高数极限思维导图
高等数学知识地图
集合概念左右导数函数映射几何、物理意义函数保序性导数高阶导数→莱布尼茨公式数列极限唯一性基本求导公式联系→性质有界性四则运算法则微积分学函数极限保号性求导法则复合函数求导法则e^x理论基础无穷小→无穷小的比较→等价无穷小一元函数定义反函数求导法则常用展开sin(x)、cos(x)——极限无穷及常用代换微分学微分几何意义隐函数求导法则ln(1+x)、(1+x)^n函数、无穷大及应用微分公式参数函数求导法则极限运算法则运算法则柯西中值定理麦克劳林中值定理→佩亚诺型余项和连续存在法则→重要极限近似计算↑↑定义四则运算微分中值定理→费马引理→罗尔定理→拉格朗日中值定理→泰勒中值定理→拉格朗日型余项复合函数洛必达法则——零比零型、无穷比无穷型连续性反函数单调性→极值、最值连续初等函数凸凹性→拐点端点间断点第一类——可去、跳跃切线法↓第二类——无穷、振荡导数应用零点二分法鞍点最值点←间断点、不可导点最值定理水平渐近线函数↑↑性质零点定理渐线性铅直渐近线作图驻点→极值点介值定理斜渐近线y’=0原理基本概念弧微分零点基本定理曲率曲率圆拐点y=0可分离变量的微分方程曲率半径y’’=0一阶微分方程齐次微分方程→可化为齐次微分方程的方程定义←原函数线性微分方程不定积分性质基本积分公式有理函数的积分常微分伯努利方程换元积分法无理函数的积分无穷限的反常积分方程全微分方程计算分部积分法三角有理式的积分无界函数的反常积分可降阶的y^(n)=f(x)一元函数特殊积分计算反常积分反常积分审敛法高阶微分方程y’’=f(x,y’)、y’’=f(y,y’)积分学定义与性质→积分中值定理Γ函数高阶微分方程常系数线性齐次方程及应用微积分基本公式（N-L公式）微分方程非齐次方程Pn(x)e^ax基本积分法差分欧拉方程(Pl(x)cos(bx)定积分计算换元积分法弧长方程其他解法幂级数解法+Pn(x)sin(bx))e^ax分部积分法几何应用平面面积、回转体侧面积微分方程组的解法应用物理应用体积概念、性质条件收敛比较平面点集定义几何级数绝对收敛比值理论基础极限最值定理p级数审敛法根值多元函数连续介值定理常数项级数正项级数极限偏导数定义、计算交错级数多元函数高阶偏导数无穷级数线性性质收敛区间微分学微分法全微分微分积分性收敛域及应用求导法则——复合函数、隐函数敛散性收敛半径→求法应用grad 函数项级数近似计算解微分方程三角级数→正交性↓定义傅立叶级数敛散性→狄利克雷收敛定理X、Y型函数展开R、θ型定义、坐标表示重积分概念模方向角截面法方向方向余弦多元函数三重积分柱坐标面积投影法向量运算加减法方向数积分学球坐标乘法→数乘、数量积、向量积、混合积及应用应用相互关系平行、垂直夹角、投影第一类曲线积分——定义、性质、计算空间方程——一般式、点法式、截距式、三点式↓联系↑解析几何面平面关系——平行、垂直、相交、夹角曲线积分第二类曲线积分——定义、性质、计算与距离——点面、线面、面面线面积分格林公式→平面曲线积分与路径无关的条件向量代数二次曲面——九种常见曲面及方程斯托克斯公式→空间曲线积分与路径无关的条件曲面法线与切平面第一类曲面积分——定义、性质、计算方程——一般式、点向式、参数式、两点式曲面积分↓联系↑直线关系——平行、垂直、相交、异面、夹角——平面束第二类曲面积分——定义、性质、计算线距离——点线、线线概念→数量场、矢量场高斯公式→延任意闭曲面的曲面积分为零的条件方程方向导数→梯度grad曲线投射——投影柱面、投影曲线场论通量→散度div 哈密顿算子▽→拉普拉斯算子△切线与法平面环量→旋度rot。
高考导数题型及方法总结(思维导图)
函数极值最值
和差型导函数 积商型导函数 指数e^x混合型 幂次x^n混合型
逆构造解不等式
求函数零点个数 求函数极值最值
抽象导函数问题பைடு நூலகம்
导数
恒成立求参
参变分离 分离函数 必要性探路 端点效应 分类讨论求最值 隐极值代换 双任意双存在问题
不等式证明
一元不等式证明
指对处理技巧 基本放缩 隐零点代换 凹凸反转
直线与曲线最短距离 对称曲线最短距离 公共切点 不同切点
在点切线 过点切线 距离最值
公切线问题
导数的几何意义
一次型
因式分解型 不能因式分解
二次型
二次求导
可以参变分离
几何意义 函数性质
不能参变分离
常见函数图像 含参讨论单调性 已知单调性求参
函数单调性
求函数极值最值 已知极值最值求参 极值最值范围问题
双重最值问题
二元不等式证明
主元法 同构法
齐次式法
极值点偏移问题 数列不等式证明
对称构造 比值代换\差值代换 对数均值\指数均值 切线构造
函数零点问题
求函数零点个数 已知零点个数求参
找点技巧
高等数学知识点思维导图高二
高等数学知识点思维导图高二在高二学习过程中，高等数学是一门具有较高难度的学科，需要对各种知识点进行系统性地学习和理解。
为了帮助大家更好地掌握高等数学知识，本文将以思维导图的形式呈现，旨在帮助同学们更好地理解和记忆相关内容。
一、微分与导数微分与导数是高等数学的基础概念，它们是研究函数变化的重要工具。
微分定义、导数的计算与性质是本章的核心内容。
1.1 微分的定义微分的定义是描述函数变化的基本工具，它是函数在某一点的变化率。
微分的定义可以用极限的概念表示，即：```f'(x) = lim (h->0) [f(x+h)-f(x)] / h```其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
1.2 导数的计算导数的计算涉及到一系列的公式和求导法则，例如：- 常数函数的导数为0；- 幂函数的导数为幂次减一再乘以常数；- 指数函数和对数函数的导数有特定的计算方法。
通过掌握这些求导法则，可以简化导数的计算过程。
1.3 导数的性质导数的性质是指导数函数与原函数之间的关系。
导数具有如下性质：- 可导函数的连续性：可导函数一定是连续函数；- 导数与函数的单调性：函数的导数能够刻画函数的单调性；- 导数与函数的极值：函数取得极值的点是导数为零的点。
二、积分与不定积分积分与不定积分是高等数学中另一个重要的概念，它们是研究函数与其变化量之间的关系。
积分的定义、不定积分和定积分的计算方法是本章的重点内容。
2.1 积分的定义积分的定义是描述函数与其变化量之间的关系，它可以看作微分的逆运算。
积分的定义可以用极限的概念表示，即：```∫[a,b] f(x) dx = lim (n->∞) Σ[f(xi)Δx]```其中[a,b]表示积分的区间，f(x)表示被积函数，Σ表示求和符号。
2.2 不定积分不定积分是求解原函数的过程，它的结果可以表示为：```∫f(x) dx = F(x) + C```其中F(x)表示原函数，C为常数。
数学分析第二章极限与连续知识网络思维导图及复习
量求极限。 6、 理解函数连续的概念，会判断函数不连续点的类型。 7、 掌握用基本定理证明闭区间上连续函数的最大值、最小值、介值性定理的基本思路和方
法。 8、 理解一致连续的概念，并会应用其证明相关命题。 三、知识点梳理 1、数列极限的概念、性质与定理
不一致连续： 0
0,
xn
,xn
,
lim(
n
xn
x)
0 ，而 lim( n
f
(xn )
f
( xn)
c
0.
四、典型例题分析
基本题型 I 利用定义证明数列的极限
例
证明
lim
n
n 2n
0
证 明 ： 0, 要 使 得
n 2n
0
成立，只要
n 2n
0
n 2n
2 n
(这是因为
2n (11)n 1 n n(n 1) ... n2
(ii) 同 阶 无 穷 小 ： lim f (x) a 0 ， 则 称 f (x) 是 g(x) 的 同 阶 无 穷 小 ， 记 为 xx0 g(x)
f (x) Og(x) x x0 ，
0
特别地，如果 f (x) 在 O(x0 ) 有界，记作 f (x) O(1), (x x0 )
③ 函数的不连续点
(i)第一类不连续点： f (x0 0), f (x0 0) 存在，但不相等。
(ii)第二类不连续点： f (x0 0), f (x0 0) 中至少有一个不存在.
(iii)可移不连续点:
f (x0
0)
f
(x0
大学高数定积分及其应用思维导图
定积分及其应⽤定积分的概念与性质定积分问题实例曲边梯形的⾯积把区间分为n 份在闭区间内插⼊n-1个分点将区间分为n 份⼩区间记各个⼩区间⻓度为ΔXi近似替代在每个⼩区间内任意取⼀点，以该点函数值为⾼，⼩区间⻓度为宽的窄矩形⾯积近似替代第i 个曲边梯形⾯积求和取极限确保把整个闭区间分的⾜够细（注意：分割份数⾜够多不能保证误差⼀定变⼩，必须要分的够细）每个⼩区间区间⻓度⾜够⼩n →∞记λ= ΔXi 中最⼤值当λ→0刻画了区间的⽆限细分过程得结果曲边梯形⾯积A= λ→0时对∑（上标n ，下标i=1）f （ζ i ）ΔXi 求极限单位产品的可变成本变化的总成本问题定积分定义条件：函数在闭区间内有界具体步骤：同曲边梯形⾯积求法记法：f （x ）在闭区间［a ，b ］上的定积分（简称积分），记作∫（上b 下a ）f （x ）dx其中a 为积分下限，b 为积分上限按照区间形式时规定了a 与b 的⼤⼩关系，但是实际上积分上限不⼀定⼤于积分下限关于可积：f （x ）在闭区间上定积分存在，说明f ；x ）在闭区间可积在闭区间上连续则可积在闭区间有界且只有有限个间断点则可积注意定积分的⼤⼩只与被积函数和积分区间有关，与积分变量使⽤的符号⽆关（⽤x ⽤t 都⼀样）但若积分变量与函数中变量形式［如f （t ）与x]不对应，则将函数看成常数处理∑上n 下i=1表示从1起⼀共到n （右端点）；∑上n-1下i=0表示从o 起⼀共到n-1（左端点）已知f(x)在闭区间定积分存在，则积分值与积分区间划分、取点都⽆关，可以进⾏特殊分割与特殊取点将区间闭区间n 等分，即有f[a+（b-a ）i/n]（b-a ）/n将闭区间特殊取值为［0,1］应⽤：⽤定积分表示和式极限从原式中提1/n 出来并在此基础上对原式变形定积分⼏何意义在闭区间上f （x ）⼤于等于0表示曲边梯形⾯积⼩于等于0表示曲边梯形⾯积的负值有正有负表示各部分⾯积的代数和定积分性质积分上限等于积分下限时，定积分=0积分下限⼤于积分上限时，定积分等于积分上下限颠倒后定积分的相反数函数和差的定积分等于它们定积分的和差被积函数的常数因⼦可以提到积分号外⾯积分区间具有可加性（⽆论a ，b ，c 相对位置如何总是成⽴）被积函数相同时，若积分区间满⾜⼦⺟区间关系可以直接⽤积分区间相减在闭区间上函数恒等于1，其定积分等于闭区间⻓度引申：不等于1等于其他常数同理函数在闭区间上⼤于等于0，其定积分⼤于等于0推论在闭区间上⼀个函数⼤于等于另⼀个函数，则其定积分也⼤于另⼀个函数的定积分⼀个函数定积分的绝对值⼩于等于｜该函数｜的定积分M ，m 分别是函数在闭区间上的最⼤值和最⼩值，则m （b-a ）⼩于等于该函数定积分⼩于等于M （b-a ）其中a ⼩于b如果函数在闭区间连续，则在积分区间上⾄少存在⼀点ζ 使函数在积分区间上的定积分等于f （ζ ）（b-a ）⼏何：⾯积近似推论：f （ζ ）=定积分/b-a 为函数在闭区间上的平均值⼏何：f （ζ ）可看作是图中曲边梯形的平均⾼度求定积分⽅法定义法：和式极限⼏何法：函数的图像⽜顿莱布尼茨公式法：找原函数微积分基本公式积分上限函数（变上限积分函数）定义条件：函数在闭区间上连续记法性质定理1函数在闭区间连续，则它的积分上限函数在闭区间可导且导数为f （x ）→即将积分上限直接代⼊f （对于变上限积分函数我们只知道求导）证明过程类举特殊的变上限积分上限还可以是关于积分变量的⼀个函数f[v(x)]v‘(x)变下限与变上限函数结果为相反数（变下限，先负号）⼀般特殊变限⼀般情况积分上下限都是关于积分变量的函数先将积分区间分为只变上限与只变下限的形式积分区间的可加性再按照特殊变上下限的⽅法进⾏原函数存在定理积分上限函数是f （x ）在闭区间上的⼀个原函数⼏何意义表示[a ，x]上曲边梯形⾯积应⽤常与“0/0”型求极限使⽤洛必达法则结合能⽤洛必达先⽤洛必达∫下0上x xf （t ）dt=x ∫下0上x f （t ）dt⼀定要看清题⽬要求（如求导的变量是否是x ，不是x 才能把x 当作常数提出来）与分段函数利⽤积分区间的可加性拆积分区间与分段函数分段区间对应⽜顿莱布尼茨公式内容如果函数F （x ）是连续函数f （x ）在闭区间上的⼀个原函数，则它的定积分等于F （b ）-F （a ）证明积分上限函数和f （x ）的原函数只相差⼀个常数（都是它的原函数）函数在闭区间连续则它的积分上限函数是它在此闭区间上的⼀个原函数再令x=a 得c=__再令x=b 并将c=__代⼊并把积分变量换成x 表明⼀个连续函数在闭区间上的定积分等于它的任⼀原函数在闭区间上的增量适⽤条件被积函数在积分区间上是连续的被积函数在积分区间上是分段连续且有界时把积分区间分为若⼲个⼦区间，使得被积函数在每个⼦区间上均连续定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法定理函数f （x ）在[a,b]连续，函数x= φ（t ）满⾜φ（α）=a ，φ(β）=bφ（t ）在[α, β]（或两者调换顺序）上具有连续导数，且φ（t ）值域属于[a,b]复合函数内层函数值域为外层函数的定义域则可把x= φ（t ）直接代⼊（必要时换限）定积分换元公式使⽤注意正⽤为第⼆换元，逆⽤为凑微分换元必换限，凑微分不换限换元得出含新元函数不必再换为原元，只要把新元的积分上下限分别代⼊新元函数相减即可⼏个结论f （x ）在关于原点对称的区间内连续该函数为奇函数则函数在该区间内的的定积分等于0该函数为偶函数则函数在该区间内的的定积分等于2倍函数在区间（该区间左/右端点与0）内的定积分证明⽅法积分区间可加性令x=-t 后代⼊最后结果⽤x 代替t 表示积分变量即可f （x ）在[0,1]上连续f （sinx ）在[0, π/2]上的定积分=f （cosx ）在[0, π/2]上的定积分f （sinx ）表示函数由sinx 构成直接⽤cosx 替换sinx记sinx 的n 次⽅在[0, π/2]上的定积分结论（分奇偶）xf （sinx ）在[0, π]上的定积分= π/2乘f （sinx ）在[0, π]上的定积分只需要判断x 所乘后⾯的那个函数可以写成f （sinx ）的形式就可以⽤此结论后⾯那个函数并不是⾮要全部换成sinx 的形式，谁好算保留谁的形式设f （x ）是周期为T 的周期函数f （x ）在[a,a+T]上的定积分=f （x ）在[0,T]上的定积分=f （x ）在[-T/2,T/2]上的定积分f （x ）在[a,a+nT]上的定积分等于n 倍f （x ）在[0,T]上的定积分等于f （x ）在[0,nT]上的定积分保证积分区间是T/nT 即可定积分的分部积分法同不定积分中分部积分法⼀致，只是需要带上积分区间定积分的应⽤定积分的元素法选取积分变量并明确变量范围近似得定积分平⾯图形的⾯积表示图形某⼀特征的形式不同时需要分类讨论（分积分变量在不同区间）善于⽤⼏何意义解题如根号下a ⽅-x ⽅极坐标系下的⾯积计算扇形的⾯积公式1/2 αr 平⽅1/2lr求体积求交⾯⽤什么切就把什么代进去。
23考研高数命题点思维导图
3 2
(y ′′ ≠ 0 )
曲率圆表达式
定积分
定积分
实际意义
曲边梯形的面积 变速直线运动的路程
精确定义
b a
f (x)dx
=
lim
n→∞
n i =1
f a +
b
− n
a
i
b
− n
a
定积分的存在性(一元函数的可积性)
存在的充分条件 存在的必要条件
性质
区间长度、线性性、可加性、保号性
可积函数必有界
有理函数的积分： QPnm((xx))dx (n < m ), Pn (x)、Qm (x)分别是 x的n次多项式和 m次多项式
1)将
Qm
(
x
)因式分解；2
)把
Pn (x) Qm (x)
拆成若干最简有理分式
之和
定积分的应用
定积分在几何学上的应用
平面图形的面积
直角坐标 极坐标
旋转体的体积 绕x轴转
体积
有限个无穷小之和是无穷小
无穷小
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
运算
运算步骤
无穷小的比较
①化简先行:等价替换（常用的有sinx~x,ln(1+x)~x,1-cosx~1/2x^2 ，e^x-1~x,tanx~x,(1+x)^α-1~αx等）、恒等变形、抓大头）
①有分母，通分；没有分母，创造分母
∞-∞
导数的应用
函数的单调性 曲线的凹凸性 曲线的拐点 函数的极值与最值 曲率(数学三不考)
单调增加 单调减少
f ′(x) > 0 f ′(x) < 0
定义
图形是凹的 图形是凸的
2020高考数学复习-专题01 导数与函数的最(极)值(精讲篇)-用思维导图突破导数压轴题
金戈铁骑用思维导图突破导数压轴题解答数学题的“思维导图”：逛公园顺道看景，好风光驻足留影. 把条件翻成图式，关键处深挖搞清. 综合法由因导果，分析法执果索因. 两方法嫁接联姻，让难题无以遁形.这里把解题比作逛公园，沿路而行，顺道看景，既有活跃气氛，又有借景喻理之意，即理解题意后把已知条件“翻译”出来，如果能得到结论那是最好，如果不行就要转化，即从已知条件入手推出中间结论（可知），当中间结论能直接证明最终结论时，则解题成功.当中间结论不能直接证明最终结论时，可把最终结论等价转化为“需知”，再用中间结论证明“需知”从而达到解题目的.有时还要挖掘题目的隐含条件.从某种意义上说，解题就是“找关系”----找出已知与未知的联系，不断缩小以至消除二者之间的差距，从而达到解题目的.这个思维导图不仅是用来解答压轴题，其实，每个层次的学生都有相应的难题。
中等以下水平的学生高考基本不用做压轴题的，但他们做中档题会有困难，思维导图一样适用。
专题01 导数与函数的最（极）值问题否已知条件隐含条件中间结论（可知）已知条件的等价转化待求（证）的结论结论的等价转化（需知）能否 能利用导数求函数f (x )极值、最值的基本方法是先求f (x )的导数f 'x （），再求f 'x （）的零点i x ，i N ∈，根据f 'x （）在i x 两边的符号判断的单调性，最后确定i f x （）是极大值或极小值，再确定最值。
先求导数 再定零点 考查单调 极值来了思路点拨第（1）只要直接计算即可。
第（2）题先求出()f x 和()f x '的含参数零点（用a 、b 表示），再根据零点均在集合{3-，1，3}中确定a 、b 的值。
第（3）题求出()f x '的零点12,x x （设12x x <），根据单调性确定极大值为321111()(1)=-++f x x b x bx ，这里含有两个变量，最容易想到的方法就是转化为一元变量，但恒等变形能力要求较高，也可以挖掘隐含条件利用基本不等式整体消元。
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尝试提出来sin、cos、tan
泰勒展开
等价无穷小替换
尽早提取出极限不为0的因式
2、极限有左右
极限
核心考点
1、定义（4分）
2、三大性质：唯一性、有界性、局部保号性（4分）
3、计算（核心内容：10分大题+4分小题）
4、应用：连续与间断（4分）
主要内容
函数极限
定义
三大性质
极限运算
第一种：0/0、∞/∞、∞·0
1、0/0、∞/∞型比较常规
常用洛必达、泰勒展开、等价无穷小替换
分段函数的分段点，无定义点
第一类极限：左右极限都存在
可去间断点：左右极限都存在且相等
跳跃间断点：左右极限都存在但是不相等
第二类极限：左右极限至少有一个不存在
无穷间断点
震荡间断点
计算极限时要注意的技巧
1、化简先行
恒等变形：有理化、提取公因式、多添少补（＋－×÷）
缩放的时候如果分子分母都产生变化，则只改变分子不改变分母
注意抓隐蔽条件，有的函数天生具有有界性
数列由递推公式给出：单调有界定理
Step1:使用第二数学归纳法证明有界
Step2：找上/下界
Step3：左右两边求极限，解方程
间断点
1、单侧极限不讨论间断点
2、讨论间断点时讨论的两种点：
2、∞·0型常常需要转化
设置分母有原则，简单因式才下放
第二种：∞－∞
1、有分母则通分
2、没有分母创造分母
倒代换
注意在做倒代换的时候观察做完倒代换是否是单侧极限
同时除以一个数再乘以一个数
第三种：∞º、0º、1ʌ∞
利用幂指函数对数化
泰勒展式：任何函数都可以写成幂级数的和的形式
标记: 红色
遇到A/B型：上下同阶原则，分子分母展到相同阶数
遇到A-B型：用幂次最低原则，展至系数不同的最低次幂
数列极限
定义
三大性质
唯一性
有界性：收敛数列一定有界，〡xn〡＜M
保号性：如果极限大于0，那么当n＞N时都有xn＞0
极限运算
易于连续化：归结原则
不易连续化：迫敛性（或定积分定义)