赫尔德不等式和闵科夫斯基不等式的证明

Holder不等式与Minkowski不等式的证明

赫德(Holder)不等式是通过Young不等式来证明的,而闵可夫斯基(Minkowski)不等式是通过赫德(Holder)不等式来证明的.

Young不等式

Young不等式的证明

赫德不等式(Holder)

赫德不等式的证明

闵可夫斯基不等式(Minkowski)

闵可夫斯基不等式的证明

同理可得

∑i=1n b i(a i+b i)p−1≤(∑i=1n b p i)1p(∑i=1n(a i+b i)p)1−1p

两不等式相加,即得

∑i=1n(a i+b i)p≤((∑i=1n a p i)1p+(∑i=1n b p i)1p)(∑i=1n(a i+b i)p)1−1p 两边同时除以(∑i=1n(a i+b i)p)1−1p,便得

(∑i=1n a p i)1p+(∑i=1n b p i)1p≥(∑i=1n(a i+b i)p)1p