第二类曲面积分概念与性质

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第二类曲面积分

i
S i , yz , S i , zx , S i , xy
Si

v ( i , i , i ) n i S i
0
Σ 在该点的单位法向量为 n i
0
[ P ( i , i , i ) cos i Q ( i , i , i ) cos i R ( i , i , i ) cos i ] S i
第五节对坐标的曲面积分
第五节对坐标的曲面积分
一.对坐标的曲面积分的概念与性质
曲面的方向双侧曲面有两个侧面，任意规定一个侧面为正侧，另一个侧面便是负侧
为封闭曲面: 一般外侧为正侧,内侧为负侧. 为非封闭曲面: 由曲面上法向量的方向来确定正负侧. 例如:曲面x=x(y,z),如果法向量指向前,则确定前侧为正侧,后侧为负侧这种取定了法向量也就确定了侧的曲面叫有向曲面 -

x ) cos ( 2 f y ) cos ( f z ) cos ]dS

1 3
1 3
[( f
D
x ) ( 2 f y ) ( f z )] d
y z )d
( x
D

1 2
三高斯公式
定理 (高斯定理)
空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系

R ( x , y , z ) dxdy
(2)如果f(x,y,z)在曲面∑上连续，则曲面积分存在
(3) 常见组合积分 (例如流量Φ)

Pdydz Qdzdx Rdxdy
(4) 基本性质与第一类曲面积分类似,两类积分的最主要的区别为

数学分析第二曲面积分解析

(
si
同时也代表
zSi
ni
vi
(i ,i , i )
•
法向量为
ni
.
o
y
x
vi
v(i ,i , i
)
P(i ,i , i )i Q(i ,i , i ) j R(i ,i , i )k ,
该ni0点处co曲s面iiΣ的co单s 位i j法向co量s
i
k
,
2、近似
通过 si 流向指定侧的流量的近似值为
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和右侧
曲面分上侧和下侧

曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型双侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
设连通曲面 S 上处处有连续
ML
变动的切平面（或法线）
M0
设 M0 为曲面 S 上一点，确定
曲面在M0 点的一个法线
S
方向为正方向，另一个方向为负方向.
f (x, y, z) dS g(x, y, z) dS;
(3) 若可分为分片光滑的曲面 1及2 , 则
f (x, y, z) dS f (x, y, z) dS g(x, y, z) dS.
1
2
特别，当 f ( x, y, z) 1时， dS 的面积。
计算法
1. 若曲面 : z z( x, y); 则
注意：这里曲面方程均是单值函数。
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
上侧
内侧
外侧
下侧
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧

高数3(第十二章第5、6、7节)

说明：说明：
(1) 函数 P, Q, R 中变量 x, y, z 不独立受到不独立, 曲面∑方程的限制方程的限制；曲面∑方程的限制； (2)
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ Σ Σ r 其中 V = {P , Q , R }, v dS = {dydz , dzdx , dxdy } 为有向面积元素
2011年3月28日高等数学 A（三） 7
记作
∫∫Σ R( x, y, z)dxdy = lim ∑ R(ξ i ,ηi ,ζ i )( ∆Si ) xy λ →0
i =1
n
类似可定义：类似可定义： P(x, y, z) 在有向曲面∑上对坐标 y, z 的曲面积分在有向曲面∑
n
∫∫Σ P( x, y, z)dydz = lim ∑ P (ξ i ,ηi ,ζ i )(∆Si ) yz λ →0 i =1
解：曲面向 yoz平面投影时平面投影时, 平面投影时 z
2
Σ : x = ± 1 − y2
− 1 ≤ y ≤ 1 (前后曲面 D y z : 前后曲面) 前后曲面 0≤ z≤2
平面投影时, 曲面向 xoy平面投影时平面投影时
1
x
y
投影为曲线, 投影为曲线无 Dx y ,
即
∫∫ Σ
e x sin y dxdy = 0 .
2011年3月28日
高等数学 A（三）
20
§6 高斯公式通量与散度
2011年3月28日
高等数学 A（三）
21
一、高斯(Gauss)公式高斯(Gauss)
格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系, 之间的关系, 而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。的曲面积分之间的关系。

11.5第二类曲面积分

v

A
A
0 n
流量 v A cos 0 v n A v A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y, z ) P ( x , y, z )i Q( x , y, z ) j R( x , y, z )k
2 2 2 2 x dydz x dydz x dydz a dydz 0dydz 3 4
D yz D yz

例 1 计算曲面积分 x2dydz y 2dzdx z 2dxdy 其中是长
方体的整个表面的外侧 {(x y z)|0xa 0yb 0zc} 解把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为3和 4 左右面分别记为5和6 除3、4外其余四片曲面在yOz 面上的投影为零因此
要注意到,这里的dydz ,dzdx , dxdy可能为正也可能
为负, 甚至为零, 而且当 n改变方向时,它们都要改
变符号, 与二重积分的面积微分元 dxdy 总取正值是有区别的.
（1）、存在条件:
当 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在有向光滑曲面Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在.
（2）、物理意义:
P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy

（3）第二类曲面积分与有向曲面的法向量的指向有
关。如果改变曲面的法向量的指向, 则积分要改
变符号, 即 A ndS A ndS .
D yz
(前正后负)

第二类曲面积分的计算方法-第二类曲面积分

第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法,参数法，单一坐标平面投影法,分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积分区间对称性,向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes 公式向量计算形式1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中,必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。

由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点，许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法,并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分,曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用。

2 预备知识2．1第二型曲面积分的概念 2。

1.1 流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1)的速度为(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++,∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量cos cos cos n i j k αβ=++则cos .S v S v n θΦ==⋅⋅若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ.(1) 分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ∆=∆…,),同时代表其面积。

(2) 近似(,,)i i i i i M S ξηζ∀∈∆，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ∆上其他各点处的流速和单位法向量,得到流过i S ∆指定侧的流量的近似值:∆Φ(1,2,i i i S v n i n ≈∆⋅⋅=…,).（3) 求和Φ≈1niiii v n S=⋅⋅∆∑(4）取极限101max{},=.limniii niiT i T S v n S ≤≤→==∆Φ⋅⋅∆∑设的直径则这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分.2。

第五节第二类曲面积分PPT课件

2
Dxy
所以 z 2 d x d y z2 d x d y
6
4
0
3 2
5
by
1
a
1:zc, 取上侧
x
D xy:0xa, 0yb z 2 d x d y c2 d x d y c2ab
Dxy
18
例1. 计算Ix2dydzy2dzdxz2dxdy
其中 : 0 x a , 0 y b , 0 z c .取外侧 z
其中 1:za 2x 2y2代表上半球面，
2:z a 2 x 2y 2代表下半球面，此时，1和2均应分为上、下两侧
5
若取外侧，则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
1
1 应取上侧， 2 应取下侧，
若取内侧，则 1 应取下侧， 2 应取上侧，
0
y
x
•有向曲面其方向用法向量指向表示 :
2
方向余弦 co s cos
cos 封闭曲面
向量场 A ( P ( x ,y , z ) Q ( , x ,y , z ) R ( x , ,y , z )若) 对, 的任
意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
n
lim
0
i
1
P (i, i, i) (S i)yz Q (i,i, i) (S i)zx R (i,i,i) (S i)xy
z
解：I xdydz1 a (za)2dxdy
Dyz:y2z2a2,
n 0
D xy y
x d y d z 2 a2y2z2dydz
Dyz
22d a a22d
0
2 a3 3
I 1a32a3 1 a 3
63

曲面积分

4: z=1-x-y, Dxy: x+y =1, x=0, y=0所围, ds= 3 dxdy ,
I= = 3 xy(1-x-y)dxdy = 3 D
4 xy
1 1-x xdx 0 y(1-x-y)dy 0
3 . 120
8
1 例3. 计算 I = ––––––––– ds , : x2+y2=R2 被 z=0, 2 2 2 x +y +z z 1 z=1所夹的第一卦限部分。(补充) 解: : x R y , x y
1
x
R
dydz; R 0
R
1
R 1 1 dz dy 2 2 2 2 0 R z R y
1 1 z y arctan . R arctan arcsin R R R0 R0 2
10
对坐标的曲面积分(P159)
一、对坐标的(第二类)曲面积分的概念与性质
1. 有向曲面: 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向
4. 规定: 若 =1+2 ,
则: f(x, y, z)ds= 1 f(x, y, z)ds+ 2 f(x, y, z)ds ;
5. 若f(x, y, z)1,则: f(x, y, z)ds=曲面的面积;
6. 若为闭曲面, 积分记为: f(x , y , z)ds 。
对面积的曲面积分有与对弧长的曲线积分类似的性质;
4
1 ds , 其中是x2+y2+z2=a2 被 z=h 例1. 计算 I = —— z 截出的顶部, 0< h < a 。
解: : z= a2 -x2-y2 , Dxy: x2+y2 a2-h2,

二型曲面积分

二型曲面积分
二型曲面积分是数学中的一个重要概念，它是对曲面上某个向量场的积分。

在物理学、工程学等领域中，二型曲面积分被广泛应用，例如计算电场、磁场等物理量。

二型曲面积分的计算方法与一型曲线积分类似，都是将曲面分成小块，然后对每个小块进行积分。

不同的是，二型曲面积分需要考虑曲面的法向量，因为向量场的积分方向必须与曲面的法向量方向一致。

具体来说，设曲面S是一个光滑的有向曲面，向量场F是一个连续可微的向量函数，那么二型曲面积分的计算公式为：
∬S F·dS = ∬S F·n dS
其中，n是曲面S的单位法向量，F·n表示向量F在n方向上的投影，dS表示曲面S上的面积元素。

需要注意的是，曲面的方向对二型曲面积分的结果有影响。

如果曲面的方向与法向量方向一致，那么二型曲面积分的值为正；如果曲面的方向与法向量方向相反，那么二型曲面积分的值为负。

二型曲面积分的应用非常广泛，例如在电学中，可以用二型曲面积分来计算电场的通量；在磁学中，可以用二型曲面积分来计算磁场的通量。

此外，在流体力学、热力学等领域中，二型曲面积分也有
着重要的应用。

二型曲面积分是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

掌握二型曲面积分的计算方法和应用，对于理解和解决实际问题具有重要的意义。

5-6第二类曲面面积分

n
存在条件:
当 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在有向光滑曲面Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在.
组合形式:
P ( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy

1
2.
P ( x , y, z )dydz P ( x , y, z )dydz

Q( x , y, z )dzdx Q( x , y, z )dzdx

R( x , y, z )dxdy R( x , y, z )dxdy

o
Dxy
y
x
(s) xy
R( x, y, z )dxdy lim R( i , i , i )( Si ) xy 0 i 1

n
取上侧, cos 0, 又 i z ( i , i )
n
( Si ) xy ( ) xy ,
lim R( i , i , i )( Si ) xy
解
x
1

把分成1和 2两部分
1 : z1 1 x 2 y 2 ; 2 : z2 1 x 2 y 2 ,
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2 1
xy 1 x y dxdy xy( 1 x y )dxdy
第六节第二类曲面积分
• • • • • • 一、曲面的侧二、概念的引入三、概念及性质四、计算法五、两类曲面积分的联系六、小结思考题
一、曲面的侧
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)

第二类曲面积分

d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y) A ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
P d y d z Q d z d x R d x d y A n d S A d S
2

26
例3. 设
夹成的锐角, 计算
是其外法线与 z 轴正向
解: I z 2 cos d S

Q( x , y , z )dzdx Q( x , y , z )dzdx

R( x , y , z )dxdy R( x , y , z )dxdy

表明，当积分曲面改变为相反侧时，对坐标的曲面积分要变号。
15
四、计算法（第二类曲面积分----化为二重积分）
若：y y( z , x )
(1)若取左侧，则法向量n朝左 ( 2)若取右侧，则法向量n朝右
n ( y ,1, y ) x z n ( y ,1, y ) x z
6
即有向曲面方向用法向量指向来表示：方向余弦侧的规定
cos
cos
cos
dS n dS (d ydz, dzdx, dxd y) 称为有向曲面元,
令 A ( P, Q, R), n (cos , cos , cos )
向量形式
A d S A n d S
A n A n ( A 在 n 上的投影)
A n dS
封闭曲面外侧
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧

12-5 第二类曲面积分

i =1 n
. .
按对面积的曲面积分的定义, 按对面积的曲面积分的定义,
= ∫∫ {P( x, y, z ) cos α + Q( x, y, z ) cos β + R( x, y, z ) cos γ }dS = ∫∫ V indS
∑ ∑
我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念. 我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念.
给出,∑是速度场中的一片有向曲面,函数给出, 是速度场中的一片有向曲面,
P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )
都在∑上连续, 都在∑上连续, 求在单位时间内流向∑ 时间内流向∑指定侧的流体的质量 Φ .
x
z
∑
o
y
E-mail: xuxin@
E-mail: xuxin@
为光滑的有向曲面, 函数在∑上有界, 定义设∑为光滑的有向曲面, 函数在∑上有界, 把∑分成 n块小曲面 Si ( Si 同时又表示第 i 块小曲面的面积), Si 在 xoy面上的投影为块小曲面的面积), (Si )xy , (ξi ,ηi ,ζ i )是 Si 上任意取定的一点, 上任意取定的一点, 如果当各小块曲面的直径的最大值 λ → 0时,
E-mail: xuxin@
存在条件: 存在条件
当 P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 在有向光滑曲面∑上连续时,对坐标的曲面积分存在. 曲面∑上连续时,对坐标的曲面积分存在.
(σ )xy 当cosγ > 0 时 (S)xy = (σ )xy 当cosγ < 0 时. 0 当cosγ = 0 时

第二曲面积分

一点M处的单位法向量, 其方向与曲面S侧的
选取一致.又设向量值函数
r F
x,
y,
z
P
x,
y,
z
r i
Q
x,
y,
z
r j
R
x,
y,
z
r
k
在曲面S上有界. 若数量值函数
rr F n0
在S上的第
一类曲面积分存在, 则称此积分值为向量值函数
r F
x,
y,
z
在有向曲面S上的第二类曲面积分,
记为
r F
r n0
'2 y
P x, y, zdydz Q x, y, zdzdx R x, y, z dxdy.
S
P cos Qcos Rcos dS
S
计算公式
[
P
x,
y,
z(
x,
y)
(
Z
' x
)
Q
x,
y,
z(
x,
y)
(
Z
' y
)
S
R( x, y, z( x, y)]dxdy
上侧取+, 下侧取-
1 r 2 dr
2
0
0
15
例4 计算I y2dzdx zdxdy, 其中S为柱面
S
x2 y2 2 y被平面z 0, z 1所截部分的外侧.
解左侧S1的方程为: y 1
y'x
x ,
1 x2
yz' 0
右S1的方程: y 1 1 x2 ,
1 x2 ,
y'x
x ,
1 x2
S

第二型曲面积分

n
积分曲面
被积函数
类似可定义
P ( x, y, z )dydz lim P ( i , i , i )( Si ) yz 0 i 1

n
Q( x, y, z )dzdx lim Q( i , i , i )( Si ) zx 0 i 1
§2 第二型曲面积分
教学内容： 1.曲面的侧 2.第二型曲面积分的概念 3.第二型曲面积分的计算教学重点：1.第二型曲面积分的方向性
教学难点：第二型曲面积分的概念与计算
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面的分类: 1.双侧曲面;
典型双侧曲面
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2 1
xy 1 x y dxdy xy( 1 x y )dxdy
2 2 2 2 D xy D xy
2 xy 1 x 2 y 2 dxdy
D xy
2 2 r sin cos 1 r rdrd . 15 D
对面积的曲面积分为 R( x , y, z ) cos dS R[ x , y, z( x , y)]dxdy
Dxy
所以 R( x , y, z )dxdy R( x , y, z ) cos dS

(注意取曲面的两侧均成立)
两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
通过si 流向指定侧的流量的近似值为
vi ni Si
( i 1, 2, , n).
(3). 求和通过Σ 流向指定侧的流量

第二类曲面积分

0 F ( i ,i , i ) n ( i ,i , i )Si
n i 1
如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时, 上面和式有极限（极限值与区域的分法和点的取法无关），则称此
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极限值为向量函数 F ( x , y , z ) 在有向曲面 Σ 上沿指定一侧对坐标的曲面积分（或第二类曲面积分，或向量场上的面积分），记作：

——两类曲面积分之间的关系
我们常用记号 dydz ，dzdx，dxdy 表示面积微元 dS 在 yoz 平面， zox 平面， xoy平面上的有向投影，即
dydz cos dS , dzdx cos dS , dxdy cos dS
则
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0 F n dS P cos Q cos R cos dS
0
i 1
i 1 n
R( i , i , i )( S i ) xy ]
机动目录上页下页返回结束
第二类曲面积分的定义：
设 Σ 为光滑的有向曲面，取定一侧，记这一侧的 0 单位法向量为 n ( x , y , z ) 。又设向量函数 F ( x , y, z ) 在Σ 上有定义。 Σ 任意分成 n块小曲面 Si ( Si 同时又表示把第 i 块小曲面的面积), ( i , i , i ) 是 Si 上任意取定的一 0 点， n ( i , i , i )表示该点处的单位法向量，作和式：
以后如不特殊说明我们总假定 P ( x, y, z ) ， Q( x , y , z )， R( x , y , z )在 Σ 上连续。

第二类曲面积分概念和性质

[F (
x,
y,
z
)
e n
(
x,
y
,
z
)]dS
存在, 则称此积分为向量值函数 F ( x, y, z)在有向
曲面上沿指定侧的第二类曲面积分, 记为
F ( x, y, z) dS
[
F(
x,
y,
z)
e n
(
x
,
y,
z
)]dS
注 1º第二类曲面积分的其他表达形式
(1) 若记s
i
cos
j
cos
k ，则
FF((xx, ,yy, ,zz))
deSn
(
x,
y,
z)
dS
[P( x, y, z)cos α Q( x, y, z)cos β R( x, y, z)cos γ ]dS
P( x, y, z)cos α dS Q( x, y, z)cos β dS
(2) 非闭曲面的侧
1) 上、下侧
若：z z( x, y)
上侧 : (n,轴z) 为锐角, cos 0 (P );
下侧 : (n,轴z) 为钝角, cos 0 (P ).
z
O
y
x
2) 左、右侧
z
若：y y( x, z)
右侧 : (n,轴y)
为锐角, cos 0 (P );
v
(P,Q,
R),
通过流向n 指定侧
流体的流量为:
Pd y d z Qd z d x Rdx d y.
6. 性质
(1) 线性性质：， R1
[α F 1 β F 2] dS α F 1 dS β F 2 dS
F(

第二型曲面积分

显然有 m a x S 的直径 . 这里 d ix ( y )
| || T |m a x S 的直径 0 d 0 . i
由于 R 在 S 上连续, z 在 D( xy) 上连续(曲面光滑), 据
( x ,y , zx ( ,y ) ) 在 D ( x y ) 上也连续. 复合函数的连续性, R

[ P ( , , ) c o s Q ( , , ) c o s i i i i i i i i

R ( ,, ) c o s ] S , i i i i i
其中 M (, , ) S 是任意取定的一点; i i i i i

S D z x
这里 S 是取法线方向与 y 轴的正向成锐角的那一一侧为正侧.
例1 计算 xyzd xd y ,
S
z
2 2 2 y z 1 其中 S 是球面 x
S
O
1
部分并取球面在x 0 ,y 0 的外侧（图22-6）. 解曲面 S 在第一、五卦限部分的方程分别为
x
y
S
2
图22 6
S1 : z1 1 x y ,
2 2
S2 : z2 1 x2 y2 .
它们在 x y 平面上的投影区域都是单位圆在第一象限
的上侧和 S 部分. 因积分是沿 S 的下侧进行, 故 1 2
x y z d x d y x y z d x d y x y z d x d y
定义1返回返回返回返回返回返回返回返回在曲面所指定一侧上的第二型曲面积分记作的选取无关则称此极限中的三个极限都存在且与分割返回返回返回返回据此定义某流体以速度从曲面又如若空间中的磁场强度为则按指定方向穿过曲面的磁通量磁力线总数为返回返回返回返回的另一侧由定义易知则有返回返回返回返回所组成则有返回返回返回返回三

2204第二型曲面积分的性质和计算

∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
S
k
= ∑ ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy . i =1 Si
数学分析第二十二章曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的计算
定理22.2
设 R( x, y, z)是定义在光滑曲面 = S : z z( x, y),( x, y) ∈ D( xy) .
第四讲第二型曲面积分的性质和计算
数学分析第二十二章曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质:
∫∫ 1. 若
Pidydz
+
Qidzdx
+
Ridxdy
(i
= 1,2, ,k
)
存在,
Sk
k
k
∫∫ ∑ ∑ ∑ 则有 ( ci Pi )dydz + ( ciQi )dzdx + ( ci Ri )dxdy
数学分析第二十二章曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
其投影为 D3 : 1 ≤ x2 + z2 ≤ 2.
I1 = ∫∫ S1
∫∫ e y dzdx = −
e dzdx
x2 + z2
D1 x2 + z2
∫ ∫ =
−e
2π dθ
0
11 rdr =
0r

第二类曲面积分的概念

(3) F( x, y, z) dS F( x, y, z) dS .
(4) 若为定向封闭曲面, 记为 F( x, y, z) dS .
P cos dS, Q cos dS,
同时存在, 则称积分
Rcos dS
(P cos Q cos Rcos )dS
为向量值函数
F ( x, y, z)
在定向曲面
上的积分，
或称第二类曲面积分，记为
F ( x, y, z) d S [F ( x, y, z) en ( x, y, z)]dS .
Pdydz Qdzdx Rdxdy
化
曲
其中
d S : 定向曲面元素；
公面
dxdy, dydz, dzdx :
d S 的坐标或的投影元素.
式积
二、第二类曲面积分的性质
(1) 若 F( x, y, z) 在分片光滑定向曲面上连续 , 则
F( x, y, z) d S 存在.
(2) 第二类曲面积分有线性性、定向曲面积分可加性.
(P cos Q积分的几个等价表达式：
F( x, y, z) d S [F ( x, y, z) en ( x, y, z)]dS
(P cos Q cos Rcos )dS
分
P
cos
dS
Q
cos
dS
R
cos
dS
两互类
第二类曲面积分的概念
一、第二类曲面积分的定义
定义：设为一定向光滑曲面, 向量值函数
F( x, y, z) (P( x, y, z) , Q( x, y, z) , R( x, y, z)) 在
上有界 , en ( x, y, z) (cos , cos , cos ) 是上

数学分析22.2第二型曲面积分(含习题及参考答案)

第二十二章曲面积分2 第二型曲面积分一、曲面的侧概念：设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面(或法线)，M为曲面S上的一点，曲面在M处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向是负方向。

设M0为S上任一点，L为S上任一经过点M0，且不超出S边界的闭曲线。

动点M在M0处与M0有相同的法线方向，且有：当M从M0出发沿L连续移动时，它的法线方向连续地变动，最后当M沿L回到M0时，若这时M的法线方向仍与M0的法线方向相一致，则称曲面S是双侧曲面；若与M0的法线方向相反，则称S是单侧曲面.默比乌斯带：这是一个典型的单侧曲面例子。

取一矩形长纸带ABCD，将其一端扭转180°后与另一端黏合在一起(即让A与C重合，B与D 重合(如图).注：通常由z=z(x,y)所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与z轴的正向的夹角成锐角的一侧为正侧(也称为上侧)时，另一侧为负侧(也称为下侧). 当S为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧.二、第二型曲面积分的概念引例：设流体以一定的流速v=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))从给定的曲面S 的负侧流向正侧，其中P ,Q,R 为所讨论范围上的连续函数，求单位时间内流经曲面S 的总流量E.分析：设在曲面S 的正侧上任一点(x,y,z)处的单位法向量为 n=(cos α,cos β,cos γ). 这里α,β,γ是x,y,z 的函数，则单位时间内流经小曲面S i 的流量近似地等于v(ξi ,ηi ,ζi )·n(ξi ,ηi ,ζi )△S i =[P(ξi ,ηi ,ζi )cos αi ,Q(ξi ,ηi ,ζi )cos βi ,R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi ]△S i , 其中(ξi ,ηi ,ζi )是S i 上任意取定的一点,cos αi ,cos βi ,cos γi 分别是S i 正侧上法线的方向余弦, 又△S i cos αi ,△S i cos βi ,△S i cos γi 分别是S i 正侧在坐标面yz, zx 和xy 上投影区域的面积的近似值, 并分别记作△S iyz ,△S izx ,△S ixy , 于是单位时间内由小曲面S i 的负侧流向正侧的流量也近似地等于 P(ξi ,ηi ,ζi )△S iyz +Q(ξi ,ηi ,ζi )△S izx +R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy ,∴单位时间内由曲面S 的负侧流向正侧的总流量为： E=}),,(),,(),,({lim 10ixy i i i ni izx i i i iyz i i i T S R S Q S P ∆+∆+∆∑=→ζηξζηξζηξ.定义1：设P , Q, R 为定义在双侧曲面S 上的函数，在S 所指定的一侧作分割T ，它把S 分成n 个小曲面S 1,S 2,…,S n 组，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}, 以△S iyz ,△S izx ,△S ixy 分别表示S i 在三个坐标面上的投影区域的面积, 它们的符号由S i 的方向来确定.若S i 的法线正向与z 轴正向成锐角时, S i 在xy 平面的投影区域的面积 △S ixy 为正. 反之，若S i 的法线正向与z 轴正向成钝角时, △S ixy 为负. 在各小曲面S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ). 若存在以下极限∑∑∑=→=→=→∆+∆+∆ni ixy iiiT ni izx iiiT ni iyz iiiT S R S Q S P 111),,(lim),,(lim),,(limζηξζηξζηξ，且与曲面S 的分割T 和(ξi ,ηi ,ζi )在S i 上的取法无关，则称此极限为函数P , Q, R 在曲面S 所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作：⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(, 或⎰⎰⎰⎰⎰⎰++SSSdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.注：1、流体以v=(P ,Q,R)在单位时间内从曲面S 的负侧流向正侧的总流量E=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.2、若空间磁场强度为(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),), 则通过曲面S 的磁通量(磁力线总数) H=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.性质：1、若⎰⎰++S i i i dxdy R dzdx Q dydz P(i=1,2,…,k)存在，则有dxdy R c dzdx Q c dydz P c k i i i k i i i S k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑⎰⎰∑===111=dxdy R dzdx Q dydz P c i i S i ki i ++⎰⎰∑=1,其中c i(i=1,2,…,k)是常数.2、若曲面S 是由两两无公共内点的曲面块S 1,S 2,…,S k 所组成，且⎰⎰++iS RdxdyQdzdx Pdydz(i=1,2,…,k)存在，则有⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =∑⎰⎰=++ki S Rdxdy Qdzdx Pdydz i1.三、第二型曲面积分的计算定理22.2：设连续函数R 定义在光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D xy 上, 以S 的上侧为正侧(即S 的法线方向与z 轴正向成锐角)，则有⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.证：由第二型曲面积分定义得⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni iiiT S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ=ixy ni i i i i d S z R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，其中d=max{S ixy 的直径}. ∴由T =ni ≤≤1max {S i 的直径}→0, 可推得d →0, 又R 在S 上连续，z 在D xy 上连续(即曲面光滑)，根据复合函数的连续性, R(x,y,z(x,y))在D xy 上也连续. 由二重积分的定义，有⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(=ixyni iiiid Sz R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.注：同理可得，当P 在光滑曲面S ：x=x(y,z), (y,z)∈D yz 上连续时, 有则有⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰yzD dydz z y z y x P ),),,((.这里S 是以S 的法线方向与x 轴正向成锐角的那一侧为正侧. 当Q 在光滑曲面S ：y=y(z,x), (z,x)∈D zx 上连续时, 有则有⎰⎰Sdzdx z y x Q ),,(=⎰⎰zxD dzdx z x z y x Q )),,(,(.这里S 是以S 的法线方向与y 轴正向成锐角的那一侧为正侧.例1：计算⎰⎰Sxyzdxdy ，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=1在x ≥0, y ≥0部分并取球面外侧.解：S 在第一、五卦限部分分别为：S 1：z 1=221y x --; S 2：z 2=-221y x --; D xy ={(x,y)|x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0}, 依题意积分沿S 1上侧和S 2下侧进行， ∴⎰⎰Sxyzdxdy =⎰⎰1S xyzdxdy +⎰⎰2S xyzdxdy=⎰⎰--xyD dxdy y x xy 221-⎰⎰---xyD dxdy y x xy 221=2⎰⎰-201023cos sin 1πθθθdr r r d =⎰2022sin 151πθθd =152.注：如果光滑曲面S 由参量方程给出：S: ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D.若在D 上各点的函数行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂不同时为0，则有 ⎰⎰SPdydz =⎰⎰∂∂±Ddudv v u z y v u z v u y v u x P ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SQdzdx =⎰⎰∂∂±Ddudv v u x z v u z v u y v u x Q ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SRdxdy =⎰⎰∂∂±Ddudv v u y x v u z v u y v u x R ),(),()),(),,(),,((, 其中正负号分别对应S 的两个侧，特别当uv 平面的正方向对应于曲面S 的所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号.例2：计算⎰⎰Sdydz x 3,其中S 为椭球面222222cz b y a x ++=1的上半部并选取外侧.解：把曲面表示为参数方程：x=asin φcos θ, y=bsin φsin θ, z=ccos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π. 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕc b b -=bcsin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 3=⎰⎰⋅20202333cos sin cos sin ππθθϕθϕϕd bc a d=⎰⎰2020453cos sin ππθθϕϕd d bc a =52πa 3bc.四、两类曲面积分的联系定理22.3：设S 为光滑曲面，正侧法向量为(cos α,cos β,cos γ), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.证：⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni i i i T S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 又△S i =dxdy ixyS ⎰⎰γcos 1. 由S 光滑知cos γ在区域S ixy 上连续. 应用中值定理，在S ixy 内必存在一点，使这点的法线方向与z 轴正向的夹角γi °满足 △S i =ixy i S ∆°cos 1γ,即△S ixy =cos γi °△S i .∴R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy =R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi °△S i . 于是ixy ni i i i S R ∆∑=1),,(ζηξ=i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ. 以cos γi 表示曲面S i 在点(x i ,y i ,z i )的法线方向与z 轴正向夹角的余弦，由cos γ的连续性，知当T →0时，i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ的极限存在, ∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰SdS z y x R γcos ),,(. 同理可证：⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰SdS z y x P αcos ),,(; ⎰⎰S dzdx z y x Q ),,(=⎰⎰SdS z y x Q βcos ),,(.∴⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.注：当改变曲面的侧时，左边积分改变符号，右边积分中的角要加减π以改变余弦的符号.定理22.4：设P , Q, R 是定义在光滑曲面S: z=z(x,y), (x,y)∈D 上的连续函数，以S 的上侧为正侧，则⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.证：cos α=221yx x z z z ++-, cos β=221yx y z z z ++-, cos γ=1, dS=221y x z z ++dxdy.∴⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰++SdS z y x R z y x Q z y x P )cos ),,(cos ),,(cos ),,((γβα=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.例3：计算⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(,其中S={(x,y,z)|z=x 2+y 2, z ∈[0,1]},取上侧.解：∵z x =2x, z y =2y,∴⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y x x x )]()2(2[2222=⎰⎰++-+-Ddxdy y x x x )])(12(4[222=⎰⎰+-+-πθθθ2010323])1cos 2(cos 4[drr r r d=⎰+--πθθθ202)41cos 52cos (d =2π-.注：由于x(x 2+y 2)是奇函数，∴⎰⎰+Ddxdy y x x )(22=0，又由对称性有⎰⎰Ddxdy x 2=⎰⎰Ddxdy y 2，∴例3中也可化简⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y xx x )]()2(2[2222=⎰⎰-Ddxdy x y )3(22=-⎰⎰Ddxdy x 22=-⎰⎰πθθ20123cos 2dr r d =-⎰πθθ202cos 21d =2π-. 习题1、计算下列第二型曲面积分：(1)⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 为由x=y=z=0, x=y=z=a 六个平面围成的立方体表面并取外侧为正向； (2)⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，其中S 为以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向； (3)⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为由x=y=z=0, x+y+z=1所围的四面体表面并取外侧为正向； (4)⎰⎰Syzdzdx ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的上半部分并取外侧为正向；(5)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 为球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R 2并取外侧为正向. 解：(1)∵⎰⎰-Sdydz z x y )(=⎰⎰⎰⎰+-aaaazdz ydy dz z a ydy 0000)(=24a ;⎰⎰Sdzdx x 2=⎰⎰⎰⎰-a aa a dx x dz dx x dz 002002=0;⎰⎰+Sdxdy xz y)(2=⎰⎰⎰⎰-+a aa a dy y dx dy ax y dx 022)(=24a .∴⎰⎰+++-S dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22=24a +24a =a 4.(2)∵⎰⎰+Sdydz y x )(=⎰⎰⎰⎰----+--+11111111)1()1(dz dy y dz dy y =8,⎰⎰+Sdzdx z y )(=⎰⎰+Sdxdy x z )(=8,∴⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(=24.(3)∵⎰⎰Sxydydz =⎰⎰---yydz z y dy 1010)1(=241,⎰⎰S yzdzdx =⎰⎰Szxdxdy =241. ∴⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz =81.(4)令x=sin φcos θ, y=sin φsin θ, z=cos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂x z =θϕθϕϕsin sin cos cos 0sin -=sin 2φsin θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Syzdzdx =⎰⎰ππθθϕϕϕ202320sin sin cos d d =4π.(5)令x=Rsin φcos θ+a, y=Rsin φsin θ+b, z=Rcos φ+c, 0≤φ≤π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕR R R -=R 2sin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 2=⎰⎰+ππθθϕθϕϕ202220cos sin )cos sin (d R a R d=⎰⎰++ππθθϕθϕθϕϕ202222333440)cos sin cos sin 2cos sin (d R a aR R d=⎰πϕϕπ033sin 2d aR=338aR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π. 解法二：令x=rcos θ+a, y=rsin θ+b, 则⎰⎰Sdxdy z 2=rdr r R c d R ⎰⎰-+022220)(πθ-rdr r R c d R⎰⎰--022220)(πθ=4c dr r R r d R⎰⎰-02220πθ=338cR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π.2、设某流体的流速为v=(k,y,0), 求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量.解：E=⎰⎰+Sydzdx kdydz , 又⎰⎰S kdydz =⎰⎰S dydz k -⎰⎰Sdydz k =0(注：球前+球后).∴E=⎰⎰Sydzdx =⎰⎰ππθθϕϕ20230sin sin 8d d =π332.3、计算第二型曲面积分I=⎰⎰++Sdxdy z h dzdx y g dydz x f )()()(, 其中S 是平行六面体0≤x ≤a, 0≤y ≤b, 0≤z ≤c 的表面并取外侧为正向, f(x),g(y),h(z)为S 上的连续函数.解：⎰⎰Sdydz x f )(=⎰⎰-cbdz f a f dy 00)]0()([=bc[f(a)-f(0)],同理有：⎰⎰Sdzdx y g )(=ac[g(b)-g(0)],⎰⎰Sdxdy z h )(=ab[h(c)-h(0)],∴I=bc[f(a)-f(0)]+ac[g(b)-g(0)]+ab[h(c)-h(0)].4、设磁场强度为E(x,y,z)=(x 2,y 2,z 2), 求从球内出发通过上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0的磁通量.解：设磁通量为φ, 则φ=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz .利用球坐标变换有⎰⎰Szdxdy =⎰⎰ππθϕϕϕ202320sin cos d a d =323a π.又由变换后的对称性，有φ=3zdxdy=2πa3.S。

曲面积分_第二类型

F dS 与 1
S
F
S
2
dS 存在, 则
k F + k F dS k F dS + k F dS ,
1 1 2 2 1 1 2 2 S S S
其中
k1 , k2
为任意常数．
3 F dS F dS + F dS .
.
0 得到流量 m 的精确值
n i 1
m lim vi ni Si
0
设 ni (cos i , cos i , cos i )
,则
P(i ,i , i ) cos i m lim 0 i 1
+ Q(i ,i , i ) cos i

x dydz x dydz + x dydz
2 2 2
前后前
z
0
y
2 2 + x dydz (4 y ) dydz
D yz
后
2 x dydz ( 4 y ) dydz 2
D yz
0 0
y
原式 0
x
y
例4
0 : x 2 + y 2 + z 2 1 介于 x 0, y 0 部分的外侧解 : z 1 x2 y2 z
8-5 第二型曲面积分 1. 双侧曲面 1.双侧曲面; 曲面的分类:
典型双侧曲面
2.单侧曲面.
n
动点在双侧曲面上连续移动(不跨越曲面的边界)并返回到起始点时,其法向量的指向不变.
• 曲面分类
双侧曲面
单侧曲面
曲面分上侧和下侧