数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗)
椅子(四条腿的椅脚连线呈长方形)能在不平的地面上放稳吗?
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。
椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同,当距离为0时,就是椅子四只脚着地,所以这个距离就是椅子位置变量θ的函数。
虽椅子有四只脚,四个距离,但由长方形是中心对称图形可用两个距离函数就行了。
A,C 两脚与地面的距离之和为()f θB,D 两脚与地面的距离之和为()g θ由假设2知道地面为连续曲面所以()f θ,()g θ是连续函数。
由假设3可得对于任意的θ,()f θ,()g θ至少一个为0。
可以假设(0)f =0,(0)g 〉0,而当椅子旋转180度后,对角线AC ,BD 互换,于是()f π〉0,()g π=0。
这样,改变椅子的位置使四只脚着地,就归结为证明如下的数学问题:已知()f θ,()g θ是θ的连续函数, 对任意的θ,()f θ*()g θ=0,而且()(0)0f g π==, (0)0,()0f g π>>。
证明存在0θ,使(0)(0)0f g θθ==。
五、模型求解(显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果)令()()()h f g θθθ=-,则(0)0h <和()0h π>。
由f 和g 的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质,比存在0(0)θθπ<<使得(0)0h θ=,即(0)(0)f g θθ=。
最后因为(0)*(0)0f g θθ=,所以(0)(0)0f g θθ==。
文案 编辑词条B 添加义项?文案,原指放书的桌子,后来指在桌子上写字的人。
现在指的是公司或企业中从事文字工作的职位,就是以文字来表现已经制定的创意策略。
文案它不同于设计师用画面或其他手段的表现手法,它是一个与广告创意先后相继的表现的过程、发展的过程、深化的过程,多存在于广告公司,企业宣传,新闻策划等。
基本信息中文名称文案外文名称Copy目录1发展历程2主要工作3分类构成4基本要求5工作范围6文案写法7实际应用折叠编辑本段发展历程汉字"文案"(wén àn)是指古代官衙中掌管档案、负责起草文书的幕友,亦指官署中的公文、书信等;在现代,文案的称呼主要用在商业领域,其意义与中国古代所说的文案是有区别的。
数学建模题目及答案
09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然后稍微挪动几次,就可以使四只脚同时着地,放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
(15分)解:对于此题,如果不用任何假设很难证明,结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 :(1)地面为连续曲面(2)长方形桌的四条腿长度相同(3)相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿是足够长的(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在,我们来证明:如果上述假设条件成立,那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示,方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处,A 、B,C 、D的初始位置在与x 轴平行,再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ,C 、D 平行。
当方桌绕中心0旋转时,对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。
容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性,令 ()f θ为A 、B 离地距离之和,()g θ为C 、D 离地距离之和,它们的值由θ唯一确定。
由假设(1),()f θ,()g θ均为θ的连续函数。
又由假设(3),三条腿总能同时着地, 故()f θ()g θ=0必成立(∀θ)。
不妨设(0)0f =,(0)0g >g (若(0)g 也为0,则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转),于是问题归结为:已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数,(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=,求证存在某一0θ,使00()()0f g θθ=。
证明:当θ=π时,AB 与CD 互换位置,故()0f π>,()0g π=。
作()()()h f g θθθ=-,显然,()h θ也是θ的连续函数,(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->,由连续函数的取零值定理,存在0θ,00θπ<<,使得0()0h θ=,即00()()f g θθ=。
数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗)
数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地
面上放稳吗)
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
四、模型建立
(显示模型函数的构造过程)
在上述假设下,解决问题的关键在于选择合适的变量,把椅子四只脚同时着地表示出来.
首先,引入合适的变量来表示椅子位置的挪动.生活经验告诉我们,要把椅子通过挪动放稳,通常有拖动或转动椅子两种办法,也就是数学上所说的平移与旋转变换.然而,平移椅子后问题的条件没有发生本质变化,所以用平移的办法是不能解决问题的.于是可尝试将椅子就地旋转,并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形.
注意到椅脚连线呈长方形,长方形是中心对称图形,绕它的对称中心旋转180度后,椅子仍在原地.把长方形绕它的对称中心O旋转,这可以表示椅子位置的改变。
于是,旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置.为此,在平面上建立直角坐标系来解决问题.
如下图所示,设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC所在的直线为x轴,对称中心O为原点,建立平面直角坐标系.椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后,长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置,这样就可以用旋转角θ(0≤θ≤π)表示出椅子绕点O旋转θ后的位置.
其次,把椅脚是否着地用数学形式表示出来.
我们知道,当椅脚与地面的竖直距离为零时,椅脚就着地了,而当这个距离大于零时,椅脚不着地.由于椅子在不同的位置是θ的函数,因此,椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数.
由于椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个,它们都是θ。
椅子能否放稳
1 椅子在不平的地面上能放稳吗(一)问题的分析与假设由三点构成一个平面可知,通常情况下,在不平的地面椅子是三只脚着地,如果要达到放稳的要求,必须是四只椅脚同时着地。
问题中,椅子四脚呈长方形,在以下建模过程中,为方便讨论,我们作出以下假设:(1)椅子的四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四角连线呈矩形;(2)地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面;(3)地面相对平坦,使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
(二)模型的建立与求解问题的解决,是通过建立直角坐标系,利用矩形的对角线平分且相等,以AC所在直线作为X轴,以垂至于AC的直线作为为Y轴,以矩形的中心点为原点建立直角坐标系。
如图所示:错误!用对角线AC与X轴的夹角α表示椅子当前的位置,此时,可设椅脚与地面的距离是α的函数。
椅子的四脚与地面应有四个距离的函数,但由于矩形的对称性,对角上的两点距离之和可用一个函数表示。
设A,C两脚与地面的距离之和为,B,D两脚与地面的距离之和为。
已知地面是连续曲面,椅子可在任意位置至少三只脚着地,把已知条件转化为数学问题为已知,是连续函数,即α为任意值,·=0总成立;且。
现只需证明存在α0,使。
现给出证明方法:开始α=0,将椅子旋转角度大小为∠AOB=a,此时对角线AC和BD互换。
由,知,。
令, 则有。
因为,为连续函数,所以也为连续函数,根据连续函数的基本性质,必存在α0使=0,即,又因为·=0,所以可得,证毕。
由证明的结果看,在不平的平面上,椅子呈矩形四脚距离地面的距离能同时为零,即椅子能在不平的地面放平稳。
若椅子的四脚呈等腰梯形,同理可证这样的椅子也能在不平的地面上放稳。
椅子摆放问题
问题:椅子能在不平的地面放稳吗?
模型假设对椅子和地面应该做出一些假设:
1.椅子四条腿一样长,椅子与地面接触可视为一个点,四角的连接呈长方形。
2.地面的高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况),即地面可以视为数学上的连续平面。
3.对于椅子腿的间距和椅子腿的长度而言地面是相对平坦的,使椅子腿在任何地方都有三个腿同时着地。
分析:
当椅子放稳时应为椅子的四条腿同时着地(即椅子的四条腿脚与地面的的距离为零)
如图建立直角坐标系,A、B、C、D为椅子的四条腿脚与地面的接触点。
表示在椅子不稳的情况下将椅子绕0点旋转角度后椅子的位置,不同的则表示椅子不同的位置。
问题:
是否存在一使得椅子的四条腿与地面的距离为零。
与假设三:记为椅子旋转角度时A、C两点(腿)到地面的距离之和记为椅子旋转角度时B、D两点(腿)到地面的距离之和对,=0
有假设二和都是在区间上的连续函数(地面是连续变化的)
由假设三不妨设:=0时有这样改变椅子的位置就可以使椅
子四只脚同时着地。
归结出数学命题:
已知和是的连续函数。
对,=0 且
证明存在,使得
模型求解:
如图(2)为将椅子旋转(两对角线之夹角)角度后,对角线BD覆盖到原先对角线AC 的位置上,而AC 则旋转出一新的位置。
由可知
令则有
的连续性可知也是连续函数,根据连续函数的基本性质
比存在使得
即有
肯定存在一位置可以使得四条腿同时着地放稳椅子,即椅子可以在不平的地方放。
椅子能在不平的地面上放稳吗
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件哪些是本质的,哪些是非本质的?
考察四脚连线呈长方形的椅子 (习题4)
1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题
通常我们在不太平的地面上放一把椅子时, 如果没有放稳,转一转就可以了,能通过建 模解释吗?
分析
这里涉及的事物有地面和椅子。首先对地面 的状况和椅子的形状应该进行合理的假设: 象台阶那样的地面是绝对不能放稳的,所以 地面不能在局部起伏过大;椅子应该是标准 的,不能少腿,一般是四条腿儿;
数学 问题
证明:存在0,使f(0) = g(0) = 0.
模型求解 给出一种简单、粗造的证明方法
将椅子旋转900,对角线AC和BD互换.
由g(0)=0, f(0) > 0 ,知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的 基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
C
C´ O
D´
A
x
D
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来. f() , g()是连续函数 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 对任意, f(), g()至少一 个为0 存在0,f(0)和 g(0) 同时 椅子放稳 为0. 已知: f() , g()是连续函数 ; 对任意, f() • g()=0 ; 且 g(0)=0, f(0) > 0.
数学建模题目及答案解析
数学建模题目及答案解析-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然后稍微挪动几次,就可以使四只脚同时着地,放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
(15分) 解:对于此题,如果不用任何假设很难证明,结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 : (1)地面为连续曲面(2)长方形桌的四条腿长度相同(3)相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿是足够长的 (4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在,我们来证明:如果上述假设条件成立,那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示,方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处,A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行,再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ,C 、D 平行。
当方桌绕中心0旋转时,对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。
容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性,令()f θ为A 、B 离地距离之和,()g θ为C 、D 离地距离之和,它们的值由θ唯一确定。
由假设(1),()f θ,()g θ均为θ的连续函数。
又由假设(3),三条腿总能同时着地, 故()f θ()g θ=0必成立(∀θ)。
不妨设(0)0f =,(0)0g >g (若(0)g 也为0,则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转),于是问题归结为: 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数,(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=,求证存在某一0θ,使00()()0f g θθ=。
证明:当θ=π时,AB 与CD 互换位置,故()0f π>,()0g π=。
作()()()h f g θθθ=-,显然,()h θ也是θ的连续函数,(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->,由连续函数的取零值定理,存在0θ,00θπ<<,使得0()0h θ=,即00()()f g θθ=。
简单数学建模应用例子
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建模实例
图中椅脚连线为正 方形ABCD,对角线 AC与x轴重合 椅子 绕中心点旋转角度 后,正方形ABCD转 至A`B`C`D`的位置, 所以对角线AC与x
2024/5/10
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建模实例
轴的夹角 表示了椅子的位置。 其次要把椅子脚着地,用数学符号表示出 来,如果用某个变量表示椅脚与地面的竖 直距离,那么当这个距离为零时就是椅脚 着地了,椅子在不同的位置椅脚与地面的 距离不同,所以这个距离就是位置变量 的 函数。
2024/5/10
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建模实例
阻滞增长模型(Logistic模型)
将增长率r表示为人口x(t)的函数r(x),按照前 面的分析,r(x)应是x的减函数。一个最简单的 假设是设 r(x)为x的线性函数, r(x)=r-sx, s>0, 这里r相当于x=0时的增长率,称为固有增长率, 它与指数模型中的增长率r不同,显然,对于 任意的x>0,增长率r(x)<r。为确定系数s的意 义,引入自然资源和环境条件所能容纳的最大 人口数量xm, 称为最大人口容量。
2024/5/10
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建模实例
安全渡河条件下的状态集称为允许状态集合, 记作S,不难写出
S={(x,y)|x=0, y=0, 1, 2, 3; x=y=1,2} - (1)
记第k次渡船上的商人数为uk ,随从数为vk ,将 二维向量dk = (uk,vk)定义为决策,允许决集合 记作D,由小船的容量可知
2024/5/10
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建模实例
用状态变量表示某一岸的人员状况,决策变量 表示船上的人员状况,可以找出状态随决策变 化的规律。问题转化为在状态的充许变化范围 内,确定每一步的决策,达到渡河的目标 模型的过成: 记第k次渡河前此岸的商人数为xk随从数为yk, k=1,2,……,xk , yk =0,1,2,3,将二维向量 sk=(xk,yk)定义为状态,
最新数学建模椅子能在不平的地面上放稳吗
椅子能在不平的地面上放稳吗?把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只要稍挪动几次,就可以四脚着地,放稳了.下面用数学语言证明.一、 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设:1. 椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触可视为一个点,四脚的连线呈正方形.2.3. 地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况),即地面可视为数学上的连续曲面.4.5. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.首先用变量表示椅子的位置,由于椅脚的连线呈正方形,以中心为对称点,正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变,于是可以用旋转D '角度θ这一变量来表示椅子的位置.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来,如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离,当这个距离为0时,表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.由于正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就行了,记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ,B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ,显然()θf 、()0≥θg ,由假设2知f 、g 都是连续函数,再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0.当0=θ时,不妨设()()0,0>=θθf g ,这样改变椅子的位置使四只脚同时着地,就归结为如下命题:命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数,对任意θ,()θf *()θg =0,且()()00,00>=f g ,则存在0θ,使()()000==θθf g .三、模型求解将椅子旋转90︒,对角线AC 和BD 互换,由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g .令()()()θθθf g h -=,则()()00,20h h π<>,由f 、g 的连续性知h 也是连续函数,由零点定理,必存在()2000πθθ<<使()00=θh ,()()00θθf g =,由()()000g f θθ⨯=,所以()()000==θθf g .四、评 注模型巧妙在于用一元变量θ表示椅子的位置,用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转90︒并不是本质的,同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.。
数学建模疫情题目及答案
数学建模疫情题目及答案1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然后稍微挪动几次,就可以使四只脚同时着地,放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
(15分)解:对于此题,如果不用任何假设很难证明,结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设:(1)地面为连续曲面(2)长方形桌的四条腿长度相同(3)相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿是足够长的(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在,我们来证明:如果上述假设条件成立,那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示,方桌的四条腿分别在A、B、C、D处,A、B,C、D的初始位置在与x轴平行,再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B,C、D平行。
当方桌绕中心0旋转时,对角线ab与x轴的夹角记为θ。
容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性,令()gθ为fθ为A、B离地距离之和,() C、D离地距离之和,它们的值由θ唯一确定。
由假设(1),()gθfθ,()均为θ的连续函数。
又由假设(3),三条腿总能同时着地,故()gθfθ()=0必成立(∀θ)。
不妨设(0)0f =,(0)0g >g (若(0)g 也为0,则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转),于是问题归结为:已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数,(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=,求证存在某一0θ,使00()()0f g θθ=。
证明:当θ=π时,AB 与CD 互换位置,故()0f π>,()0g π=。
作()()()h f g θθθ=-,显然,()h θ也是θ的连续函数,(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->,由连续函数的取零值定理,存在0θ,00θπ<<,使得0()0h θ=,即00()()f g θθ=。
数学建模题目及答案数学建模100题
09 级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地 ,放不稳,然后稍微挪动几 次,就可以使四只脚同时着地 ,放稳了.试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
(15分) 解:对于此题,如果不用任何假设很难证明 ,结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 : (1)地面为连续曲面(2)长方形桌的四条腿长度相同(3)相对于地面的弯曲程度而言 ,方桌的腿是足够长的 (4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在,我们来证明:如果上述假设条件成立,那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角 坐标系如图所示,方桌的四条腿分别在 A 、 B 、C 、D 处, A 、B,C 、D 的初始位置在与 x 轴平行, 再假设有一条在 x 轴上的线a b ,则a b 也与 A 、B,C 、D 平行。
当方桌绕中心 0 旋转时,对角线 ab 与 x 轴的夹角记为9 .容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定 的。
为消除这一不确定性,令 f(9) 为 A 、B 离地距离之和,g(9) 为 C 、D 离地距离之和, 它们的值由9 唯一确定。
由假设(1), f(9) , g(9) 均为9 的连续函数.又由假设(3) ,三条腿总能同时着地, 故 f(9) g(9)=0 必成立( A 9 )。
不妨设 f(0) = 0, g(0) > 0g (若 g(0)也为 0,则初始时刻已四条腿着地 ,不必再旋转) ,于 是问题归结为:已知 f(9) ,g(9)均为9 的连续函数, f(0) = 0, g(0) > 0且对任意9 有 f(90)g(90 ) = 0 ,求证存在某一90 ,使 f(90 )g(90 ) = 0。
证明:当θ=π时, AB 与 CD 互换位置 ,故 f(u) > 0,g(u) = 0.作 h(9) = f(9) g(9) ,显然, h(9)也是9 的连续函数, h(0) = f(0)g(0) < 0 而 h(u) = f(u) g(u) > 0 ,由连续函数的取零值定理,存在90 , 0 < 90 < u ,使得h(90 ) = 0 ,即 f(90 ) = g(90 ) 。
长方形的椅子能在地面上放稳吗
作业1 :长方形的椅子能在不平的地面上站稳吗?【模型假设】(1)椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处视为一点,四脚的连线呈长方形.(2)地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况),即从数学的角度看,地面是连续曲面.(3)椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.为保证这一点,要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言,地面是相对平坦的.因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内,如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的),此时三只脚是无法同时着地的.【建立模型】首先,引入合适的变量来表示椅子位置的挪动.要把椅子通过挪动放稳,通常有拖动或转动椅子两种办法,也就是数学上所说的平移与旋转变换.然而,平移椅子后问题的条件没有发生本质变化,所以用平移的办法是不能解决问题的.于是可尝试将椅子就地旋转,并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形. 椅脚连线呈长方形,长方形是中心对称图形,绕它的对称中心旋转180度后,椅子仍在原地.把长方形绕它的对称中心O 旋转,这可以表示椅子位置的改变。
于是,旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置.为此,在平面上建立直角坐标系来解决问题.如下图所示,设椅脚连线为长方形ABCD ,以对角线AC 所在的直线为x 轴,对称中心O 为原点,建立平面直角坐标系.椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后,长方形ABCD 转至1111D C B A 的位置,这样就可以用旋转角θ(0≤θ≤π)表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置.由于椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个,它们都是θ的函数.而由假设(3)可知,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地,即这四个函数对于任意的θ,其函数值至少有三个同时为0.因此,只需引入两个距离函数即可.考虑到长方形ABCD 是中心对称图形,绕其对称中心 O 沿逆时针方向旋转180°后,长方形位置不变,但A,C 和B,D 对换了.因此,记A ,B 两脚与地面竖直距离是()θf ,DC ,两脚与地面的竖直距离之和是()θg ,其中[]πθ,0∈,从而将原问题转化为数学问题,数学模型:已知()θf ,()θg 是非负的连续函数,对于任意的θ,有()()0=•θθg f ,证明存在某个[]πθ,00∈,使得()()000==θθg f 成立。
数学建模题目及答案
数学建模题目及答案09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然后稍微挪动几次,就可以使四只脚同时着地,放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
(15分)解:对于此题,如果不用任何假设很难证明,结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设:(1)地面为连续曲面(2)长方形桌的四条腿长度相同(3)相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿是足够长的(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在,我们来证明:如果上述假设条件成立,那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示,方桌的四条腿分别在A、B、C、D处,A、B,C、D的初始位置在与x轴平行,再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B,C、D平行。
当方桌绕中心0旋转时,对角线 ab与x轴的夹角记为?。
容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性,令 f(?)为A、B离地距离之和,g(?)为C、D离地距离之和,它们的值由?唯一确定。
由假设(1),f(?),g(?)均为?的连续函数。
又由假设(3),三条腿总能同时着地,故。
不妨设f(0)?0,g(0)?0g(若g(0)也为0,f(?)g(?)=0必成立(??)则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转),于是问题归结为:已知f(?),g(?)均为?的连续函数,f(0)?0,g(0)?0且对任意?有f(?0)g(?0)?0,求证存在某一?0,使f(?0)g(?0)?0。
证明:当θ=π时,AB与CD互换位置,故f(?)?0,g(?)?0。
作h(?)?f(?)?g(?),显然,h(?)也是?的连续函数,h(0)?f(0)?g(0)?0而h(?)?f(?)?g(?)?0,由连续函数的取零值定理,存在?0,0??0??,使得h(?0)?0,即f(?0)?g(?0)。
又由于f(?0)g(?0)?0,故必有f(?0)?g(?0)?0,证毕。
椅子能在不平的地面上放稳吗(1)
椅子能在不平的地面上放稳吗?把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只要稍挪动几次,就可以四脚着地,放稳了。
下面用数学语言证明。
一、 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设:1、 椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触可视为一个点,四脚的连线呈正方形。
2、 地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况),即地面可视为数学上的连续曲面。
3、 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。
首先用变量表示椅子的位置,由于椅脚的连线呈正方形,以中心为对称点,正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变,于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来,如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离,当这个距离为0时,表示椅脚着地了。
椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。
由于正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就行了,记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ,B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ,显然()θf 、()0≥θg ,由假设2知f 、g 都是连续函数,再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0。
当0=θ时,不妨设()()0,0>=θθf g ,这样改变椅子的位置使四只脚同时着地,就归结为如下命题:命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数,对任意θ,()θf *()θg =0,且()()00,00>=f g ,则存在0θ,使()()000==θθf g 。
三、模型求解将椅子旋转090,对角线AC 和BD 互换,由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g 。
令()()()h f g θθθ=-,则()()02,00<>πh h ,由f 、g的连续性知h 也是连续函数,由零点定理,必存在()2000πθθ<<使()00=θh ,()()00θθf g =,由()()0*00=θθf g ,所以()()000==θθf g 。
数学建模题目及答案-数学建模100题
09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,次,就可以使四只脚同时着地, 放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
(15 分)解:对于此题,如果不用任何假设很难证明,结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 : (1 )地面为连续曲面(2) 长方形桌的四条腿长度相同(3) 相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿是足够长的 (4) 方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
坐标系如图所示,方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处,A 、的初始位置在与x 轴平行,再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也 与A 、B ,C 、D 平行。
当方桌绕中心 0旋转时,对角线ab 与x 轴的 夹角记为V容易看岀,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确 定的。
为消除这一不确定性,令f(v)为A B 离地距离之和,g(r)为CD 离地距离之和,它们的值由h 唯一确定。
由假设(1 ),f(R ,gU) 均为二的连续函数。
又由假设(3),三条腿总能同时着地,不妨设f(0) =0, g(0) 0g (若g(0)也为o ,则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转) ,于是问题归结为:已知f(v),g(v)均为V 的连续函数,f(0)=0, g(0)0且对任意 二有 f®)g(r °) = o , 求证存在某一二0,使 f 仇)g&0)=0。
证明:当9 =n 时,AB 与CD 互换位置,故f (二)• 0,g (二)=0。
作h(3 = f()划),显然,h(^ )也是二的连续函数,h(0) = f (0) - g(0) ::: 0而h(「:)= f (二)-g (二)• 0,由连续函数的取零值定 理,存在^0,0「0 :::二,使得h 仇)=0,即fU 。
)= gp 0)。
又由于f (入沟厲)=0,故必有 f 厲)=gC 。
数学建模题目及详细答案
数学建模题目及详细答案作者:日期:09 级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地, 次,就可以使四只脚同时着地,放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
解:对于此题,如果不用任何假设很难证明,结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 :(1) 地面为连续曲面(2) 长方形桌的四条腿长度相同(3) 相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿是足够长的(4) 方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在,我们来证明:如果上述假设条件成立,那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角 坐标系如图所示,方桌的四条腿分别在 A 、 B 、C 、D 处, A 、 B,C 、 D 的初始位置在与 x 轴平行,再假设有一条在 x 轴上的线 ab,则 ab 也 与A 、B ,C 、D 平行。
当方桌绕中心 0旋转时,对角线 ab 与 x 轴的 夹角记为 。
容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确 定的。
为消除这一不确定性,令 f ( ) 为 A 、B 离地距离之和,g( )为 C 、D 离地距离之和, 它们的值由 唯一确定。
由假设(1), f( ), g( ) 均为 的连续函数。
又由假设(3),三条腿总能同时着地,不妨设 f (0) 0, g(0)0g (若 g(0) 也为 0,则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转),于是问题归结为:已知 f( ), g( ) 均为的连续函数,f (0) 0, g(0)0 且对任意 有 f ( 0)g(0) 0 ,求证存在某一 0,使 f ( 0)g( 0) 0 。
证明:当θ =π时,AB 与 CD 互换位置,故 f( ) 0 ,g( ) 0。
作 h( )f( ) g() ,显然, h( )也是 的连续函数, h(0)f (0) g(0) 0 而 h( ) f ( ) g( )0 ,由连续函数的取零值定理,存在 0 ,0,使得 h( 0) 0,即 f( 0)g( 0) 。
椅子能在不平的地面上放稳
技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则
想象力 洞察力
判断力
创新意识
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型
• 亲自动手,认真作几个实际题目
看谁答得快
1、某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山,下午5时到达山顶 并留宿。次日早8时沿同一路径下山,下午5时回到旅店。某 乙说,甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点,为 什么?
习题
• 模仿这一案例,作下面一题: 人带着猫、鸡、米过河,船除需要
人划之外,至多能载猫、鸡、米三者之 一,而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃 米。试设计一安全过河方案,并使渡河 次数尽量地少。
建模示例 如何预报人口的增长
背景
世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
求解
知g(
2
)>0,f(
2
)=0
令 续 即h函f((tt0数))== 。fg((tt)0根-)。g据(t),连则续h(函0)>数0和的h基(2本) 性<0质,,由必f存和在g的t0 (连0续<t性0<知2 ),h使也h是(t0连)=0,
最后,因为f(t) •g(t)=0,所以f(t0)= g(t0)=0。
D={(u , v) u+v=1, 2}
模型求解 穷举法 ~ 编程上机
y
图 解
状态s=(x,y) ~ 16个格点
3
法 允许状态S ~ 10个 点
允许决策D ~ 移动1或2格; 2
k奇,左下移; k偶,右上移.
d1, d11给出安全渡河方案
1 d11
数学建模作业长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗修订稿
数学建模作业长⽅形椅⼦能否在不平的地⾯上放稳吗修订稿
数学建模作业长⽅形椅⼦能否在不平的地⾯上
放稳吗
Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
四、模型建⽴
(显⽰模型函数的构造过程)
在上述假设下,解决问题的关键在于选择合适的变量,把椅⼦四只脚同时着地表⽰出来.
⾸先,引⼊合适的变量来表⽰椅⼦位置的挪动.⽣活经验告诉我们,要把椅⼦通过挪动放稳,通常有拖动或转动椅⼦两种办法,也就是数学上所说的平移与旋转变换.然⽽,平移椅⼦后问题的条件没有发⽣本质变化,所以⽤平移的办法是不能解决问题的.于是可尝试将椅⼦就地旋转,并试图在旋转过程中找到⼀种椅⼦能放稳的情形.
注意到椅脚连线呈长⽅形,长⽅形是中⼼对称图形,绕它的对称中⼼旋转180度后,椅⼦仍在原地.把长⽅形绕它的对称中⼼O旋转,这可以表⽰椅⼦位置的改变。
于是,旋转⾓度θ这⼀变量就表⽰了椅⼦的位置.为此,在平⾯上建⽴直⾓坐标系来解决问题.
如下图所⽰,设椅脚连线为长⽅形ABCD,以对⾓线AC所在的直线为x 轴,对称中⼼O为原点,建⽴平⾯直⾓坐标系.椅⼦绕O点沿逆时针⽅向旋转⾓度θ后,长⽅形ABCD转⾄A1B1C1D1 的位置,这样就可以⽤旋转⾓θ(0≤θ≤π)表⽰出椅⼦绕点O旋转θ后的位置.
其次,把椅脚是否着地⽤数学形式表⽰出来.
我们知道,当椅脚与地⾯的竖直距离为零时,椅脚就着地了,⽽当这个距离⼤于零时,椅脚不着地.由于椅⼦在不同的位置是θ的函数,因此,椅脚与地⾯的竖直距离也是θ的函数.
由于椅⼦有四只脚,因⽽椅脚与地⾯的竖直距离有四个,它们都是θ。
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如下图所示,设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC所在的直线为x轴,对称中心O为原点,建立平面直角坐标系.椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后,长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置,这样就可以用旋转角θ(0≤θ≤π)表示出椅子绕点O旋转θ后的位置.
其次,把椅脚是否着地用数学形式表示出来.
我们知道,当椅脚与地面的竖直距离为零时,椅脚就着地了,而当这个距离大于零时,椅脚不着地.由于椅子在不同的位置是θ的函数,因此,椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数.
由于椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个,它们都是θ的函数.而由假设(3)可知,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地,即这四个函数对于任意的θ,其函数值至少有三个同时为0.因此,只需引入两个距离函数即可.考虑到长方形ABCD是中心对称图形,绕其对称中心O沿逆时针方向旋转180°后,长方形位置不变,但A,C和B,D 对换了.因此,记
A、B两脚与地面竖直距离之和为f(θ),C、D两脚与地面竖直距离。