第二类曲面积分

d →0 i =1
n
其中d为n个子曲面的最大直径 定义 设R(x,y,z)是定义在有向曲面Σ上的有界函数, n 0 , 将Σ任意分成n个子曲面 ∆Si , Σ的单位法向量为 ∆Si 在xoy面上的投影为 ∆S i ,xy , ∆Si 上任取一点 n (ξ i ,ηi , ζ i ), 作和式 ∑ R (ξ i ,η i , ζ i ) ∆ S i , xy
Φ ≈ ∑ [ P (ξ i ,ηi , ζ i )∆Si , yz + Q(ξ i ,ηi , ζ i )∆Si , zx + R (ξ i ,ηi , ζ i )∆S i , xy ]
i =1
n
Φ = lim ∑ [ P(ξ i ,ηi , ζ i )∆Si , yz + Q(ξ i ,ηi , ζ i )∆Si , zx + R(ξ i ,ηi , ζ i )∆Si , xy ]
两者的在yoz面上投影域同为 D yz : − z ≤ y ≤ z ,0 ≤wk.baidu.comz ≤ a
Σ 3 : z = a 上侧 在yoz面上的投影为零
Φ1 = ∫∫ xdydz = ∫∫ xdydz + ∫∫ xdydz + ∫∫ xdydz
Σ
Σ1 Σ2
Σ3
= ∫∫ xdydz + ∫∫ xdydz
= − ∫∫ − z 2 − y dydz + ∫∫ z 2 − y 2 )dydz
Σ
lim ∑ P (ξ i , η i , ζ i ) ∆ S i , yz
d →0
n
∫∫ Q( x, y, z)dzdx =
Σ
lim ∑ Q (ξ i , η i , ζ i ) ∆ S i , zx
d →0 i =1
i =1 n
注: (1)若∑是封闭曲面，则上述积分记为 :
∫∫ R ( x , y , z ) dxdy
n 0 = cos α i + cos β j + cos γ k 为Σ的单位法向量 则 Φ = ( v ⋅ n 0 )∆S =| v | cos( v, n 0 )∆S 其坐标表示式
Φ = ( Pi + Qj + Rk ) ⋅ (cos α i + cos β j + cos γ k ) ∆ S = P cos α ∆ S + Q cos β ∆ S + R cos γ ∆ S = P ∆ S yz + Q ∆ S zx + R ∆ S xy
高斯公式
证 设闭区域 在 xoy 面上的投影域为 D xy 边界曲面Σ与平行于 z 轴的直线相交不多于两点,
则Σ分成上下两曲面
Σ2
Σ1 : z = z1 ( x, y ) 下侧
Σ 2 : z = z 2 ( x, y ) 上侧
z 2 ( x , y ) ∂R ∂R ∫∫∫ ∂z dv = D {∫z1 ( x, y ) ∂z dz}dxdy ∫∫ Ω xy
Σ
则流量
Φ = ∫∫ xdydz + 2 ydzdx + 3 zdxdy = ∫∫ xdydz + ∫∫ 2 ydzdx + ∫∫ 3 zdxdy
Σ Σ Σ
Φ1
Φ2
Φ3
(1) 求 Φ1 = ∫∫ xdydz
Σ
Σ = Σ1 + Σ 2 + Σ 3
Σ1 : x = − z 2 − y 2 后侧
Σ 2 : x = z 2 − y 2 前侧
Σ1 : z = − 1 − x 2 − y 2 下侧 Σ 2 : z = 1 − x 2 − y 2 上侧
两者的投影域相同,为
D xy : x 2 + y 2 ≤ 1( x ≥ 0, y ≥ 0 )
Σ2 Σ1
∫∫ xyzdxdy
Σ
= ∫∫ xyzdxdy +
Σ1
∫∫ xyzdxdy
Σ2
= ∫∫ xy 1 − x 2 − y 2 dxdy − ∫∫ xy (− 1 − x 2 − y 2 )dxdy
例3.∫∫ [ f ( x, y, z ) + x]dydz + [2 f ( x, y, z ) + y ]dzdx + [ f ( x, y, z ) + z ]dxdy，
Σ
其中 f 为连续函数, Σ为平面x − y + z = 1在第四卦限部分的上侧
∫∫[ f ( x, y, z ) + x]dydz + [2 f ( x, y, z ) + y]dzdx + [ f ( x, y, z ) + z ]dxdy
空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系
设函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在空间闭区域 上具有一 阶连续偏导数,则:
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Ω Σ
其中Σ是 的边界曲面外侧
∆Φ i ≈ v (ξ i ,ηi , ζ i ) ⋅ n i0 ∆Si
n i0 Σ在该点的单位法向量为
= [ P(ξ i ,ηi , ζ i ) cos α i + Q(ξ i ,ηi , ζ i ) cos β i + R (ξ i ,ηi , ζ i ) cos γ i ]∆S i
cos α i ∆S i ≈ ∆S i , yz , cos β i ∆S i ≈ ∆S i ,zx , cos γ i ∆S i ≈ ∆S i , xy
Φ 4 : z = x 2 + y 2 下侧
投影域都是 D xy : x 2 + y 2 ≤ a 2
Φ 3 = ∫∫ 3adxdy − ∫∫ 3 x 2 + y 2 dxdy
Dxy
= 3πa − 3∫ dθ ∫ r 2 dr = πa 3
3 0 0
2π
Dxy
a
由(1),(2),(3)得 Φ = Φ1 + Φ 2 + Φ 3 = 2πa 3
Σ
∂Q ∫∫∫ ∂y dv = ∫∫ Qdzdx Ω Σ
三式相加
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Ω Σ
如果曲面Σ与平行于 z 轴的直线相交多于两点,则将 分成小块,利用区域的可加性易证. 注意:对于闭曲面上的第二类曲面积分,利用高斯公式 化成三重积分计算简便. 例1.(上节例题2) 高斯公式
Dxy Dxy
= 2 ∫∫ xy 1 − x 2 − y 2 dxdy
Dxy
= ∫ sin 2θ dθ ∫ r 3 1 − r 2 dr = 2
2
π
1
0
0
15
例2 计算流速为 v = {x,2y,3z}的不可压缩流体在单位 时间内穿过 x 2 + y 2 ≤ z 2 (0 ≤ z ≤ a) 表面外侧的流量Φ 解 设ρ=1
Σ
= ∫∫ [( f + x) cos α + (2 f + y ) cos β + ( f + z ) cos γ ]dS
Σ
=
=
1
1
∫∫[( f + x) − (2 f + y) + ( f + z )]dσ 3
D
D
∫∫ ( x − y + z )dσ 3
1 = 2
三 高斯公式
定理 (高斯定理)
例: 流体的流量 设不可压缩流体(设ρ=1)稳定流动,其流速为 v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k, i j k 其中P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在有向曲面Σ上 连续,求单位时间内流过曲面Σ正侧的流量Φ. 如果Σ是平面,面积为△S,流速v=Pi+Qj+Rk为常向量 i j k
第五节 对 坐 标的曲面积分
第五节 对坐标的曲面积分
一.对坐标的曲面积分的概念与性质 对坐标的曲面积分的概念与性质 曲面的方向 双侧曲面有两个侧面，任意规定一个 侧面为正侧，另一个侧面便是负侧 Σ Σ为封闭曲面: 一般外侧为正侧,内侧为负侧. Σ : , . Σ为非封闭曲面: 由曲面上法向量的方向来确定正负侧. 例如:曲面x=x(y,z),如果法向量指向前,则确定前侧为正 侧,后侧为负侧 这种取定了法向量也就确定了侧的曲面叫有向曲面 -Σ
Σ1
D xy
1
由曲面积 分计算法
=
∫∫{R[ x, y, z ( x, y)] − R[ x, y, z ( x, y)]}dxdy
2 Dxy
= ∫∫ R( x, y, z )dxdy + ∫∫ R ( x, y, z )dxdy
Σ2 Σ1
= ∫∫ R( x, y, z )dxdy
同理
∂P ∫∫∫ ∂x dv = ∫∫ Pdydz Ω Σ
∫∫ R( x, y, z )dxdy = lim ∑ R (ξ ,η , ζ
Σ
d →0 i =1 i i
i =1 n
i
) ∆ S i , xy
R(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标x,y的曲面积分(第二类)
同理P(x,y,z), Q(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标y,z 和z,x的曲面积分为
∫∫ P( x, y, z)dydz =
Φ = ∫∫ xdydz + 2 ydzdx + 3 zdxdy
= ∫∫∫ (1 + 2 + 3)dv = 6V = 2πa 3
Ω
Σ
( y − x 2 + z 2 )dydz + ( x − z 2 + y 2 )dzdx + ( z − y 2 + x 2 )dxdy 例2 ∫∫
Σ
2 2 2 Σ为 z = x + y (0 ≤ z ≤ a ) 下侧
解
非封闭曲面,不能直接用高斯公式,可以加辅助曲面:
Σ1 : z = a 2 上侧
Σ + Σ1
( y − x 2 + z 2 )dydz + ( x − z 2 + y 2 )dzdx + ( z − y 2 + x 2 )dxdy ∫∫
πa 4
2
= ∫∫∫ (−2 x + 2 y + 1)dv = ∫∫∫ dv =
Σ
Dxy
注意： Σ取上侧时为正号; Σ取下侧时为负号. (2). 设Σ的方程为: x=x(y,z) ∫∫ P( x, y, z )dydz = ± ∫∫ P[ x( y, z ), y, z ]dydz
Σ
D yz
注意： Σ取前侧时为正号; Σ取后侧时为负号. (3). 设Σ的方程为: y=y(z,x)
Σ
(2)如果f(x,y,z)在曲面∑上连续，则曲面积分存在 (3) 常见组合积分 (例如流量Φ)
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
(4) 基本性质与第一类曲面积分类似,两类积分的最主要 的区别为
∫∫ R( x, y, z )dxdy =
−Σ
− ∫∫ R( x, y, z )dxdy
Ω
( y − x 2 + z 2 )dydz + ( x − z 2 + y 2 )dzdx + ( z − y 2 + x 2 )dxdy ∫∫ = ∫∫ ( z − y 2 + x 2 )dxdy =
Σ1 Σ1
Ω
(a 2 − y 2 + x 2 )dxdy ∫∫
Dxy
=
3 πa 4 2
( y − x 2 + z 2 )dydz + ( x − z 2 + y 2 )dzdx + ( z − y 2 + x 2 )dxdy ∫∫
D yz D yz
Σ1
Σ2 2
= 2 ∫∫ z 2 − y 2 dydz =
D yz
πa 3
3
2 3 (2).同理 Φ 2 = ∫∫ 2 ydzdx = πa 3 Σ
(3). Φ 3 = ∫∫ 3 zdxdy = ∫∫ 3 zdxdy + ∫∫ 3 zdxdy
Σ Σ3 Σ4
Φ 3 : z=a 上侧
Σ分别在yoz,zox,xoy面上的投影
一般情况, Σ是曲面,v的大小和方向都变化. 将Σ任意分成n个子曲面 ∆Si , ∆S i 在yoz,zox,xoy面上的投影分别为
∆S i , yz , ∆S i ,zx , ∆S i , xy
∆S i 上任取一点 M i (ξ i ,ηi , ζ i ),
∫∫ Q( x, y, z )dzdx = ± ∫∫ Q[ x, y( z, x), z ]dzdx
Σ
Dzx
注意： Σ取右侧时为正号; Σ取左侧时为负号.
例1
计算
∫∫ xyzdxdy
Σ 2
其中Σ为 x + y 2 + z 2 = 1 外侧在 x ≥ 0, y ≥ 0 的部分 解
Σ = Σ1 + Σ 2
Σ
=
Σ + Σ1
∫∫
− ∫∫
Σ1
3π a 4 = − = −π a 4 2 2
Σ
对第二类曲面积分,必须注意曲面所取的侧 二、对坐标的曲面积分的计算法 化成∑的投影区域上的二重积分 (1) 设∑的方程为: z=z(x,y) ,Σ在xoy面上的投影为 D xy z(x,y) 在 D xy 上有一阶连续偏导数, 可以证明:
∫∫ R( x, y, z )dxdy = ± ∫∫ R[ x, y, z ( x, y)]dxdy