第二类曲面积分概念与性质

F(x, y, z) P(x, y, z) i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
在Σ上有界, e n( x, y, z)是有向曲面上点( x, y, z)处
的单位法向量, 如果积分
[F (
x,
y,
z)
e
n
(
x
,
y,
z
)]dS
存在, 则称此积分为 向量值函数 F ( x, y, z)在有向
O
x
y
为钝角, cos 0 (P ).
3) 前、后侧若：x x( y, z)
前侧 : (n,轴x)为锐角, cos 0 (P );
(后)
(钝)
()
3. 有向曲面的投影
在有向曲面Σ上取一小块曲面ΔS, S在xOy面上的 的投影(S )xy为
(σ)xy
(S )xy
(σ ) xy
0
曲面上沿指定侧的第二类曲面积分, 记为
F ( x, y, z) dS
[F (
x,
y,
z
)
e n
(
x,
y
,
z
)]dS
注 1º第二类曲面积分的其他表达形式
(1)
若记
e
FF((xx,
n(x, y,z) ,yy,,zz)) deSn( x
cos , y,
z)
i
dS
cos
j
cos
k ，则
[P( x, y, z)cos α Q( x, y, z)cos β R( x, y, z)cos γ ]dS
第二类曲面积分概 念和性质
第十章
一、第二类曲面积分的概念及性质 二、两类曲面积分之间的联系 三、第二类曲面积分的计算
一、第二类曲面积分的概念及性质
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
1. 曲面的分类
双侧曲面: 点P ，取定P处的法向量 的 一 个 指 向n , 则 当 点P 在上连续移动时，n 也随之连续改变方向.
P( x, y, z)cos α dS Q( x,Leabharlann Baiduy, z)cos β dS
F(
x,
y,
z)
R (Px(,xy,,yz,)zc)oisγdQS(
x,
y,
z)
j
R(
x,
y,
z)k
通常把上式三项分别记作
PQR((xx,y,y,z,z))在在上上对对坐坐 标标yzx,,,zxy的的曲曲面面积积分分
若当点P不越过 的边
界回到出发的位置时， n的指向不变，则称
是双侧曲面. 否则，
称为单侧曲面.
典型双侧曲面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
2. 曲面的侧与有向曲面
对于双侧曲面，其侧可用曲面法向量的指向 来确定.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
(1) 闭曲面的侧
设为闭曲面 内侧：法 向 量n 指 向的 里 面 ； 外侧：法向量n指向的外面. (2) 非闭曲面的侧
2º 投影转换关系
F ( x, y, z) dS
[F (
x,
y,
z)
e n(
x,
y,
z)]dS
dS
e n( x,
y, z)dS
与en同方向 —— 有向曲面元
( cos dS , cos dS , cos dS )
d y d z cos d S dS cos 有向曲面元dS
于是
d
S
流速：v (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z))
“分割, 近似, 求和, 取极限”
λlim0 i
i
nv
1
i
e ni
Si
v ( x, y, z) e n( x, y, z)d S
eni vi (i ,i , i ) • i
5. 定义 10.5
设Σ是分片光滑的有向曲面, 向量值函数
求单位时间流过有向曲面 的流量.
(假定密度为1)
(1) 若 是面积为S 的平面域, 注. v与t无关： v
单位法向量：e n
稳定流动；
流速为常向量 v
S= 常数：
en
则单位时间内流量为
不可压缩流体.
斜柱体的体积：
S | v | cos θ S v e n
(2) 若为有向曲面 ,
v
en
R( x, y, z)d x d y 0
如： : x2 y2 a2 (h z a)
z d x d y 0
但注意： z d S 0
5º存在性：若 F ( x, y, z)在分片光滑的有向曲面上
连续，则
F ( x, y, z) dS
存在.
6º记号 表示封闭曲面上的积分；
P( x, y, z)dy dz P( x, y, z)cosα dS
Q( x, y, z)dz dx Q( x, y, z)cos β dS
R( x, y, z)dx dy R( x, y, z)cos γ dS
因此第二类曲面积分又记为
(2) F ( x, y, z) dS
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z) dxdy
可得到： d S cos (d S )xy d x d y cos d S (d S )xy
同理可得
d y d z cos d S (d S ) yz d z d x cos d S (d S )zx
4º 若为母线平行于z轴的柱面时，则
cos 0, d x d y d S cos 0, 从而必有
当cos γ 0 时 当cos γ 0 时 当cos γ 0 时
其中(σ )xy 表示投影区域的面积, γ为法向量与 z轴正向
的夹角. 注意: 投影有正负之分.
类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的投影.
4. 引例 流向曲面一侧的流量
设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
v (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z))
1) 上、下侧
若：z z( x, y)
上侧 : (n,轴z) 为锐角, cos 0 (P ); 下侧 : (n,轴z) 为钝角, cos 0 (P ).
z
O
y
x
2) 左、右侧
z
若：y y( x, z)
右侧 : (n,轴y)
为锐角, cos 0 (P );
左侧 : (n,轴y)
z
d
x
cos
d
S
dS cos
分别在 x 轴、
ednx( xd,
y y, z
)coscγods
S α
dS i cos
cos
β j
cos
γ
y 轴、z 的k 投影
轴上
3º第二类曲面积分中dxdy, dydz, dzdx 的意义 在二重积分应用，求曲面面积时曾证明：
d S cos d (cos 0) 去掉限制：cos 0