高中数学必修4《角的概念的推广》

【巩固】
例3 写出终边落在y轴上的角的集合
终边落在坐标轴上的情形
900 +K ·3600 y
1800 +K·3600 o
x 00+K ·3600 或3600＋K ·3600
2700 +K·3600
例3 写出终边落在y轴上的角的集合 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+K∙3600,K∈Z} ={β| β=900+1800 的偶数倍} ={β| β=900+2K∙1800,K∈Z}
逆时针旋转4500
问题引入
定义2：平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。
B 终边
顶 点
始边 A
新课内容
角的概念推广以后，它包括任意大小的正 角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
负角：射线按顺时针方向旋转 形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
2.象限角
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
＋K·3600，K∈Z
问题引入
实例二 假如你的手表慢了5分钟,你将怎
样把它顺调时整针准旋转确3?00
假如你的手表快了1.25小时,你又将怎样 把它调整准确?
3周（360×3=1080） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
新课内容
思考下面的角度如何表示？
（１）你的手表慢了５分钟，想将它校 准，分针应该旋转多少度？ -30°
（２）假如你的手表快了2.5小时，想将它 校准，分针应该旋转多少度？ 900°
(3)已知AOB 600将射线OB绕O点顺时针旋转 300
Y
={β| β=K∙180° ，K∈Z} 180°+k∙360°
X K∙360° O
y x 1.写出终边在直线
上的角的集合
解：在00 ~ 360 0 终边在直线y x上的角有450 和225 0
与 450终边相同的角的集合：
S1 k 3600 450 , k Z 2k 1800 450 , k Z
与 2250终边相同的角的集合：
S2 k 360 2250 , k Z
k 3600 1800 450 , k Z
(2k 1) 1800 450 , k Z
y x 终边在直线
上的角的集合：
(2) S={β| β=k·360º－21º(k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º．
(3) β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 －2×360º+363º14’=－356º46’； －1×360º+363º14’=3º14’； 0×360º+363º14’=363º14’．
｛偶数｝∪｛奇数｝ ＝｛整数｝
终边落在 x 轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=180°+ K∙360°,K∈Z}
={β| β= 180°+ 2K∙180°,K∈Z}
={β| β= （2K+1）180° ，K∈Z}
={β| β= 180°的奇数倍}
所以 终边落在 x 轴上的角的集合为
S=S1∪S2 ={β| β=180° 的整数倍}
新课内容
例1、在0到360度范围内，找出与下列各 角终边相同的角，并判断它是哪个象限的 角？
（1）-120°（2）640 °（3） -950 °12' 解
（3）-950°12’ =- 3×360°+129°48'
所以与-950°12’ 角终边相同的角是 129°48 ’ 角，它是第二象限角。
新课内容
到OC，则 AOC ? 逆时针呢？
30°
90°
三.象限角（研究角的位置）
为了研究方便，我们可以在平面直角坐标系中讨论角：
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
坐标轴上的角：（轴线角）
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为 这个角不属于任何象限
例如：角的终边落在X轴或Y轴上。
【练习】
1、锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角。
2、第一象限的角是否都是锐角？举例说明
答：第一象限的角并不都是锐角。
3、小于90°的角都是锐角吗？ 答：小于90°的角并不都是锐角，它也 有可能是零角或负角。
问题： 一个角在直角坐标系中有唯一一条终边， 反之一条终边对应的角唯一吗？
新课内容
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在－360º~720º间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(1) S={β| β=k·360º+60º(k∈Z) }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－300º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º．
390 o 330 o 750 o 690 o
=300 3600 =300 3600 =300 23600
=300 23600
新课内容
y
-3300
3900 o
300 x
300
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600
-3300=300-3600 =300 -1x3600 300+2x3600 , 300－2x3600
问题引入
B
初中是如何定义角的？
一.角的概念
O
定义1：
A
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从 图形形状来定义角.
~ 角的范围： 00,3600 0
360
生活中实际的例子
跳水运动员后空翻
转动的车轮
生活中实际的例子
问题引入
这些例子所提到的角不仅不在范 围[00 ,3600 ） 中，而且方向不同， 有必要将角的概念推广到任意角，想 想用什么办法才能推广到任意角？
（4）终边相同的角不一定相等，但相等的 角终边一定相同，终边相同的角有无数多个， 它们相差360°的整数倍
新课内容
例1、在0到360度范围内，找出与下列各 角终边相同的角，并判断它是哪个象限的 角？
（1）-120°（2）640 °（3） -950 °12'
解（1）-120°=-360 °+240 °
∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍}
={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
练习: 写出终边落在 x 轴上的角的集合。
解：终边落在 x 轴非负半轴上的角的集合为
S1={β|β= K∙360°,K∈Z} ={β| β= 2K∙180°,K∈Z} ={β| β= 180° 的偶数倍}
300+3x3600 , 300－3x3600
…,
…,
与300终边相同的角的一般形式为300＋K·3600，K ∈ Z
新课内容
与 终边相同的角的一般形式为 ＋K ·3600，K ∈ Z
注:（1） K ∈ Z
（2） 是任意角 （3）K·360°与 之间是“+”号，如
K·360°-30 °，应看成K·360 °+（-30°）
新课内容
二.角的概念的推广
B
1.“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，
绕着它的端点O按一定的方向
O
A
旋转到另一位置OB，就形成角
α．
旋转开始时的射线OA叫做
角α的始边，旋转终止的射线
OB叫做角α的终边，射线的端
点O叫做角α的顶点．
新课内容
2.角的分类
习惯上规定：
按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角
S K 1800 450 , K Z
小结：
（1）角的分类：正角、负角、零角 （2）旋转角的计算公式 （3）终边相同或在同一直线上的角 的 集合表示
（4）判断一个角所在的象限（坐标轴 上的角的集合表示）
【小结】 正角：射线按逆时针方向旋转
1.任意角 的概念
形成的角
所以与-120 °角终边相同的角是240 ° 角，它是第三象限角。
新课内容
例1、在0到360度范围内，找出与下列各 角终边相同的角，并判断它是哪个象限的 角？
（1）-120°（2）640 °（3） -950 °12'
解（2）640°=360°+280°
所以与640°角终边相同的角是280°角， 它是第四象限角。
[练习]试在同一坐标系中，画出下列大小的角
(1)3900
(2)300
(3)-3300
观察它们的终边位置及数量关系是怎样的?
新课内容
(2)3900
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)300
y
By
x
Oo
A Oo
(3)-3300
By
B
x
x
A Oo
A
新课内容
四.终边相同的角
数量关系
B
30 o
o
A
B
+360 o
30 o
o
A
360 o
OB逆时针旋转一周后的角度： OB顺时针旋转一周后的角度： OB逆时针旋转两周后的角度： OB顺时针旋转两周后的角度：
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=2700+K∙3600,K∈Z} ={β| β=900+1800+2K∙1800,K∈Z} ={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}
新课内容
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为 S=S1∪S2
={β| β=900+1800 的偶数倍}
按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角
当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，零角
正角
角
零角
负角
记法：角 或 ，可简记为
新课内容
3.角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了
① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660.
② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）
新课内容
B
C
300
900
600
角的运算
AOC AOB BOC 900 300
900 300 600
o
A
各角和的旋转量等于各角旋转量的和
- -
在0到360度内找与已知角终边相同的角
方法是：用所给角除以3600。
所给角是正的：按通常的除法进行；
所给角是负的：角度除以3600，商是负数，它的绝对值 应比被除数为其相反数时相应的商大1，以便使余数为 正值。 判断角的象限方法
1.写成α＋K×3600 （00≤α＜3600，ｋ∈Z）的形式
2.由α的象限得出结论