第二类曲面积分ppt

面积), (i ,i , i )是 Si 上任意取定的一
)表示该点处的单位法向量，作和式：
nF (i,i,i)n 0(i,i,i) Si
i1
如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时, 上面和式
有极限（极限值与区域的分法和点的取法无关），则称此
-
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极限值为向量函数
F n0 dS P cos Q cos Rcos dS
Pdydz Qdzdx Rdxdy
——第二类曲面积分的坐标表示
用曲面法向量的指向规定曲面的侧，
规定了侧的曲面称为有向曲面。
-
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曲面侧的具体规定如下：
（1）若的方程为 z z(x, y)： 规定：法向量与 z 轴正向的夹角为锐角的一侧称
为 的上侧（正侧），另一侧称为下侧（负侧）。
（2）若的方程为 x x( y, z)： 规定：法向量与 x 轴正向的夹角为锐角的一侧称
典
型
双 侧
n
曲
面
-
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典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
-
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定义：
设为一光滑曲面 M为 ，上任意一点， 在M处的法向量有两个，指取向定一个指 向，记为n，若动点M 从点出发，在上不 越过边界移动，最到后 M回 点时， n的方向 没有改变，则为 称双侧曲面。否则单称为 侧曲面。
一侧的流体的质量 。
解： 利用微元法
o
y
分割、近似、求和、取极限
x
-
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1.分割 把曲面 Σ 分成n小块Si(Si同时也代表
第i 小块曲面的面积),
在 S i 上任取一点
(i ,i , i ),
z Si
ni
vi
(i ,i , i )
则该点流速为 vi
•
单位法向量为 ni0 .
o
y
x
-
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则该点流速为：
v i v (i,i,i)
P (i,i,i) i Q (i,i,i)j R (i,i,i) k ,
记该点处曲面 Σ 的单位法向量为：
n i 0 ci i o cs i j o cs i k os
2.近似 通过Si流向指定侧的流量的近似值为
F n0 dS P cos Q cos Rcos dS
——两类曲面积分之间的关系
我们常用记号dydz，dzdx ，dxdy表示面积微元dS 在 yoz平面，zox平面， xoy平面上的有向投影，即
dyd co z ds,S dz d cx o ds,S dxdcyo dsS
则
-
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正、负侧分别记为 ，。
-
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二、第二类曲面积分
引例: 流体流向曲面一侧的流量.
(1) 流速场为常向量 v，有向平面区域 A，求单
位时间流过 A 的流体的质量
(假定密度为
v
1).
A
n0
流量
Avcos
Av
n0
v
A
-
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（2）设稳定流动的不可压缩流体（假定其密度为 1） 的速度场为
v ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k
设 Σ 是速度场中的一片有向曲面，
函数 P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)在 Σ 上连续，
z
求在单位时间内流向 Σ 指定
当Σ 是封闭曲面时，第二类曲面积分常记作
F (x,y,z)dSFn0dS
-
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r
若 F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z )
n r 0 ( x , y , z ) c o s , c o s , c o s ， 则
vi ni0Si (i 1,2, , n).
3.求和 通过 Σ 流向指定侧的流量
n vi ni0Si
i 1
-
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n
[P(i ,i , i ) cosi Q(i ,i , i ) cos i
i 1
R(i ,i , i ) cos i ]Si
n
F(x, y,z)
在有向曲面
Σ 上沿指定
一侧 对坐标的曲面积分（或第二类曲面积分，或向量场
上的面积分），记作：
l i m 0i n 1 F r (i,i,i)n r 0 (i,i,i) S i
F (x ,y,z)n 0(x ,y,z)dS
F(x,y,z)dS（dS n0dS 称为有向面积元素）
为 的前侧（正侧），另一侧称为后侧（负侧）。
-
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（3）若的方程为 y y(z, x)： 规定：法向量与 y 轴正向的夹角为锐角的一侧称
为 的右侧（正侧），另一侧称为左侧（负侧）。
（4）若 为封闭曲面: 规定：法向量朝外的一侧称为 的外侧（正侧），
朝内的一侧称为内侧（负侧）。
第五节
第十章
第二类曲面积分
一、有向曲面 二、第二类曲面积分的
概念与性质
三、第二类曲面积分的 计算
-
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一、有向曲面
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
-
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曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
)xz
R(i ,i , i )(Si )xy ]
-
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第二类曲面积分的定义：
设 Σ 为光滑的有向曲面，取定一侧，记这一侧的
单位法向量为n0 ( x,
y,
z)。又设向量函数
F(
x,
来自百度文库
y, z)在Σ
上
有定义。把 Σ 任意分成 n块小曲面Si(Si同时又表示
第i 块小曲面的 点，n0 (i ,i , i
[P(i ,i , i )(Si ) yz Q(i ,i , i )(Si )xz
i 1
R(i ,i , i )(Si )xy ]
3.取极限 0 取极限得到流量的精确值.
lim
0
n i 1
vi
ni0Si
n
lim
0
[ P ( i
i 1
,i ,
i
)(Si
) yz
Q(i
,i ,
i
)(Si