必修4角的概念的推广1
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角的概念的推广
1.在初中角是如何定义的？ 定义1：有公共端点的两条射线组成 的几何图形叫做角。
顶 点 边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。
B 顶 点 o 终边
A 始边
2．生活中很多实例会不在范围[00 ,3600 ]
体操运动员转体720º，跳水运动员向内、 向外转体1080º 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
（3）K· 360°与a 之间是“+”号，如 K· 360°-30 °，应看成K· 360 °+（-30 ° ） （4）终边相同的角不一定相等，但相等的角终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360°的整数倍
四 巩固深化 发展思维
例1、在0到360度范围内，找出与下列各 角终边相同的角，并判断它是哪个象限 的角？ （1）-120°（2）640 °（3） -950 ° 12' 解（1）-120°=-360 °+240 °
作业：课本习题1.2
2、3
所以与-120 °角终边相同的角是240 °角， 它是第三象限角。
（2）640°=360°+280°
所以与640°角终边相同的角是280°角， 它是第四象限角。 （3）-950°12’ = -3×360°+129°48' 所以与-950°12’ 角终边相同的角是 129°48 ’ 角，它是第二象限角。
x
与300终边相同的角的一般形式为300＋K· 3600，K ∈ Z
0 1 2 1 2
… …
特殊 突 破 难 点
45 30 k 360 (k Z ) { | k 360 , k Z }
问题6：你能不能写出与角 终边相同的角的集合？ 一般
与ａ终边相同的角的一般形式为 ａ＋K ·3600，K ∈ Z 注 :（ 1 ） K ∈ Z （2） a 是任意角
)
三 终边相同角 的表示
-3300
3900
y 300
o
300 =300+0x3600 3900=300+3600 =300+1x3600 -3300=300-3600 =300 -1x3600 300+2x3600 , 300－2x3600 300+3x3600 , 300－3x3600
…, …,
属相相 同的人 终边相 终边相 同的角 同的角
小结：
2 . 终边与 角ａ相同的角
ａ＋K· 3600，K∈Z
3：在0到360度内找与已知角终边相 同的角，方法是：用所给角除以3600。 所给角是正的：按通常的除法进行； 所给角是负的：角度除以3600，商是 负数，它的绝对值应比被除数为其相 反数时相应的商大1，以便使余数为正 值。 4：判断一个角是第几象限角，方法是： 所给角ａ改写成ａ0+k · 3600 ( K∈Z,00≤ａ0＜3600)的形式，ａ0在第 几象限ａ就是第几象限角
二 象限角 轴线角
终边
y o
终边
x 始边 终边
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
终边
要点 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
坐标轴上的角：（轴线角）
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为 这个角不属于任何象限。 例如：角的终边落在X轴或Y轴上。
1
按角的生成过程 按角的生成过程 性别
正角 男 负角 女 零角 零角 角 角 各象限的角 各象限的角 有职业者
置于坐标系中 置于社会中 置于坐标系中
第一象限的角 教师 第一象限的角
医生
第二象限的角 第三象限的角 第四象限的角
第三象限的角 工人
… 界限角 无职业者 界限角
终边在x轴正半轴上的角 终边在x轴负半轴上的角 终边在y轴正半轴上的角 终边在y轴负半轴上的角
判断正误，如果错，请说明理由.
1. 179 角是第二象限的角．（
2. 90角是第三象限的角．（
3.小于 90的角一定是锐角．（
） ） ） ） ）
4.钝角一定是第二象限的角．（ 5.终边相同的角一定相等．（ 6.若角 k 360 45 (k Z ) 则角 与 45 角的终边相同.(
1．若角 k 360 45
(k Z )
则角 是第
四
象限的角．
2.选择题 与 330 角终边相同的角为( A )
A. 30
B. 390 C. 330
D. 45
你判断两个角的 终边是否相同的 方法是什么呢？
3.北京时间2010年6月4日，跳水世界杯在男子3米板决赛 中，中国选手何冲夺冠的最后一跳是“向前翻腾两周半转 体三周屈体”以546.55分夺得冠军，他也成为世界杯该项 目首位卫冕的中国人。 20分 “向前翻腾两周半”， 问：何冲旋转了多少度？ 逆时针旋 转哦！
例2 写出终边落在Y轴上的角的集合。
终边落在坐标轴上的情形
900 +K y
· 3600
1800
+K·3600
o
x 或3600＋K · 3600 +K·3600
00 +K
·3600
2700
பைடு நூலகம்
例3：写出与下列各角终边相同的角的集s， 并把S中 适合不等式-3600≤ ＜7200 的元素 写出来 （1） 600 （2）-210 （3）363014’
这些例子所提到的角不仅不在范围 [00 ,3600 ] 中，而且方向不同，有必要 将角的概念推广到任意角，想想用什么 办法才能推广到任意角？
运动
一，角的概念的推广
逆时针
顺时针 定义：
任 意 角
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转时形成的角
注： 1：角的正负由旋转方向决定 2：角可以任意大小，绝对值大小 由旋转次数及终边位置决定
1.在初中角是如何定义的？ 定义1：有公共端点的两条射线组成 的几何图形叫做角。
顶 点 边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。
B 顶 点 o 终边
A 始边
2．生活中很多实例会不在范围[00 ,3600 ]
体操运动员转体720º，跳水运动员向内、 向外转体1080º 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
（3）K· 360°与a 之间是“+”号，如 K· 360°-30 °，应看成K· 360 °+（-30 ° ） （4）终边相同的角不一定相等，但相等的角终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360°的整数倍
四 巩固深化 发展思维
例1、在0到360度范围内，找出与下列各 角终边相同的角，并判断它是哪个象限 的角？ （1）-120°（2）640 °（3） -950 ° 12' 解（1）-120°=-360 °+240 °
作业：课本习题1.2
2、3
所以与-120 °角终边相同的角是240 °角， 它是第三象限角。
（2）640°=360°+280°
所以与640°角终边相同的角是280°角， 它是第四象限角。 （3）-950°12’ = -3×360°+129°48' 所以与-950°12’ 角终边相同的角是 129°48 ’ 角，它是第二象限角。
x
与300终边相同的角的一般形式为300＋K· 3600，K ∈ Z
0 1 2 1 2
… …
特殊 突 破 难 点
45 30 k 360 (k Z ) { | k 360 , k Z }
问题6：你能不能写出与角 终边相同的角的集合？ 一般
与ａ终边相同的角的一般形式为 ａ＋K ·3600，K ∈ Z 注 :（ 1 ） K ∈ Z （2） a 是任意角
)
三 终边相同角 的表示
-3300
3900
y 300
o
300 =300+0x3600 3900=300+3600 =300+1x3600 -3300=300-3600 =300 -1x3600 300+2x3600 , 300－2x3600 300+3x3600 , 300－3x3600
…, …,
属相相 同的人 终边相 终边相 同的角 同的角
小结：
2 . 终边与 角ａ相同的角
ａ＋K· 3600，K∈Z
3：在0到360度内找与已知角终边相 同的角，方法是：用所给角除以3600。 所给角是正的：按通常的除法进行； 所给角是负的：角度除以3600，商是 负数，它的绝对值应比被除数为其相 反数时相应的商大1，以便使余数为正 值。 4：判断一个角是第几象限角，方法是： 所给角ａ改写成ａ0+k · 3600 ( K∈Z,00≤ａ0＜3600)的形式，ａ0在第 几象限ａ就是第几象限角
二 象限角 轴线角
终边
y o
终边
x 始边 终边
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
终边
要点 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
坐标轴上的角：（轴线角）
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为 这个角不属于任何象限。 例如：角的终边落在X轴或Y轴上。
1
按角的生成过程 按角的生成过程 性别
正角 男 负角 女 零角 零角 角 角 各象限的角 各象限的角 有职业者
置于坐标系中 置于社会中 置于坐标系中
第一象限的角 教师 第一象限的角
医生
第二象限的角 第三象限的角 第四象限的角
第三象限的角 工人
… 界限角 无职业者 界限角
终边在x轴正半轴上的角 终边在x轴负半轴上的角 终边在y轴正半轴上的角 终边在y轴负半轴上的角
判断正误，如果错，请说明理由.
1. 179 角是第二象限的角．（
2. 90角是第三象限的角．（
3.小于 90的角一定是锐角．（
） ） ） ） ）
4.钝角一定是第二象限的角．（ 5.终边相同的角一定相等．（ 6.若角 k 360 45 (k Z ) 则角 与 45 角的终边相同.(
1．若角 k 360 45
(k Z )
则角 是第
四
象限的角．
2.选择题 与 330 角终边相同的角为( A )
A. 30
B. 390 C. 330
D. 45
你判断两个角的 终边是否相同的 方法是什么呢？
3.北京时间2010年6月4日，跳水世界杯在男子3米板决赛 中，中国选手何冲夺冠的最后一跳是“向前翻腾两周半转 体三周屈体”以546.55分夺得冠军，他也成为世界杯该项 目首位卫冕的中国人。 20分 “向前翻腾两周半”， 问：何冲旋转了多少度？ 逆时针旋 转哦！
例2 写出终边落在Y轴上的角的集合。
终边落在坐标轴上的情形
900 +K y
· 3600
1800
+K·3600
o
x 或3600＋K · 3600 +K·3600
00 +K
·3600
2700
பைடு நூலகம்
例3：写出与下列各角终边相同的角的集s， 并把S中 适合不等式-3600≤ ＜7200 的元素 写出来 （1） 600 （2）-210 （3）363014’
这些例子所提到的角不仅不在范围 [00 ,3600 ] 中，而且方向不同，有必要 将角的概念推广到任意角，想想用什么 办法才能推广到任意角？
运动
一，角的概念的推广
逆时针
顺时针 定义：
任 意 角
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转时形成的角
注： 1：角的正负由旋转方向决定 2：角可以任意大小，绝对值大小 由旋转次数及终边位置决定