定比分点公式专题讲座

线段的定比分点

南宁二中 陈芬

教学重点：1、准确理解和掌握定比分点的有关概念；

2、掌握定比分点坐标公式及其推导方法与应用。

教学难点：1、定比分点的有关概念及定比分点坐标公式的推导方法； 2、暴露公式推导中所蕴涵的数学思想与方法。 教学目标

⑴掌握定比分点的有关概念、定比分点坐标公式及公式的推导方法和应用。 ⑵领悟到公式推导中蕴涵的数学思想，并在推导过程中培养学生的思维能力

和创新能力，以及对知识的应用能力。

⑶感悟如何去分析问题、提出问题并解决问题的思维过程，学会自主学习。 ⑷培养学生勇于探究、善于探究的精神，从而养成学生良好的数学学习品质。

教学方式：启发式、探究式 教具使用：多媒体

教学过程： 一、设置情景

中国驻南极的科考站派出的科考车在科考站附近的两个地点1P 、2P 之间进行实地考察（如图），1P 在科考站北偏西距离10公里的地方，2P 在科考站北偏东距离20公里的地方。科考车按一定速度从1P 到2P 直线行驶需3个小时。一天，科考站收到消息，科考车从1P 出发2小时到P 处时出现故障，现从科考站派出的救援车若按一定速度行驶，则应朝哪个方向行驶可最快赶往出事点P 处？

西

二、探究引入与揭示课题 问题一：

针对以上实际问题，请同学们提炼出一个数学模型。（展示学生的成果） ①已知点),(111y x P 、),(222y x P ，有一点P 使

k PP P

P =2

1，求P 点坐标 ②已知点),(111y x P 、),(222y x P ，直线21P P 上有一点P 使

k PP P

P =2

1，求P 点坐标 ③已知点),(111y x P 、),(222y x P ，线段21P P 上有一点P 使k PP P

P =2

1，求P 点坐标 问题二：

哪几个表述是可以解决的？

（通过分析，学生会发现只有③可以确定解决，①解决不了，而②包含有两种情况，其中一种就是③，那另一种情况呢？引导学生对②进行分类，得出以下两种表述）

④已知点),(111y x P 、),(222y x P ，线段21P P 延长线上有一点P 使k PP P

P =2

1，求P 点坐标

⑤已知点),(111y x P 、),(222y x P ，线段21P P 反向延长线上有一点P 使

k PP P

P =2

1，

求P 点坐标

问题三：

③④⑤的表述有哪些异同？可以用什么更简洁的表述形式来代替这些表述？ （引导学生归纳出：③④⑤的表述都可用下面的形式代替就） 21

PP P P λ= 问题四：

λ取何值时分别代表③④⑤的意义？ 点P 在线段21P P 上⇔0>λ； 点P 在线段21P P 延长线上⇔1-<λ； 点P 在线段21P P 反向延长线上⇔01<<-λ

三、概念的形成及公式的推导 定义：

设1P 、2P 是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于1P 、2P 的任意一点，则存在一个实数λ，使21PP P P λ=，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。 点P 在线段21P P 上⇔0>λ； 点P 在线段21P P 延长线上⇔1-<λ； 点P 在线段21P P 反向延长线上⇔01<<-λ 方法1：

构造直角三角形如图， 利用PA P 1∆与B PP 2∆相似，

得出 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==λλλλy y y y x x x x B P PA PB A P 21

2121， 解得⎪⎩

⎪⎨

⎧++=++=λ

λλλ112121y y y x x x

方法2：

),(),(221121

y y x x y y x x PP P P --=--⇒=λλ ⎪⎩

⎪⎨

⎧++=

++=⎩⎨⎧⇒-=--=-⇒λ

λλλλλ11)()(212

12121y y y x x x y y y y x x x x ……① 把①式叫做有向线段2

1P P 的定比分点的坐标公式. 小结：⑴横坐标、纵坐标分别在两个式子中；

⑵两式结构一样，都有λ和三个坐标四个量，都是知三求一.

1

P P

2

P

A

B

四、巩固练习

练习一：

试用定比分点的坐标公式解决刚开始的情境问题

练习二：

看图填空：

B 分A

C 所成的比=λ ； B 分CA 所成的比=λ ； A 分BC 所成的比=λ ； C 分AB 所成的比=λ ；

练习三：

已知两点)2,3(1P ，)3,8(2-P ，求点),2

1(y P 分21P P 所成的比λ及y 的值.

练习四：

求连结下列两点的线段的中点的坐标 ⑴)2,3(),4,3(-B A ；⑵)6,3(),1,7(---B A ； ⑶),(),,(2211y x B y x A ．

五、小结：

1、分点分有向线段所成的比的定义，以及对定比λ的不同要求；

2、有向线段的定比分点的坐标公式及公式的结构特征；线段的中点坐标公式；

3、蕴涵于探索概念和公式推导中的思想方法 作业117P —习题5.5—1、2.

课后思考：你认为本结课所学的公式与推导公式的方法哪个更重要？

A

C

B