赫尔德不等式

赫尔德不等式

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在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||p和||g||q表示（可能无穷的）表达式：以及如果p = ∞，那么||f ||∞表示|f |的本性上确界，||g||∞也类似。在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞，则得出∞。

如果||f ||p = 0，那么fμ-几乎处处为零，且乘积fgμ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q = 0也是这样。因此，我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。

如果||f||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。

如果p= ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q= ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p, q∈ (1,∞)。

分别用f和g除||f ||p||g||q，我们可以假设：

我们现在使用杨氏不等式：

对于所有非负的a和b，当且仅当a = b时等式成立。因此：

两边积分，得：

这便证明了赫尔德不等式。

在p∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β > 0（即α = ||g||q 且β = ||f ||p），使得：

μ-几乎处处 (*) ||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。||g||q = 的情况对应于(*)中的α = 0。