函数与方程思想的典型例题

函数与方程思想的典型例题

[例1]设函数)(x f 的定义域为R ，对任意实数βα,有

，且21)3(=πf ，0)2

(=πf . (1)求证：)()()(x f x f x f --==-π； (2)若2

0π

<

≤x 时，0)(>x f ，求证：)(x f 在],0[π上单调递减；

(3)求)(x f 的最小周期并*证明.

[解析](1)),0()3(2)3()3(f f f f πππ=+ 且2

1

)3(=πf ，1)0(=∴f .

又)()0(2)()(x f f x f x f =-+，)()(x f x f -=∴.

)2()2(2)()(πππ-=-+x f f x f x f ，且0)2

(=π

f ，)()()(x f x f x f --=-=∴π.

(2))()(x f x f =- 且2

0π

<≤x 时，0)(>x f ，∴当2

2

π

π

<

<-

x 时，0)(>x f .

设π≤<≤210x x ，

则)()()()(2121x f x f x f x f -+=-π)2

()2(

22121π

π-+-+=x x f x x f . 222,2202121πππππ<-+<-<+-≤

x x x x ，0)2

(,0)2(2121>-+>-+∴π

πx x f x x f . )()(21x f x f >∴，即)(x f 在],0[π上单调递减.

(3)由(1))()(x f x f --=-π得)()(x f x f +-=π，)2()(x f x f +-=+ππ，

)()2(x f x f =+∴π，说明π2是原函数的一个周期.

假设0T 也是原函数的一个周期，且)2,0(0π∈T ，则由)()(0x f x T f =+得

)()0(0T f f =.

但若],0(0π∈T 时，因原函数是单调递减函数，所以)()0(0T f f >，两者矛盾；

若)2,(0ππ∈T 时，),0(20ππ∈-T ，从而)()()2()0(000T f T f T f f =-=->π，两

者矛盾，所以0T 不是原函数的一个周期，即π2是原函数的最小正周期.

[答案]见解析

[例2]已知函数f(x)=x 2

–(m+1)x+m(m∈R)

(1)若tanA 、tanB 是方程f(x)+4=0的两个实根，A 、B 是锐角三角形ABC 的两个内角.求证：m≥5；

(2)对任意实数α，恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3； (3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m 的值. [解析](1)证明：f(x)+4=0即x 2

–(m+1)x+m+4=0.

依题意：⎪⎩

⎪

⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m ，又A 、B 锐角为三角形内两内角，

∴2

π＜A+B ＜π.

∴tan(A+B)＜0，即03

1

tan tan 1tan tan )tan(<--+=-+=

+m m B A B A B A .

∴⎪⎪⎪

⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧>++>+>+≥--03

1040101522m m m m m m .∴m≥5. (2)证明：∵f(x)=(x–1)(x –m)，又–1≤cosα≤1，

∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0 即(x –1)(x –m)≤0. ∴m≥x 但x max =3，∴m≥x max =3.

(3)∵f(sinα)=sin2α–(m+1)sinα+m=4

)1()21(sin 2

2+-++-m m m α，且2

1

+m ≥2， ∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8，即1+(m+1)+m=8，∴m=3.

[答案]见解析

[例3]两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧

上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市

的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B

的总影响度为.

(1)将y 表示成x 的函数；

(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧

上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由.

[解析]解法一：(1)如图所示，由题意知AC⊥BC，22400BC x =-，

224(020)400k y x x x

=

+<<-，其中当102x =时，y=， 所以k=9.所以y 表示成x 的函数为22

49(020)400y x x x

=+<<-.

(2)2249

400y x x =+-，42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x x y x x x x ⨯---=--=--，令'0y =得422188(400)x x =-，所以2160x =，即410x =，当0410x <<时，

422188(400)x x <-，