1.2.2函数的表示法(1)
1.2.2函数的表示法(一)
f ( x) x 2x ,画出函数 f ( x)
2
0 x
的图象,并求出函数 f ( x) 的解析式.
例3.(07湖北)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒
法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气
中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释 放完毕后，y与t的函数关系式为 y 1
16 t a（a为常数）， Nhomakorabea图所示，
根据图中提供的信息，回答下列问题： (Ⅰ)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y（毫克
与时间t（小时）之间的函数关系式为_____________ .
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25
毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至
少需要经过 小时后，学生才能回到教室.
就是用图象表示两个两个变量之间 （2）图象法： 的对应关系。 就是列出表格来表示两个变量之间 （3）列表法： 的对应关系。
函数的三种表示法的优点：
1、解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变 量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自 变量的值所对应的函数值。
2、图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化， 相应的函数值变化的趋势，有利我们通过图象研究 函数的某些性质。 3、列表法的优点是不需要计算就可以直接看出 与自变量的值相对应的函数值。
例1.(1)已知f ( x) 2 x 3, 求f ( x 1)
(2)已知f ( x 1) 2 x 5, 求f ( x)
(3)已知f ( x 1) 2 x +5，求f ( x)
（4）已知f(x)是二次函数,且f(0)=1, f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)
1.2.2函数的表示法课件人教新课标
的三种表示法表示函数 y f (x)
。
例2．（书P20）下表是某校高一（1）班三名 同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级 平均分表。
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王伟 张城 赵磊
班级 平均分
98 90 68 88.2
⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量 的函数关系
优点：不需要计算就可以直接看出与自变 量的值相对应的函数值.
⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之 间的关系.
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相 应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通 过图象来研究函数的某些性质.
二．例题讲授：
例1（书P19）.某种笔记本的单价是5元，买 x
四、作业
P24 A组7、8、9 B组3、4 补充：作出分段函数
y 2x 1 x 2 (3 x 3)
的图像并求值域。
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加 1元（不足5公里按5公里计算）． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题 意，写出票价与里程之间的函数解析式，并 画出函数的图象．
练习：
x 2(x 1)
1．在函数
f
(x)
x
2
(1
x
2)
中，若 f (x) 3
2x(x 2)
则x的值为 。
3x2 2 (x 0)
1.2.2 函数的表示法(一)
一、讲授新课：
函数的表示方法 ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用 一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表 达式，简称解析式.
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关 系；二是可以通过解析式求出任意一个自变 量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数 主要是用解析法表示的函数.
《函数的表示法》教学设计含答案
教学设计1.2.2函数的表示法（1）作者：张正全教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性。
三维目标1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法) 2．会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，3．树立应用数形结合的思想．重点难点教学重点：函数的三种表示方法，教学难点：会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，导入新课我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课初中学过的三种表示法：解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y 为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．(3)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．应用示例例1某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为笔记本1234 5数x钱数y 510152025图1点评：本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图象法的特点是：直观、形象地表示自变量变化时相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质，图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等．并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；②解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；③图象法：根据实际情境来决定是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.例2下面是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：析．活动：学生思考做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分．由于表格区分三位同学的成绩高低不直观，故采用图象法来表示．做学情分析，具体要分析学习成绩是否稳定，成绩变化趋势．解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数，用图象法表示函数y＝f(x)，如图3所示．图3由图3可看到：王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步提高．点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力，以及应用函数解决实际问题的能力．通过本题可见，图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势．注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样便于研究成绩的变化特点.知能训练变式训练21.画出下列函数的图像（1）f(x)=2x,x∈R,且|x|≤?2（2）(x)=x+2，x∈N,|x|≤?32.某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：3.已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x－1，求f(x)的解析式。
人教版高中数学必修一1.2.2函数的表示法 (1)ppt课件
例5、下列映射是不是A到B的一一映射？
A
B
A
B
f
1
3
f
1
3
2
5
3
7
5 2
7
3
9
4
9
4
1
(1)
(2)
解：（1） 是
（2） 不是。由于B中元素1在集合A中没有原像
例6、 下列对应是不是A到B的映射？ 1 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9} ，f:乘2加1 2 A=N+，B={0,1} ，f: x 除以2得的余数 3 A=R+，B=R，f:求平方根 4 A={x|0≤ x<1}，B={y|y≥1} f:取倒数
5 , 1 5 < x 2 0 , 2 1
图公交车票价.gsp
05
10
15
20
我们把上述两例中的函数叫做分段函数: 即分区间定义的函数. 分段函数的图象要分段作出!
注意: （1）有时表示函数的式子可以不止一个，对于分几个 表示的函数，不是几个函数，而是一个函数,我们把它 分段函数.
（2） 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、 线、离散的点等等。
注意：解析法表示函数是中学研究函数的主要表示方法;用 法表示函数时,必须注明函数的定义域.
2.图像法：用函数图像表示两个变量之间的对应关系。
如:心电图，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变 化的曲线，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
例如： 我国人口出生率变化曲线：
图像法的优点： 能直观形象的表示出函数的变化情况。
(1)对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对
(2)对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数 (x,y)和它对应；
人教高中数学必修1课件：1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法精讲优练课型
1.2. 2函数的表示法第1课时函数的表示法【即时小测】1 •思考下列问题: ⑴所有的函数都能用列表法来表示吗?提示:并不是所有的函数都能用列表法来表示,如函数y二2x+l f xe R.因为自变量X w R不能一一列出，所以不能用列表法来表示•(2)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围?提示:函数的走义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候L般要写出函数的定义域.2・已知函数f(x)由下表给出:则f(f(2))= ____________【解析】由表格可知十⑵二4所以f(f⑵)=f⑴二0・答案：03・CU咨 f (x —l)"(x —l)2』=f(X)3晝聖【sm ffiXIlHbpMIXHt+l、s u w (t T t 2・0H (x T x 2・嘯4.已知函数y=f (x)的图象如图所示,则其定义域是3~~03^【解析】因为函数y二f(x)图象上所有点的横坐标的取值范围是[23]，所以其定义域为[么3]・答案:[23]5.已知f (n) =2f (n+1), f (1) =2,则f (3)= 【解析】f(n) = 2f(n + l),f(l) = 2, 所以俭)= 2f(2)=4f⑶，故f⑶二( 答案：2 2【知识探究】知识点函数的三种表示方法观察如图所示内容，回答下列问题：（函数的表示方法）——（图象法）问题1 ：应用三种方法表示函数时应注意什么问题?问题2:函数的三种表示方法各有什么优缺点?【总结提升】1 •对函数三种表示法的说明列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示•在应用三种方法表示函数时要注意：⑴解析法:必须注明函数的定义域(2)列表法:选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.⑶图象法:是否连线.2.函数三种表示方法优缺点比较"能形象、直观地表示壓函数的变化情况点 小、 只能近似求出自变量所对应的函数值，而 R 有时误差较大 K ____________ /【题型探究】类型一待定系数法求函数解析式【典例】1.已知f(X)是一次函数，且f (f (x)) =4x+3,则函数f(X)的解析式为_____________ ■2.已知二次函数y=f (x)的最大值为13,且f(3)=f(-l)=5,求f (x)的解析式.【解题探究】1•典例1中一次函数解析式的形式是什么? 提示:一次函数解析式的形式为f(x)二ax+b (a工0) •2.典例2中二次函数的一般形式是什么?提示:二次函数的一般形式是f(x)二ax?+bx+c (a H 0) •【s s】l ・ffi f (x T ax +b (a H O )・ m=f (fH +b T爾糊f s H 2X +一烘f (X)H —w x —w2•方法一:利用二次函数的一般式求解.设f(x)=ax2+bx+c(a^0).由条件知，点⑶5),(也5),("3)在f(x)的图象上9a+3b+c = 5, fa = -2所以a — b+c = 5,所以f的斤邂时x+lg = ii方法二:利用二次函数的顶点式求解.由f(3)=f(・l),可知:对称轴为x“，又最大值为D故可设f(x)二a(x・l)2+13.将f⑶=5代入得a=2・所以f(x) = -2(x-l)2+13jpf(x) = -2x2+4x+ll.【方法技巧】待定系数法求函数解析式(1)适用范围：已知所要求的解析式f(x)的类型，如是一次函数、二次函数等等，即可设出f(x)的解析式，然后根据已知条件确定其系数.(2)待定系数法求函数解析式的步骤:①设出所求函数含有待定系数的解析式;③解方程或方程组,得到待定系数的值；④将所求待定系数的值代回所设解析式.【变式训练】已知二次函数f (X )的图象过点A(0, -5), B (5, 0),其对称 轴为x=2,求其解析式.【解析】因为抛物线的对称轴为x=2, 所以设二次函数的解析式为f(x)=a(x-2)2+k(a^O).把(0,-5),(5,0)分别代入上式得丽劇嗨斛*9・ 龈敲MX 』"，类型二换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式【典例】求满足下列条件的函数f(x)的解析式.(1)函数f(X)满足f ( +l)=x+2 .(2)函数f (x)满足2f 占)+f (x) =x《HO).1X【解题探究】1.典例⑴中的5 +1)中的低+1与x+2低能否建立联系?提示:典例⑴中的X+2 =( +1)2-1.2 •典例(2)中x和有越关爲1提示:互为倒数关黍・(1£)「益(3欝“人1:埠只Ig lx V ^.J (T :+r (T +)J M £ V0+x只因：(+s2e H +s g(一丄jpex) J XH (X )J E5£ rH」u z +z(I £H e 4M £"(IeHxliio 存g芥企 叟+W IK ®l 4W 运(I⑵由题意知f(x) + 2f( i=x f令X二(tHO) fx t则i=t f则f(卅2f(t)二a即班？+2f(x)・(于是得剧关于f(肯f(x)的方程自—i ■x X Xf(x) + 2f』) =xf(-) + 2f(x) = I 2 x1解得f(x)拄-°)・XXX【延伸探究】1.(变换条件)典例(1)中若将条件“f(+l)=x+2 “f(2x-l)p2+x+l”，则f(x)的解析式是什么？【解析】设2x-l=t f则X二t+1所以f(t)二亍Q nX/、t+1 ° t+1 7即f(x)二一r+一+i 二一+t+—.2 2 4 41 97一x~+x -一・4 42.(变换条件)典例(1)中若将条件“f (低+ l)=x+2低”变为“f(l+ 1 )=i+x21 ”，则f(x)的解析式是什么？【解析】平(1 + * X1+?]因為寻岂占诫溜胡析幽)+hf(x)=x24c+ 1 , XG(-OO f 1) U (1 , +8).X【方法技巧】换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式的思路⑴已知f (g (x)) =h (x),求f (x),常用的有两种方法：①换元法，即令t=g (x),解出禺代Ah(x)中,得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意:换元后新元的范围②配凑法，即从f (g(X))的解析式中配凑出即用g(x)来表示h (x),然后将解析式中的g (x)用x代替即可.(2)方程组法:当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解.【补偿训练】已知f(x-l)=xMx-5,则f(x)的解析式是()【解析】选A.方法一:设t 二则x=t+l,因为f(x-l)=x2+4x ・5, 所以 f(t) = (t+l)2+4(t+l)-5=t 2+6t ff (x)的解析式是f (x)=x 2+6x.方法二:因为 f (x-1)=x 2+4x- 5=(x-1)2+6 (x-1),所以 f(x)=x 2+6x. 所以f (X )的解析式是f (X )二x2+6x.A. f (x) =x 2+6xC. f (x) =x 2+2x-3 B. f (x) =x 2+8x+7 D. f (x) =x 2+6x-10类型三函数的图象及其应用【典例】作出下列函数的图象:(1)y=2x+l, x G [0, 2]・(2)y=x2-2x, x E [0, 3) •(3)y=.【解题探究】典例中可以使用什么方法来画函数图象? 提示:典例中函数的图象可通过描点法来画.1X【解析】⑴当x=0时"二1;当x=2时"二5・所画图象如图(1)所示.⑵因为0<x<3f所以这个函数的图象是抛物线y=x2-2x介于0«xv3 之间的一部分，如图(2)所示.⑶函数图象如图⑶所示・图(1)----------- i―I——>0 2 X图⑵图⑶【方法技巧】描点法作函数图象的步骤及关注点(1)步骤：①列表:取自变量的若干个值，求出相应的函数值，并列表表示;②描点:在平面直角坐标系中描出表中相应的点;③连线:用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图象・(2)关注点:①画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图;②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等•要分清这些关键点是实心点还是空心点.【变式训练】作出函数尸x2-2x-2, xG [0, 3]的图象并求其值域.【解析】因为y=（x-l）2-3f所以函数y二x^2x・2的对称轴为x=4顶点为（1厂3）涵数过点（0厂2）®）,具图象如图所示.由图象知函数的值域为[乜1]・• -1 - •【补偿训练】画出函数图象:y=x2-2, xWZ且|x| W2・【解析】因为y=x2・2,xwZ且|x|s2,所以x二・2厂:L,0丄2;对应y的值为2・—2厂12图象如图:\y■-2 -1 0 1 2*■2r • -1 - •易错案例换元法求函数解析式【典例】已知f (x 2+2) =x 4+4x 2,则f (x)的解析式为_严识$【失误案例】 【错解分析】分析解题过程，你知道错哪里吗?)专牛十44，d'化力十？ mt"提示:错误的根本原因是忽略了函数f(x)的走义域上面的解法看上去似乎是无懈可击撚而从具结论间f(x)二x?・4来看，并未注明f(x)的走义域，那么按一般理解，就应认为直走义域是全体实数.但是f(x)=x2・4 的定义域不是全体实数.【自我矫正】因为f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2・4, 令t=x2+2(tn2),则f (t)=t2-4(t>2)f所以f(x)=x2・4(xn2).答案:f(x)=x2-4(x>2)【防范措施】关注换元法求函数解析式时对定义域的要求任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f三要素组成•所以, 当函数f (g (x)) 一旦给出,则其对应关系f就已确定并且不可改变，那么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定•因此，我们由f (g (x))求f (x)时,求得的f (x)的定义域就理应与f (g (x))中的f的“管辖范一致才妥. 围”课时撮井作此/点击进入Word版可编辑套题。
必修1课件：1.2.2函数的表示法
云在漫步
§1.2.2 函数的表示方法
学习目标
第一课时
1、掌握函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法， 、掌握函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法， 体会三种表示方法的特点。 体会三种表示方法的特点。 2、能根据实际问题情境选择恰当的方法表示一个函数。 、能根据实际问题情境选择恰当的方法表示一个函数。 3、体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用， 、体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用， 在图形的变化中感受数学的直观美。 在图形的变化中感受数学的直观美。
2010年12月26日星期日5 48分16秒 2010年12月26日星期日5时48分16秒 日星期日 云在漫步
图象法
列表法
二、由实际问题引入分段函数的概念 某市空调公交车的票价按下列规则制定： 例6 某市空调公交车的票价按下列规则制定： 公里以内(含 公里），票价 公里），票价2元 （1）5公里以内 含5公里），票价 元； ） 公里以内 公里以上， 公里， （2）5公里以上，每增加 公里，票价增加 元（不足 ） 公里以上 每增加5公里 票价增加1元 5公里的按 公里计算）。 公里的按5公里计算 公里的按 公里计算）。 如果某条线路的总里程为20公里 请根据题意， 公里， 如果某条线路的总里程为 公里，请根据题意，写出 票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。 票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
1、正比例函数、反比例函数的一般式是怎样的？ 正比例函数、反比例函数的一般式是怎样的？
y = kx( k ≠ 0)
k y = (k ≠ 0) x
S = 100t
C = 2πr
人教版必修一1.2.2函数的表示法课件
[导入新知]
[化解疑难]
三种表示方法的优、缺点比较
优点
缺点
解 析 法
一是简明、全面地概括了变量 间的关系；二是可以通过解析 式求出任意一个自变量所对应 的函数值
不够形象、直观，而且并 不是所有的函数都可以用 解析式表示
列 表 法
不通过计算就可以直接看出与 自变量的值相对应的函数值
例：求下列函数的解析式： (1)已知f1＋x x＝1＋x2x2＋1x，求f(x)； (2)已知f( x＋1)＝x＋2 x，求f(x)．
解：(1)法一：(换元法) 令t＝1＋x x＝1x＋1，得x＝t－1 1，则t≠1. 把x＝t－1 1代入f1＋x x＝1＋x2x2＋1x，得
f(t)＝1＋ 1t－112 2＋
y 0 －1 0 3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
[类题通法] 1．作函数图象的三个步骤 (1)列表．先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与 这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来． (2)描点．把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在坐标平面上描 出来． (3)连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连 接起来． [注意] 所选的点越多画出的图象越精确，同时所选的点应 该是关键处的点．
s_t函数图象与故事情节相吻合的是
()
解析：由于兔子中间睡了一觉，所以有一段路程不变，而乌龟的 路程始终在增加且比兔子早到终点，故选B. 答案：B
2.函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义
域是
()
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
高中数学必修1课件第一章 1.2.2 第1课时
课
栏 目
A．f(x)＝x2－1
开 关
B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1
D．f(x)＝(x－1)2－1
练一练·当堂检测、目标达成落实处
本 课
答案
D
栏 目
解析
由二次函数的图象开口向上且关于直线 x＝1 对称，可
开 关
排除 A、B；又图象过点(0,0)，可排除 C.D 项符合题意．
1．2.2 函数的表示法
第 1 课时 函数的表示法
本
课 栏
【读一读学习要求，目标更明确】
目 开
1．了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式
关
表示函数；
2．提高在不同情境中用不同形式表示函数的能力．
【看一看学法指导，学习更灵活】
本 课
学习函数的表示形式，不仅是为了研究函数的性质和应
栏
目 用的需要，而且是为加深对函数概念的理解，让学生感受到
解析 ∵g(x＋2)＝f(x)，f(x)＝2x＋3，∴g(x＋2)＝2x＋3.
令 t＝x＋2，则 x＝t－2，∴g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1. 即 g(x)＝2x－1.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．如果二次函数的图象开口向上且关于直线 x＝1 对称，且
本 过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )
即 2ax＋a＋b＝2x， ∴a＝1，b＝－1，从而 f(x)＝x2－x.
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 2 已知函数 f(g(x))的解析式求 f(x)的解析式通常用什么
本
课 栏
方法？这种方法的具体做法是怎样的？
目 开
答 通常用换元法．即令 g(x)＝t，反解出 x，然后代入 f(g(x))
第11课时1.2.2函数的表示法1
53.8 52.9 52.9 50.1 50.1 49.9 49.9 49.9 49.9 48.6 48.6 46.4 46.4 44.5 44.5 41.9 41.9 39.2 39.2 37.9 37.9 53.8
x
一般地，作y=f (|x|)的图像，只要先作出x≥ 0的部分，.然后再作y轴的对称变换，就可以得 到 y=f (|x|)的图像.
例5、某市某条公交线路的总里程是20公里，在这条
线路上公交车“招手即停”，其票价如下： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5 公里按照5公里计算）.
思考1:里程与票价之间的对应关系是否为函数？若是，函 数的自变量是什么？定义域是什么？
思考2:该函数用解析法怎样表示？
设里程为x公里，票价为y元，则
2, 0 x 5, 3, 5 x 10, y 4,10 x 15, 5,15 x 20.
思考3:该函数用列表法怎样表示？
里程x （公里） （0，5] （5，10] （10，15] （15，20]
票价y （元）
2
3
4
5
该函数用图象表示为 y
5 4 3 2 1
O
5
10
15
20
x
三、分段函数:在函数定义域内，对于自变量X的取值范 围有着不同的对应法则，这样的函数称为分段函数
２.以下叙述正确的有（ ） (1)分段函数的定义域是各段定义域的并集。 值域是各段值域的并集。 (2)分段函数在定义域的不同部分有不同的 对应法则，但它是一个函数。 （3）若D1、D2分别是分段函数的两个不 同对应法则的值域，则D1∩ D2 ≠φ也能成立。 A 、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 0个
(新)人教版高中数学必修一1.2.2《函数的表示法》课件(共23张PPT)
的一种“程序”或“方法”．因此要把“2x ＋ 1”及“ x ＋ 1”看成一个整体来求解．
1 1 (2)设f( ＋1)＝ 2－1，则f(x)＝________. x x (3)若对任意x∈R，都有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，则f(x)＝ ________.
[答案]
(1)D (2)x2－2x(x≠1)
6．(2012· 全国高考数学文科试题江西卷)设函数f(x)＝ x2＋1 x≤1 2 ，则f(f(3))＝( x>1 x 1 A.5 2 C. 3 B．3 13 D. 9 )
[答案] D
7．已知函数f(x)＝
2 x －4，0≤x≤2， 2x，x>2，
，则f(2)＝
2．作图时忘记去掉不在函数定义域内的点 [例5] 数的值域． [错解]
x，－1≤x≤1， 由题意，得y＝ －x，x<－1或x>1.
x|1－x2| 画出函数y＝ 2 的图象，并根据图象指出函 1－x
[例 5]
(1)已知 f(x)＝x2，求 f(2x＋1)；
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)． 1 (3)设函数 f(x)满足 f(x)＋2f(x )＝x (x≠0)，求 f(x)． [分析] 我们前面指出，对应法则“f”实际上是对“x”计算
5．(山东冠县武的高2012～2013月考试题)已知函数f(x)
x＋1x≥0 ＝ fx＋2x＜0
则f(－3)的值为( B．－1 D．2
)
A．5 C．－7
[答案] D
如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折 线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为 x，△APB的面积为y. (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)画出y＝f(x)的图象； (3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．
必修1课件1.2.2函数的表示法
笔记本数x 钱数y
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
例2.下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年 度六次数学测试的成绩及班级平均分表。
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王 伟 张 城 赵 磊
班平分
98 90 68 88．2
87 76 65 78．3
91 88 73 85．4
92 75 72 80．3
观察得出映射（1）有两个特点： ①集合A中不同的元素在B中有不同的象； ②集合B中的元素都有原象；
一一映射：
设A、B是两个集合， f : A B 是集合A到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A中不同的元 素在B中有不同的象，而且集合B中的每一个元素都 有原象，这个映射叫做A到B上的 一一映射。
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝
用解析法可将函数y=f(x)表示为
y 5 x, x 1, 2, 3,4,5
用列表法可将函数表示为
笔记本数x 钱数y
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
用图象法可将函数表示为下图
y 25
20 ． ．
1 2 3 4
．
5
x
上例中（1）是A到B上的一一映射，（2）是A到B的 映射，但不是一一映射。
一一映射： 设A、B是两个集合， f : A B 是集合A到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A中不同的元 素在B中有不同的象，而且集合B中的每一个元素都 有原象，这个映射叫做A到B上的 一一映射。 注意：
①一一映射中集合A中不同的元素在B中有不同的象， 集合B中的元素都有原象；
例6 .判断下列对应是否映射？有没有对应法则？
函数的表示法名校公开课获奖课件公开课一等奖课件省赛课获奖课件
点M( 0,1 )在抛物线上 因此：a(0+1)(0-1)=1
x o
得： a=-1
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
即：y=－x2+1
求函数解析式的办法
练习： （1）已知二次函数满足f(1)=1，
f(-1)=5 ，图象过原点，求f(x)；
（2）已知二次函数f(x)，其图象过点是 (-1,2)和(1,-4)，且通过原点，求f(x)．
3．函数 f (x) x的图| x像| 是（ ） x
(4) 根据下列函数的图象写出函数解析式
y 1
O1x
y
y
1
1
O
x
-1
-1
O
-1
2
x
问题探究
3. 某质点在30s内运动速度vcm/s是
时间t的函数,它的 v
30
图像以下图.用解
析式表达出这个 函数, 并求出9s时 10
质点的速度.
t O 10 20 30
函数的三种表达法的缺点：
1、解析法的缺点：有些问题有时很难用体现式来表 达。 2、图象法的缺点：图像及相对应的点的坐标往往不 精确。
3、列表法的缺点：有时应用有一定的局限性。
二、新课
【例1 】某种笔记本的单价是5元，买x x 1,2,3,4,5
个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数 解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝
【例3 】画出函数 y | x |的图象.
解：y
x
x
x0 x0
有些函数在它的定义域 中，对于自变量的不同取值 范围，对应关系不同，这种 函数通常称为分段函数。
图象以下：
y
高一数学必修1公开课课件1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法
1．函数的三种表示方法的优缺点比较
优点 一是简明、全面地概括 解 了变量间的关系；二是通过 析 解析式可以求出任意一个自 法 变量所对应的函数值 列 不需要计算就可以直接 表 看出与自变量的值相对应的 法 函数值
缺点 不够形象、直观、具 体，而且并不是所有 的函数都能用解析式 表示出来 它只能表示自变量取 较少的有限值的对应 关系
【变式练习】
1. 画出下列函数的图象:
(1) f (x) 2x,x R,且 x 2； (2) f (x) x 2,(x N,且 x 3);
解：（1） y
4
•
2
（2）
2 1 O 1 2
x
2
• 4
2.某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：
行进的 站数x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
票价y 0.5 0.5 0.5 1 1 1 1.5 1.5 1.5
例4 已知 f (x 1) x2 2x 2 ，求 f (x).
解：令t = x +1,则x = t-1
∴ft = t-12 +2t-1 +2 = t2 +1
换元法
f x = x2 +1
适合：已知f(g(x))的解析式,求f(x).
例5 已知 3 f (x) 2 f (1) x(x 0)，求 f (x).
－5＝4a＋k 0＝9a＋k
，解得ak＝ ＝1－9
，
所以解析式为 y＝(x－2)2－9.
[点评]
求二次函数解析式时， (1)若已知对称轴或顶点坐标；常设配方式 f(x)＝a(x－m)2 ＋n(a≠0)； (2) 若 已 知 f(x) 过 三 点 ， 常 设 一 般 式 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0)； (3)若已知 f(x)与 x 轴两交点横坐标为 x1、x2，常设分解式， f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
人教A版数学必修一《1.2.2《函数的表示法》(1)》教案
四川省泸县第九中学高中数学《 1.2.2函数的表示法（1）》教案 新人教A 版必修1课 型：新授课 教学目标：（1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点； （2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
教学难点：分段函数的表示及其图象。
教学过程： 一、课前准备（预习教材19p ---21p ，找出疑惑之处)复习1.回忆函数的定义；复习2.函数的三要素分别是什么？ 二、新课导学： （一）学习探究探究任务：函数的三种表示方法讨论：结合课本P 15 给出的三个实例，说明 三种表示方法的适用范围及其优点小结：解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）； 优点：简明扼要；给自变量求函数值。
图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）； 优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。
列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）； 优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。
*典型例题例1．（课本P 19 例3）某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．{}5,4,3,2,1,5∈=x x y变式：作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元），试用三种方法表示此实例中的函数。
反思：例1及变式的函数有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？例2：（课本P 20 例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级例3：某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。
1.2.2函数的表示法(第1课时)
1.2.2函数的表示法（一）
1、某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场销售与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西
红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题
.
（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）
（1）写出图一表示的市场售价间接函数关系P = f (t). 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q = g (t).
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
2、下图中可作为函数y = f (x)的图象是（）
3、函数||x
y x
x
=+的图象为下图中的（）
4、作出下列函数的图象：（1）y = |x– 1| + 2 |x– 2|；（2）y = |x2– 4x + 3|.
1。
1.2.2 函数的表示法第1课时 函数的表示法
1．2.2函数的表示法第1课时函数的表示法明目标、知重点了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数.自主学习1．函数的三种表示法(1)解析法——用表示两个变量之间的；(2)图象法——用表示两个变量之间的；f x为纵坐标就得到一个点，当自变量取完定义（以自变量x为横坐标，以对应的函数值()域内所有值时，即可得到函数图像。
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．）(3)列表法——列出来表示两个变量之间的．2．(了解)函数三种表示法的优缺点例题解析探究点一函数的表示方法例1某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．探究点二如何求函数的解析式例2已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)．反思与感悟本题已知函数类型，故可用待定系数法求解．即设出函数关系式，代入已知条件，建立关于x的恒等式求解．跟踪训练2（1）已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)的解析式（2）已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式．例3已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．反思与感悟利用换元法、配凑法求函数解析式时要注意新元的取值范围，即所求函数的定义域．跟踪训练3．已知f (1x )＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋x x C ．f (x )＝x 1＋xD ．f (x )＝1＋x 例4 已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为。
跟踪训练4：已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (－x )＋x ，则f (x )的解析式为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
超级记忆法-记忆 规律
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
( x {1, 2,3, 4,5})个笔记本需要y元,试用函数
的三种表示法表示函数 y f (x)
。
例2．（书P20）下表是某校高一（1）班三名 同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级 平均分表。
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王伟 张城 赵磊
班级 平均分
98 90 68 88.2
2．已知
f
(x)
(x 0)
1
(x 0)
画出它的图象。
例5作出 y x 1 x 2 (3 x 3)
的图像并求值域。
三、小结：
1．表示函数的方法有解析法、列表法和图 象法三种. 掌握分段函数的概念，
2．函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线， 但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。 必须根据定义域画图，利用描点法或图象变 换法
1.2.2 函数的表示法(一)
一、讲解新课：
函数的表示方法 ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用 一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表 达式，简称解析式.
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关 系；二是可以通过解析式求出任意一个自变 量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数 主要是用解析法表示的函数.
故事记忆法小妙招
费曼学习法
费曼学习法-简介
理查德·菲利普斯·费曼 （Richard Phillips Feynman）
费曼学习法出自著名物理学家费曼，他曾获的 1965年诺贝尔 物理学奖，费曼不仅是一名杰出的 物理学家，并且是一位伟 大的教育家，他能用很 简单的语言解释很复杂的概念，让其 他人能够快 速理解，实际上，他在学习新东西的时候，也会 不断的研究思考，直到研究的概念能被自己直观 轻松的理解， 这也是这个学习法命名的由来！
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之 内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比 如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆3 组就可以了，记忆效率也会大大提高。
Know--X分类法
费曼学习法-实操
第二步 根据参考，复述你所获得的主要内容
（二） 根 据 参 考 复 述
1.参照教材、辅导书或笔记复述主要内容； 2.复述并不是照着读出来或死记硬背，而是用自己的话去理解 ，想象如果你要把
这个讲给别人听，你会怎样讲。 就像你按照前面的步骤对定于从句的理解是“定语部分是个从句”，就没必要死记
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必 备习惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完 整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完 整过程
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
87 76 65 78.3
91 88 73 85.4
92 75 72 80.3
88 86 75 75.7
95 80 82 82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学 习情况做一个分析。
例3 (P21)画出函数y=|x|的图象.
例4(P21)．某市“招手即停”公共汽车的票价按 下列规则制定：
（1） 5公里以内（含5公里），票价2元；
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人 学得慢
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
场景记忆法小妙招
超级记忆法--身 体法
1. 头--神经系统 2. 眼睛--循环系统 3. 鼻子--呼吸系统 4. 嘴巴--内分泌系统 5. 手--运动系统 6. 胸口--消化系统 7. 肚子--泌尿系统 8. 腿--生殖系统
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用身体记忆法时，可以与前面提到过的五感法结合起来，比如产生 一 些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，记忆印象会更加深刻； TIP2：采用一些怪诞夸张的方法，比如上面例子中腿上面生长出了很多植物， 正 常在我们常识中不可能发生的事情，会让我们印象更深。
⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量 的函数关系
优点：不需要计算就可以直接看出与自变 量的值相对应的函数值.
⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之 间的关系.
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相 应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通 过图象来研究函数的某些性质.
二．例题讲解：
例1（书P19）.某种笔记本的单价是5元，买 x
（图片来自网络）
费曼学习法--实操步
1 骤 获取并理解
2 根据参考复述
费
3 仅靠大脑复述 反思总结
习
6 实践检验
法
费曼学习法-实操
第一步 获取并理解你要学习的内容
（一） 理 解 并 获 取
1.知识获取并非多多益善，少而精效果反而可能更好，建议入门时选择一个概念或 知识点尝试就好，熟练使用后，再逐渐增加，但也不建议一次性数量过多（根据自 己实际情况，参考学霸的建议进行筛选）； 2.注意用心体会“理解”的含义。很多同学由于学习内容多，时间紧迫，所以更 加急于求成，匆匆扫一眼书本，就以为理解了，结果一合上书就什么都不记得了。 想要理解，建议至少把书翻三遍。
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加 1元（不足5公里按5公里计算）． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题 意，写出票价与里程之间的函数解析式，并 画出函数的图象．
练习：
x 2(x 1)
1．在函数
f
(x)
x
2
(1
x
2)
中，若 f (x) 3
则x的值为
2x(x 2)
。
3
3x2 2 (x 0)
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4 天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场 景法
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故 事法
• 鲁迅本名：周树人 • 主要作品：《阿Q正传》、、 《药》、
• 《狂人日记》、《呐喊》、 《孔乙己》
• 《故乡》、《社戏》、《祝 福》。
（图片来自网络）
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：NPC代入，把自己想成其中的人物，会让自己的记忆过程更加有趣 （比如你穿越回去，成为了岳飞的母亲，你会在什么背景下怀着怎样的心情在 背 上刺下“精忠报国”四个字）； TIP2：越夸张越搞笑，越有助于刺激我们的大脑，帮助我们记忆，所以不妨在 编 故事时，让自己脑洞大开，尝试夸张怪诞些~
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。