高三数学一轮复习 推理与证明课件 新人教B版

• 4．直接证明
• 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、 公理、定理、法则等，直接推证结论的真实性．
• (1)综合法
• 从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证结论．是 一种由因导果的方法．
• (2)分析法
• 从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最 后达到题设的已知条件或已被证明的事实，是一种执果索 因的方法．
• 推理一般分为合情推理和演绎推理两类． • 2．合情推理
• 前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理，数学中常 见的合情推理是归纳推理和类比推理．
• 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分 析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推 理．
• (1)归纳推理
• 根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的 所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理，归纳推 理是由部分到整体，由特殊到一般的推理．
• (2)做出与命题结论相矛盾的假设；
• (3)由假设出发，应用演绎推理方法、推出矛盾的结果．
• (4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所做假设不真，从 而肯定原命题为真．
• [例1] 平面内有n条直线，其中任何两条都不平行，任何 三条不过同一点，试归纳它们的交点个数．
• 解析：n＝2时，交点个数：f(2)＝1. • n＝3时，交点个数：f(3)＝3. • n＝4时，交点个数：f(4)＝6. • n＝5时，交点个数：f(5)＝10.
所以命题得证．
在△ABC 中，不等式A1＋B1＋C1≥9π成立， 在四边形 ABCD 中，不等式A1＋B1＋C1＋D1 ≥126π成立， 在五边形 ABCDE 中，不等式A1＋B1＋C1＋D1 ＋E1≥235π成 立，猜想在 n 边形 A1A2…An 中，有怎样的不等式成立？
解析：根据已知特殊的数值：9π，126π，235π，…，总结 归纳出一般性的规律：(n－n22)π(n≥3)．
证明如下：
左
边
＝wk.baidu.com
1－cos2α 2
＋
1－cos(120°＋2α) 2
＋
1－cos(240°＋2α) 2
＝32－12[cos2α＋cos(120°＋2α)＋cos(240°＋2α)]
＝
3 2
－
1 2
[cos2α
＋
cos120°cos2α
－
sin120°sin2α
＋
cos240°cos2α－sin240°sin2α]＝32＝右边．
在 Rt△BAE 中，BE＝
a2＋bb2＋2c2c2＝
a2b2＋a2c2＋b2c2
b2＋c2
.
∴S△BCD＝12DC·BE＝12
b2＋c2·
a2b2＋a2c2＋b2c2
b2＋c2
.
∴S△BCD2＝14(a2b2＋b2c2＋a2c2)． • 答案即：S△SB△CDA2B＝C2＋S△SAB△CA2＋CD2S＋△ASCD△2A＋DBS2△＝ADSB△2.BCD2
• 重点难点 • 重点：①掌握合情推理和演绎推理． • ②能熟练地运用综合法和分析法证题． • ③理解反证法，掌握反证法证题步骤． • 难点：用综合法、分析法、反证法证题的思路．
• 知识归纳 • 1．推理的概念 • 根据一个或几个已知判断(事实或假设)得出一个新的判断
的思维过程叫推理，推理一般由两部分组成：前提和结 论．
③用作商比较法时，要注意除式的符号，否则易出错．因 为AB>1，若 B>0，有 A>B，但若 B<0，则有 A<B.
④分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要 条件．
• 解题技巧
• 1．分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使 用“要证”、“只需证”这样的连接词．
• 2．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单，条理清楚， 所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即： 分析找思路，综合写过程．
• (3)数学中其他一些常见的具有同构关系的模型有：等式 与不等式、分数与分式、椭圆与双曲线、等差数列与等比 数列、长方形与长方体、圆与球等．
(2009·浙江)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S4，
S8－S4，S12－S8，S16－S12 成等差数列．类比以上结论有：
设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn，则 T4，________，
• 归纳推理的一般步骤：
• ①通过观察个别情况发现某些相同性质．
• ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 (猜想)．
• (2)类比推理
• 根据两类不同事物之间具有的某些类似(或一致)性推测其 中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质，这样 的推理叫类比推理．
• 类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可 能是真的．所以类比推理属于合情推理．
• ⑥如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而 从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
• 误区警示 • ①在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面
现象迷惑，否则只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比， 就会犯机械类比的错误． • ②注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结 论一定为真，后者结论可能为真！
三段论推理是演绎推理的一般模式．
• (3)关系推理
• 推理规则是：“如果aRb，bRc，则aRc”(其中R表示具 有传递性的关系)，这种推理叫关系推理，如：由a∥b， b∥c，推出a∥c，若a≥b，b≥c，则a≥c，都是关系推理．
• (4)完全归纳推理
• 把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推 理．
• 点评：(1)用现代的眼光看，类比就是两个同构关系的模 型间的推理，模型间的同构关系，即它们结构或功能上存 在的某种对应性(相似性)，它是进行类比推理的依据．
• (2)本例中的三角形与四面体就是平面与空间中的两个常 见具有同构关系的模型，因而四面体中的很多性质及证明 方法都可以通过三角形中的性质及证明方法类比得到．
• 数学中的命题，都有题设条件和结论两部分，反证法是从 否定这个命题的结论出发，通过正确、严密的逻辑推理， 由此引出一个新的结论，而这个新结论与已知矛盾，得出 结论的反面不正确，从而肯定原结论是正确的一种间接证 明方法．
• 这里所谓的“与已知矛盾”主要是指：
• (1)与假设自相矛盾．
• (2)与数学公理、定理、公式、法则、定义或已被证明了 的结论矛盾．
• 证明：如图(2)，设平面OA1VA∩BC＝M，平面 OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB＝L，则有 △MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCN.得
OVAA1＋OVBB1＋OVCC1＝OAMM＋OBNN＋OCLL. 在底面△ABC 中，由于 AM，BN，CL 交于一点 O， ∴OAMM＋OBNN＋OCLL＝SS△△OABBCC＋SS△△OABACC＋SS△△OABACB＝SS△△AABBCC＝1. ∴OVAA1＋OVBB1＋OVCC1为定值 1.
________，TT1162成等比数列．
解析：依题意有
T4
＝
b1b2b3b4
，
T8 T4
＝
b5b6b7b8
，
T12 T8
＝
b9b10b11b12，TT1162＝b13b14b15b16，若原等比数列公比为 q，则 T4，
TT84，TT182，TT1162构成公比为 q16 的等比数列．故填TT84；TT182.
归纳猜想 f(n)＝12n(n－1)(n≥2)．
• 平面内一条直线可将平面分成两部分，两条直线最多可将 平面分成4部分，三条直线最多可将平面分成几部分？4 条呢？猜想n条直线最多可将平面分成几部分？
• 解析：3条直线最多可将平面分成7部分，4条直线最多可 将平面分成11部分．如图
n 条直线最多可将平面分成12(n2＋n＋2)部分． 观察 2、4、7、11 这组数的特点可以发现，它们都 比数列 1,2,3,4，…n…，前 n 项的和多 1，故应为n(n＋ 2 1) ＋1＝12(n2＋n＋2)．
解析：设 AB＝a，AC＝b，AD＝c.
∵三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两垂直，
∴AB、AC、AD 两两垂直．
∴S△ABC2＋S△ACD2＋S△ADB2＝14a2b2＋14a2c2＋14b2c2.
作 BE⊥DC 于 E，连接 AE，则 CD⊥AE.
在 Rt△CAD 中，AE＝
bc b2＋c2.
∴在 n 边形 A1A2…An 中：A11＋A12＋…＋A1n≥(n－n22)π
(n≥3)．
• 点评：归纳出的一般性结论，要能使已知的结论为其特殊 情形.
• [例3] (文)在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两 边AB，AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空间， 类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的 关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A－BCD的三 个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则________．”
• (3)与公认的简单事实矛盾． • 反证法主要适用于以下情形： • ①结论本身是以否定形式出现的一类命题； • ②关于唯一性、存在性的命题； • ③结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题； • ④结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；
• ⑤要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出 结论的线索不够清晰的命题．
• 类比推理的一般步骤：
• ①找出两类事物之间的相似性或一致性．
• ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个 明确的命题(猜想)．
• 3．演绎推理 • 根据一般性的真命题(或逻辑规则)推导出特殊性命题为真
的推理形式称作演绎推理．
• 它的特征是：当前提为真时，结论必然为真． • (1)假言推理 • 假言推理的规则是：“若p⇒q，p真，则q真”．
[例 2] 观察下列各式： sin25°＋sin265°＋sin2125°＝32. sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32. sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝32. 归纳猜想出一个一般性命题，并给出证明．
解析：一般性的命题为：
sin2α＋sin2(60°＋α)＋sin2(120°＋α)＝32.
• 分析法的特点是：从“未知”看需知，逐步靠拢“已知”， 其每步推理都是寻求使每一步结论成立的充分条件，直到 最后把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件为 止．
• 综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未 知”，其每步推理都是寻找使每一步结论成立的必要条 件．
• 5．反证法
• 一般地，由证明p⇒q，转向证明¬q⇒r⇒…⇒t，而t与已知 矛盾或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真 的证明方法叫做反证法．
• (理)如图(1)，过四面体V－ABC的底面内任一点O分别作 OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作 直线与侧面交点．
求证：OVAA1＋OVBB1＋OVCC1为定值．
分析：考虑平面上的类似命题：“过△ABC 底边 AB 上任一点 O 分别作 OA1∥AC，OB1∥BC，分别交 BC，AC 于 A1，B1，求证OAAC1＋OBBC1为定值”．这一命题利用相似三 角形性质很容易推出其为定值 1.另外，过 A，O 分别作 BC 垂线，过 B，O 分别作 AC 垂线，则用面积法也不难证明 定值为 1.于是类比到空间图形，也可用两种方法证明其定 值为 1.
• 点答评案：：本TT例84；从T结T182构上类比，从等差数列“和式的差”类比 到等比数列“积式的商”．
[例 4] 设 a、b、c 均为正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋ b＋c.
证明：ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 相加得ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c， 等号在 a＝b＝c 时成立.
• 它的本质是，通过验证结论的充分条件为真，从而判断结 论为真．
• (2)三段论推理 • “若b⇒c，a⇒b，则a⇒c”，这种推理规则叫三段论推
理．它包括：
• (1)大前提——已知的一般性原理．M是P • (2)小前提——所研究的特殊情况．S是M • (3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．S是P，
• 3．用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其 次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法．
• 反证法还常常用在要证的结论中含有许多种情形，而结论 的反面则有较少或仅一种情形的命题的证明中，要注意否 定原命题时，要准确无误．
• 应用反证法证明数学命题的一般步骤：
• (1)分清命题的条件与结论．