高中数学基础知识与练习题

第一讲集合与逻辑用语

第1节集合及其运算

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示).

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

2.集合间的基本关系

表示

关系

文字语言符号语言

集合间的基本关系

相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B 真子集

A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元

素不是A中的元素

A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B

若全集为U，则集

合A的补集为∁U A 图形表示

意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质

并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；

∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B).

★练习

1.已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则(∁R A)∩B＝________.

2.(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B

中元素的个数为( ) A.5

B.4

C.3

D.2

3.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B 等于( ) A.(－1，3)

B.(－1，0)

C.(0，2)

D.(2，3)

4.(2015·浙江卷)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3}，Q ＝{x |2＜x ＜4}，则P ∩Q 等于( ) A.[3，4) B.(2，3]

C.(－1，2)

D.(－1，3]

一、选择题

1.(2015·安徽卷)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )等于( )

A.{1，2，5，6}

B.{1}

C.{2}

D.{1，2，3，4}

2. (2015·南昌监测)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( ) A.0

B.1

C.2

D.3

3.(2015·长春监测)已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0，则P ∩Q 等于( ) A.(－∞，2) B.(－∞，－1]C.[0，＋∞) D.(2，＋∞)

4.(2015·江西师大附中模拟)设集合A ＝{x |－1＜x ≤2，x ∈N }，集合B ＝{2，3}，则A ∪B 等于( ) A.{2}

B.{1，2，3}

C.{－1，0，1，2，3}

D.{0，1，2，3}

5.已知集合M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A.2个

B.4个

C.6个

D.8个

6.(2014·宜春检测)设集合P ＝{x |x ＞1}，Q ＝{x |x 2－x ＞0}，则下列结论正确的是( ) A.P ⊆Q B.Q ⊆P C.P ＝Q

D.P ∪Q ＝R

第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件

1.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.

②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系. 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒p

p是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒p

p是q的充要条件p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇒p

★练习

1.(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()

A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0

B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0

C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0

D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

2(2015·安徽卷)设p：x＜3，q：－1

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

3.(2015·浙江卷)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.下列命题：

①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件；

②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；

③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；④ab≠0是a≠0的充分不必要条件.

其中为真命题的是__________(填序号).

基础巩固题组

一、选择题

1.(2015·重庆卷)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

2.命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()

A.若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B.若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C.若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D.若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

3.设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

二、填空题

4.“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数