2021中考数学专题训练——二次函数(解析版)

2021中考数学专题训练——二次函数（解析版）

考点一二次函数解析式

1.(2018杭州,9,3分)四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数),甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现-1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是 ()

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

答案 B假设甲和丙发现的结论正确,则 解得 

∴该函数的解析式为y=x2-2x+4.

若-1是方程x2+bx+c=0的一个根,

则x=-1是函数y=x2+bx+c的一个零点,

当x=-1时,y=x2-2x+4=7≠0,

∴乙发现的结论不正确.

当x=2时,y=x2-2x+4=4,∴丁发现的结论正确.

∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的,

∴假设成立.故选B.

2.(2017绍兴,8,4分)矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,点A的坐标为(2,1).一张透明纸上画有一个点和一条抛物线,平移透明纸,使纸上的点与点A重合,此时抛物线的函数表达式为y=x2,再次平移透明纸,使纸上的点与点C重合,则此时抛物线的函数表达式变为 ()

A.y=x2+8x+14

B.y=x2-8x+14

C.y=x2+4x+3

D.y=x2-4x+3

答案 A如图, A(2,1),则可得C(-2,-1).

一点从A(2,1)平移到C(-2,-1),需要向左平移4个单位,向下平移2个单位,

则所求表达式为y=(x+4)2-2=x2+8x+14,

故选A.

3.(2019宁波,22,10分)如图,已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3).

(1)求a的值和图象的顶点坐标;

(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上.

①当m=2时,求n的值;②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围. 解析 (1)把P(-2,3)代入y=x2+ax+3,得3=(-2)2-2a+3,

解得a=2.

∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴顶点坐标为(-1,2).

(2)①把x=2代入y=x2+2x+3,求得y=11,

∴当m=2时,n=11.②2≤n<11.

4.(2015绍兴,21,10分)如果抛物线y=ax 2+bx+c 过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线.

(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x 2+2bx+c+1,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式.请你解答.

解析 (1)不唯一,如y=x 2-2x+2.

(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b,c+b 2+1),且-1+2b+c+1=1,

∴c=1-2b,∴顶点纵坐标c+b 2+1=2-2b+b 2=(b-1)2+1,

∴当b=1时,c+b 2+1最小,即抛物线顶点纵坐标的值最小,此时c=-1,∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x

考点二 二次函数的图象与性质

1.(2019温州,9,4分)已知二次函数y=x 2-4x+2,关于该函数在-1≤x ≤3的取值范围内,下列说法正确的是 ( )

A.有最大值-1,有最小值-2

B.有最大值0,有最小值-1

C.有最大值7,有最小值-1

D.有最大值7,有最小值-2

答案 D y=x 2-4x+2=(x-2)2-2(-1≤x ≤3).

由图象可知当x=2时,y 取得最小值-2,当x=-1时,y 取得最大值7.故选D.

2.(2019杭州,10,3分)在平面直角坐标系中,已知a ≠b,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x 轴有M 个交点,函数y=(ax+1)·(bx+1)的图象与x 轴有N 个交点,则 ( )

A.M=N-1或M=N+1

B.M=N-1或M=N+2

C.M=N 或M=N+1

D.M=N 或M=N-1 答案 C 对于函数y=(x+a)(x+b),当y=0时,函数图象与x 轴的交点为(-a,0),(-b,0),故M=2. 对于函数y=(ax+1)(bx+1),当y=0时,有以下3种情况:

①ab ≠0时,图象与x 轴的交点为 , ,此时N=2,M=N;

②a=0时,图象与x 轴的交点为 ,此时N=1,M=N+1;

③b=0时,图象与x 轴的交点为 ,此时N=1,M=N+1.

综上所述,M=N 或M=N+1.故选C.

3.(2016温州,10,4分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2.P 是AB 边上一动点,PD ⊥AC 于点D,点E 在P 的右侧,且PE=1,连接CE.P 从点A 出发,沿AB 方向运动,当E 到达点B 时,P 停止运动.在整个运动过程中,图中阴影部分面积S 1+S 2的大小变化情况是 ( ) 

A.一直减小

B.一直不变

C.先减小后增大

D.先增大后减小

答案 C 作CF ⊥AB 于F.在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC=2,AC=4,

∴AB=25,CF=554.易知△APD ∽△ABC. 设PD=x,则AD=2x,AP=5x,BE=25-1-5x,

∴S 1=x 2,S 2=21(25-1-5x)×554=4-55

2-2x,

∴S 1+S 2=x 2-2x+4-552=(x-1)2+3-55

2. 4.(2017温州,22,10分)如图,过抛物线y=

41x 2-2x 上一点A 作x 轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y 轴于点C.已知点A 的横坐标为-2.

(1)求抛物线的对称轴和点B 的坐标;

(2)在AB 上任取一点P ,连接OP ,作点C 关于直线OP 的对称点D.

①连接BD,求BD 的最小值;

②当点D 落在抛物线的对称轴上,且在x 轴上方时,求直线PD 的函数表达式.

解析 (1)对称轴是直线x=-a

b 2=4. ∵点A,B 关于直线x=4对称,点A 的横坐标为-2,

∴点B 的横坐标为10.

当x=10时,y=5,

∴点B 的坐标为(10,5).

(2)①如图,连接OD,OB.

∵点C,D 关于直线OP 对称,∴OD=OC=5.

∵OD+BD ≥OB,∴BD ≥OB-OD=55-5,

∴当点D 在线段OB 上时,BD 有最小值55-5.

5.(2018温州,21,10分)如图,抛物线y=ax 2+bx(a ≠0)交x 轴正半轴于点A,直线y=2x 经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2,交x 轴于点B.

(1)求a,b 的值;

(2)P 是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接OP ,BP .设点P 的

横坐标为m,△OBP 的面积为S,记K=S K

,求K 关于m 的函数表达式及K 的范围.

解析 (1)将x=2代入y=2x,得y=4,

∴M(2,4),

由题意得 a=-1,b=4

(2)如图,过点P 作PH ⊥x 轴于点H,

∵点P 的横坐标为m,抛物线的解析式为y=-x 2+4x,

∴PH=-m 2+4m.

∵B(2,0),∴OB=2,

∵S=

21OB ·PH=2

1×2×(-m2+4m)=-m2+4m, ∴K=m S =-m+4, ∴K 随着m 的增大而减小.

易得A(4,0),