二次曲面

y
x
一、二次曲面
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 M ( x, y, z ) , 则 AM BM , 即
( x 1) ( y 2) ( z 3)
2 2
2
( x 2) 2 ( y 1) 2 ( z 4) 2 化简得 2 x 6 y 2 z 7 0
轴 . 例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 给定 yoz 面上曲线 C:f ( y, z ) 0
若点 M1 (0, y1 , z1 ) C , 则有
z
C
M 1 (0, y1 , z1 )
f ( y1 , z1 ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z ) , 则有 故旋转曲面方程为
二、空间曲线的一般方程
1、空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
空间曲线的一般方程
注：表示同一条曲线的方程不唯一。
x
z
S1
S2
o
C
y
例1 柱面 f(x,y)=0的准线方程： f ( x, y) 0 z 0
则M 0 M // l
M0
M
x x0 y y0 z 1 1 1
x0 x z , y0 y z
( x z )2 ( y z )2 1为柱面方程。
（三）旋转曲面
定义. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
由于高度不变, 有 z z1 ,
又 M 和 M1 到 z 轴的距离 r 不因旋转而改变 ,
2 故 r 2 1 y1 x 2 y 2 , 由于 z z1 y1 ,
故所求旋转曲面方程为 x 2 y 2 z 2 1.
x2 y 2 2 2 1 例4 求以椭圆 a 为准线，顶点在原点 b z c 的椭圆锥面方程。
2 y2 2 z2 1 . b c x 0
z
o x
y
椭球面的几种特殊情况：
x2 y2 z2 (1) a b, 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c 2 2 x z 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转而成． a c x2 y2 z2 2 1 方程可写为 2 c 2 a 2 x y z2 ( 2) a b c , 2 2 1 球面 2 a a a
z
L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为

y
两边平方
x
2
z a (x y )
2 2 2
x
例2. 求 xoz面上的双曲线 分别绕 x轴和 z 轴旋转一周 所生成旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为 x2 y2 z 2 1 2 2 a c 叫做双叶旋转双曲面.
绕 z 轴旋转 所成曲面方程为
证明： ( x, y, z )为锥面上的任意一点， M 它一定是一条 母线上的点。
X Y Z 此母线方程为 x y z x 0 y0 c 此母线与准线的交点为 x0 , y0 , c ) 则 ( x y z cx 2 cy 2 ( ) ( ) x2 y2 z2 xc yc z2 z2 1 2 2 2 . x0 , y0 z z a b a b c
准线为xoy 面上的抛物线.
o x
y
x y 0 表示母线平行于 z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
z
o
y
x
例 柱面的准线是xoy平面的圆周(中心在原点，半径 为 母线平行于直线l：x y z, 求此柱面方程。 1),
解：设M ( x , y , z )为柱面上任意一点
沿母线 M对应准线上一点 0 ( x0 , y0 ,0) , M
绕 z 轴旋转
点 M1绕 z 轴旋转,
这就是旋转曲面满足的参数方程 .
例如, 直线
绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
又如, xoz 面上的半圆周
绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
三、画二次曲面的截痕法
方程可写为 x 2 y 2 z 2 a 2 .
3.单叶双曲面 2 2 2
z
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 1)平面 z z1 上的截痕为 椭圆.
z z1
2
z12 x2 y 2 2 1 2 2 a b c
x
z
y
2) y1 b 时, 截痕为双曲线:
M ( x, y, z )
z z1 , x y y1
2 2
o
y
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
例1. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
（二）柱面
定义. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 z
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
如果定直线为z轴，讨论此柱面的方程？
准线C方程
P(x,y,z)
F ( x , y ) 0, z 0.
o P(x,y,0)
y
柱面上任取一点P(x,y,z) 沿母线与xoy平面交点P(x,y,0)
x2 y2 1 例2 方程组 表示怎样的曲线？ 2 x 3 y 3z 6
解
x 2 y 2 1 表示圆柱面，
2 x 3 y 3z 6 x2 y2 1 表示平面， 2 x 3 y 3z 6
交线为椭圆.
z a2 x2 y2 例3 方程组 a 2 a 2 表示怎样的曲线？ ( x ) y2 2 4
x
P(x,y,0)在准线上，从而柱面上 任一点P的坐标均满足方程 F(x,y)=0.
柱面方程：F(x,y)=0
一般地,在三维空间
z
y
l1
方程 F ( x, y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
x
zl 2
y
方程 G ( y, z ) 0 表示柱面,
x z 2 1 (实轴平行于x 轴； 2 a c b y y1 虚轴平行于z 轴）
3)
2
2 y1 2
o
y
y2 z2 2 1 2 b c
x
x0
双曲线:
ຫໍສະໝຸດ Baidu. 双叶双曲面
S
o
F ( x, y, z ) 0
x
y
（一）球面
求动点到定点 设轨迹上动点为
即 距离为 R 的轨迹 依题意
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R
故所求方程为 特别,当M0在原点时,球面方程为
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 z
解
z a2 x2 y2
上半球面,
a 2 a2 圆柱面, ( x ) y2 2 4
交线如图.
练习
x 1 (1) y2
z 4 x y (2) yx0
2
2
z
z
1
o o
2 y
o x
2y
x
空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) z z(t )
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
M0
M
o x
y
例. 研究方程
的曲面. 解: 配方得 此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
表示怎样
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是
一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
三元二次方程
Ax 2 By 2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 基本类型: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 画二次曲面的基本方法: 截痕法
z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？ 例 方程
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
x
z
l3
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
x
y
z
例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
解:， 表示准线为xoy面的圆C,
母线平行于z轴
C o
y
x
l
圆柱面.
z
表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
空间曲线的向量函数表示
r(t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
螺旋线： 空间点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角 速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴 的正方向上升（其中 、v 都是常数），点 M 构成 的图形
z
取时间t为参数，
用平面 x=1 去截图形为 x=1
z ( y 2) 2 1 平面抛物线 x 1 ：
1. 椭圆锥面
x2 y2 2 z 2 ( a, b 为正数 ) 2 a b 在平面 z t 上的截痕为 椭圆 x2 y2 1 , z t 2 2 (at ) (bt )
解 根据题意有 z 1
用平面z c 去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
最底点（1，2，-1）
在平面 x＝0 或 y＝0 上的 截痕为过原点的直线 .
x
z
o x
y
z
y
2.椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
图形有界，并且关于坐标面对称。
椭球面与 三个坐标面 的交线：
2 z2 x2 2 1 , a c y 0
2 y2 x2 2 1 a b , z 0
o
y
z
x
x y z 2 1 2 a c
2 2 2
o
y
z
叫做单叶旋转双曲面.
例3
x 1 y z 直线 L : 绕 z 轴旋转一周, 0 1 1 求旋转曲面的方程.
设直线上一点 M1 (1, y1 , z1 ) 有 y1 z1 ,
解
旋转后 M1 (1, y1 , z1 ) 到达 M ( x , y, z ) 位置
定义. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
z
解
x a cos t y a sin t 螺旋线的参数方程 z vt
t
o
x A
M

r(t ) (a cos t, a sin t, vt )
y
M
例. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
例. 求空间曲线 : 时的旋转曲面方程 . 解: 转过角度 后到点 则
重点：常见曲面方程 难点：曲面围成的空间区域在坐标面投影
复习： 1、平面一般式方程
Ax By Cz D 0
z
n
2、直线方程一般式方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C 2 z D2 0
o
y
x
z
1 2
o L
第11章 多元函数微分法 §11-0 平面及其方程 .二次曲面
知识逻辑关系图 二 次 曲 面
曲面方 程定义 几种常见 曲面方程 曲面交线为 空间曲线一 般式方程 曲面围成的空间区 域在坐标面投影 二次曲面 定义 空间曲线 参数式方 程 截痕法
空间曲 线投影 柱面坐标如何 表示空间区域 球面坐标如何 表示空间区域