集合A 中的元素6对应3∉{y |0≤y ≤2}，故选项A 不是映射．3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)(x ∈N )，那么f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 A解析 由题意知f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 (x ≥0)x (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x 2 (x <0)，则当x <0时，f [g (x )]等于( )A ．－xB ．－x 2C ．xD ．x 2 答案 B解析 当x <0时，g (x )＝－x 2<0， ∴f [g (x )]＝－x 2. 二、填空题5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x <0)π (x ＝0)x ＋1 (x >0)，则f (f (f (－1)))的值是__________．答案 π＋1解析 f (－1)＝0，f (0)＝π，f (π)＝π＋1 ∴f (f (f (－1)))＝f (f (0))＝f (π)＝π＋1.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥00，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__________．答案 {x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2， 解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2， 解得x ≤2，∴x <0. 综上可知x ≤1. 三、解答题7．若[x ]表示不超过x 的最大整数，画出y ＝[x ] (－3≤x <3)的图象． 解 作出y ＝[x ]的图象如下图所示．8．已知函数y ＝f (x )的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解 根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x <1)．∵点(1,1)、(0,2)在射线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2 (x <1)． 同理，x >3时，函数的解析式为y ＝x －2 (x >3)． 又抛物线对应的二次函数的解析式为 y ＝a .(x －2)2＋2 (1≤x ≤3，a .<0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a .＋2＝1，a .＝－1， ∴当1≤x ≤3时，函数的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)． 综上所述，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x <1)，－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)，x －2 (x >3).【探究驿站】9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ∈[0，1]，x －3， x ∉[0，1]，求使等式f [f (x )]＝1成立的实数x 构成的集合．解 当x ∈[0,1]时，恒有f [f (x )]＝f (1)＝1， 当x ∉[0,1]时，f [f (x )]＝f (x －3)，若0≤x －3≤1，即3≤x ≤4时，f (x －3)＝1， 若x －3∉[0,1]，f (x －3)＝(x －3)－3， 令其值为1，即(x －3)－3＝1，∴x ＝7. 综合知：x 的值构成的集合为 {x |0≤x ≤1或3≤x ≤4或x ＝7}．。
函数的表示法2
求 f 1 ，f 2 ．
动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发 顺次经过B、C、D再回到A.设x表示P点的行 程，y表示PA的长，求y关于x的函数。
0 x 1 x 2 x 2 x 2 1 x 2 y 2 x 6 x 10 2 x 3 3 x 4 4 x
D
P
C
P
A
P
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设A、B是两个非空的集合，如果按 某个确切的对应关系f,使队与集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都有 唯一确切的元素y与之对应，那麽就 称 f:AB为从集合A到集合的一个映射
下列对应能否构成映射？
1 ① A Z，B Z，f：x x
② A R，B R，f：平方；
a
；
③
A R，B R，f：开平方；
a
b c
d
1 2 3
a
b
c
d
1 2 3 4
A
④
B
A
B
⑤
归纳：① A 中元素必须在 B 中只有惟一元素 与之对应；② B 中元素可以与 A 中的多个元 素对应；③允许 B 中有“空”的元素。
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自身能取代幽冥宗?”壹个贰品势历战营の统领,得到楚家の讯息后,讥笑道.“统领大人,呐楚家现在有强大助历,连幽冥宗现在都不得不放弃聚集地.俺们若是不合作,那恐怕楚家会对俺们动手.”壹名副统领道.“俺倒要看看,楚家能将俺们林家怎样！真是可笑,还要俺们将抽 成送到他们面前,他楚红南好大の脸.俺还就不信了,若俺们不将资源送过去,他楚家还能灭掉俺们林家の战营.”林家统领目光壹闪道.林家统领,显然不认为楚家拥有掌控流沙申域の能历.同事,他也确定,幽冥宗不会就此罢手,放任楚
高一数学函数的表示法2
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子和老奶奶们都还能认出来耿老爹，琢磨一下也能想起来耿正和耿英，但耿直却几乎没有人敢认了，而李尚武更不可能 有人认识。由于每一次打招呼，大家都免不了要感慨问候一番，那些老奶奶甚至还有唏嘘落泪的，引得郭氏、刘氏和裴 氏也再次落泪。所以，这一段路虽说并没有多长，但却走得很慢。路过粉坊时，耿憨说：“进来看看哇，咱的粉坊也有 了一些变化呢！”于是，大家都进了这个特别宽阔的大院儿。拴在大门旁边马厩里的那两头大骡子看到各自的主人来了， 都“嗬儿嗬儿”地欢啸起来。耿正、耿老爹和李尚武都过去看看，拍拍它们结实的肩背。耿正对大白骡说：“辛苦了， 老伙计，好好儿歇着哇！”耿老爹对棕色的高头大骡说：“老伙计啊，你也好好儿歇着哇！过些天还得辛苦你哩，你得 送俺的武儿回江南啊！”再看这两高头大骡子，居然都频频点头“嗬儿嗬儿”低声儿欢啸呢！耿憨在一旁哈哈大笑起来， 对大家伙儿说：“看看这爷儿俩，还跟大骡子对上话了！”董家成说：“大壮说过，骡子是很通人性的畜生，灵得很 呢！”青海也说：“俺和二壮把它们拴进马厩里的时候，就发现它两个很友好呢，一点儿也不咬槽！”董妞儿冷不丁来 了一句：“敢情它两个也认了兄弟了耶！”二壮很认真地说：“看来是了！”看这兄妹俩一唱一合的，把郭氏、裴氏和 刘氏都给逗笑了。刘氏一边笑着，一边抬手就照准二壮和妞儿的肩膀各打了一巴掌，嘴里还说：“俺把你们这傻愣子兄 妹俩啊，说什么呢！”董家成却说：“你不懂，这就是畜生的灵性！它们认没认了兄弟，有谁知道呢？反正啊，拴进一 个马厩里能这么友好，是非常少见的事情呢！”耿憨赞许地点点头，说：“唔，董大哥说得对，俺也相信畜生是有灵性 的！”看视了两头大骡子以后，耿正、耿老爹和李尚武转身走出马厩来。抬头一看，首先映入眼帘的是十来架晾晒的半 干了的粉丝，每一架的晾晒绳子拉了足有两丈多长。这些粉丝晾晒架的旁边是六间作坊，两个不认识的壮年汉子正在作 坊里面忙活着。耿老爹说：“呵，憨子，你这粉坊扩大了一倍？俺记得当年只有三间作坊啊！”耿憨说：“是扩大了一 倍！你们看，西边儿的那五间房子是前年才新盖的。喏，最靠西的那两间是住人的，挨着的那三间就是扩大了的粉坊。 这不，俺父子们忙不过来了，就从南庄头雇了两个伙计，他俩常年儿住在粉坊里帮忙干活儿呢。”耿正问：“除了本钱 和支付两个伙计的工钱，净收入还不错？”耿憨连连点头，说：“不错，不错！你们再到这边来看看！”说着，把众人 领到西侧的一大排猪舍前，说：“看看，这里还有咱们的第二产业呢！”大家一看，呵，原来是三个隔开了的大猪舍！ 最边上的一个，里面养着四口大肥猪，看起来舒服得很，都躺在边上晒太阳
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1.2.2 函数的表示法（2）
一、学习目标：
1、能用自己的语言叙述分段函数的定义，能正确画出分段函数的图像及简单应用
2、结合函数概念准确记忆映射的定义。
二、教学过程：
1、新知探究
问题（1）作出函数y x =的图象和1y x =-的图象。
问题（2）国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g 时付邮资80分；超过20g 不超过40g 时付邮资160分；依次类推，每封xg(100x 0≤<)的信函付邮资为：
80,(0,20]160,(20,40]240,(40,60]320,(60,80]400,(80,100]
x x y x x x ∈⎧⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪∈⎪∈⎪⎩, 画出这个函数的图象。
问题（3）什么是分段函数？它是一个函数还是几个函数？如何求分段函数的定义域及值域？
问题（4）讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？什么叫映射？它与函数的联系是什么？
问题（5）分析下面的例子是否为映射？
2、课堂练习 （1）已知1(0)()(0)0(0)x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩
，则{[(1)]}f f f -= 。
（2）在函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
中，若()3f x =，则x 的值为 。
（3）下面所给的对应中，哪些不是集合A 到集合B 的映射，为什么？
3、小结反思：
4、课后作业：课本23页3、4题；24页7、10。