一元二次方程单元试卷(word版含答案)
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∴∠ OPK= ∠ OKB， ∴OP=OK=CE=CD， 又∵ ∠ ECD=60°， ∴△ CDE 是等边三角形，
∴CE=CD=DE， 连接 OE，∵ ∠ ADE=∠ APO，DE=CD=OP， ∴△ OPE≌ △ EDA， ∴AE=OE， ∠ OAE=60°， ∴△ OAE 是等边三角形， ∴ OA=AE=5 ， ∵四边形 ADCE 的周长等于 22， ∴AD+2DE=17，
一元二次方程单元试卷（word 版含答案）
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难） 1．已知:在平面直角坐标系 xoy 中,直线 y kx b 分别交 x 、 y 轴于点 A、B 两
点,OA=5,∠OAB=60°. (1)如图 1,求直线 AB 的解析式； (2)如图 2,点 P 为直线 AB 上一点，连接 OP,点 D 在 OA 延长线上，分别过点 P、D 作 OA、OP 的平行线,两平行线交于点 C，连接 AC,设 AD=m,△ABC 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关系式; (3)如图 3,在(2)的条件下,在 PA 上取点 E ,使 PE=AD, 连接 EC,DE,若∠ECD=60°,四边形 ADCE 的周长等于 22，求 S 的值.
【答案】(1)直线解析式为 y 3x 5 3 ；(2)S= 5 3 m 25 3 ；(3) S 20 3 .
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2
【解析】
【分析】
(1)先求出点 B 坐标，设 AB 解析式为 y kx b ，把点 A(5，0)，B(0， 5 3 )分别代入，利用
待定系数法进行求解即可； (2)由题意可得四边形 ODCP 是平行四边形，∠ OAB=∠ APC=60°，则有 PC=OD=5+m，
长等于 22，可得 ED= 17 m ，过点 E 作 EN⊥OD 于点 N，则 DN= 5 m ，由勾股定理得
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EN 2 DN 2 DE2 ， 可得关于 m 的方程，解方程求得 m 的值后即可求得答案.
【详解】
(1)在 Rt△ ABO 中 OA=5，∠ OAB=60°， ∴∠ OBA=30°，AB=10 ，
设∠ OPA= ，则∠ OPC= ∠ ADC= ∠ PEC=60°+ ，
在 BA 延长线上截取 AK=AD，连接 OK，DK，DE， ∵ ∠ DAK=60°， ∴△ ADK 是等边三角形， ∴ AD=DK=PE，∠ ODK=∠ APC， ∵PC=OD， ∴△ PEC≌ △ DKO，
∴OK=CE，∠ OKD=∠ PEC=∠ OPC=60°+ ， ∠ AKD= ∠ APC=60°，
2
【点睛】 本题考查的四边形综合题，涉及了待定系数法，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全 等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有 一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从 2016 年底到 2018 年底两年内由 5 万 册增加到 7.2 万册. （1）求这两年藏书的年均增长率； （2）经统计知：中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%，在这两年新 增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到
∴ ED= 17 m ， 2
过点 E 作 EN⊥OD 于点 N，则 DN= 5 m ， 2
由勾股定理得 EN 2 DN 2 DE2 ，
即 (5 3 )2 (m 5)2 (17 m)2 ，
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解得 m1 3 ， m2 21 (舍去)，
Βιβλιοθήκη Baidu
∴S= 15 3 25 3 =20 3 .
2
解：（1）设这两年藏书的年均增长率是 x ，
51 x2 7.2 ，
解得， x1 0.2 ， x2 2.2 （舍去），
答：这两年藏书的年均增长率是 20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有 7.2 5 20% 0.44 （万册），
截取 AK=AD，连接 OK，DK，DE，证明△ ADK 是等边三角形，继而证明△ PEC≌ △ DKO，通
过推导可得到 OP=OK=CE=CD，再证明△ CDE 是等边三角形，可得 CE=CD=DE，连接 OE，证
明△ OPE≌ △ EDA，继而可得△ OAE 是等边三角形，得到 OA=AE=5 ，根据四边形 ADCE 的周
过点 C 作 CH⊥AB，在 Rt△ PCH 中 PH= 5 m ，由勾股定理得 CH= 3 5 m ，
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∴S= 1 AB • CH= 1 10 3 (5 m) 5 3 m 25 3 ；
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(3) ∵∠ ECD=∠ OAB=60°， ∴ ∠ EAD+∠ ECD=180°，∠ CEA+∠ ADC=180°， ∴∠ PEC=∠ ADC，
∠PCH=30°，过点 C 作 CH⊥AB，在 Rt△ PCH 中 利用勾股定理可求得 CH= 3 5 m ，再
2
由 S= 1 AB • CH 代入相关数据进行整理即可得； 2
(3) 先求得∠ PEC=∠ ADC，设∠ OPA= ，则∠ OPC= ∠ ADC= ∠ PEC=60°+ ，在 BA 延长线上
2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？ 【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是 20%；（2）到 2018 年底中外古典名著的册数 占藏书总量的 10%． 【解析】 【分析】 （1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到 2018 年底中外古 典名著的册数占藏书总量的百分之几. 【详解】
由勾股定理可得 OB= 5 3 ，
∴B(0， 5 3 )，
设 AB 解析式为 y kx b ，把点 A(5，0)，B(0， 5
3
)分别代入，得
0
5k
b
，
5 3 b
∴
k
3
，
b 5 3
∴直线解析式为 y 3x 5 3 ；
(2)∵CP//OD，OP//CD， ∴ 四边形 ODCP 是平行四边形，∠ OAB=∠ APC=60°， ∴ PC=OD=5+m，∠PCH=30°，
∴CE=CD=DE， 连接 OE，∵ ∠ ADE=∠ APO，DE=CD=OP， ∴△ OPE≌ △ EDA， ∴AE=OE， ∠ OAE=60°， ∴△ OAE 是等边三角形， ∴ OA=AE=5 ， ∵四边形 ADCE 的周长等于 22， ∴AD+2DE=17，
一元二次方程单元试卷（word 版含答案）
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难） 1．已知:在平面直角坐标系 xoy 中,直线 y kx b 分别交 x 、 y 轴于点 A、B 两
点,OA=5,∠OAB=60°. (1)如图 1,求直线 AB 的解析式； (2)如图 2,点 P 为直线 AB 上一点，连接 OP,点 D 在 OA 延长线上，分别过点 P、D 作 OA、OP 的平行线,两平行线交于点 C，连接 AC,设 AD=m,△ABC 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关系式; (3)如图 3,在(2)的条件下,在 PA 上取点 E ,使 PE=AD, 连接 EC,DE,若∠ECD=60°,四边形 ADCE 的周长等于 22，求 S 的值.
【答案】(1)直线解析式为 y 3x 5 3 ；(2)S= 5 3 m 25 3 ；(3) S 20 3 .
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【解析】
【分析】
(1)先求出点 B 坐标，设 AB 解析式为 y kx b ，把点 A(5，0)，B(0， 5 3 )分别代入，利用
待定系数法进行求解即可； (2)由题意可得四边形 ODCP 是平行四边形，∠ OAB=∠ APC=60°，则有 PC=OD=5+m，
长等于 22，可得 ED= 17 m ，过点 E 作 EN⊥OD 于点 N，则 DN= 5 m ，由勾股定理得
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2
EN 2 DN 2 DE2 ， 可得关于 m 的方程，解方程求得 m 的值后即可求得答案.
【详解】
(1)在 Rt△ ABO 中 OA=5，∠ OAB=60°， ∴∠ OBA=30°，AB=10 ，
设∠ OPA= ，则∠ OPC= ∠ ADC= ∠ PEC=60°+ ，
在 BA 延长线上截取 AK=AD，连接 OK，DK，DE， ∵ ∠ DAK=60°， ∴△ ADK 是等边三角形， ∴ AD=DK=PE，∠ ODK=∠ APC， ∵PC=OD， ∴△ PEC≌ △ DKO，
∴OK=CE，∠ OKD=∠ PEC=∠ OPC=60°+ ， ∠ AKD= ∠ APC=60°，
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【点睛】 本题考查的四边形综合题，涉及了待定系数法，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全 等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有 一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从 2016 年底到 2018 年底两年内由 5 万 册增加到 7.2 万册. （1）求这两年藏书的年均增长率； （2）经统计知：中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%，在这两年新 增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到
∴ ED= 17 m ， 2
过点 E 作 EN⊥OD 于点 N，则 DN= 5 m ， 2
由勾股定理得 EN 2 DN 2 DE2 ，
即 (5 3 )2 (m 5)2 (17 m)2 ，
2
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解得 m1 3 ， m2 21 (舍去)，
Βιβλιοθήκη Baidu
∴S= 15 3 25 3 =20 3 .
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解：（1）设这两年藏书的年均增长率是 x ，
51 x2 7.2 ，
解得， x1 0.2 ， x2 2.2 （舍去），
答：这两年藏书的年均增长率是 20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有 7.2 5 20% 0.44 （万册），
截取 AK=AD，连接 OK，DK，DE，证明△ ADK 是等边三角形，继而证明△ PEC≌ △ DKO，通
过推导可得到 OP=OK=CE=CD，再证明△ CDE 是等边三角形，可得 CE=CD=DE，连接 OE，证
明△ OPE≌ △ EDA，继而可得△ OAE 是等边三角形，得到 OA=AE=5 ，根据四边形 ADCE 的周
过点 C 作 CH⊥AB，在 Rt△ PCH 中 PH= 5 m ，由勾股定理得 CH= 3 5 m ，
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∴S= 1 AB • CH= 1 10 3 (5 m) 5 3 m 25 3 ；
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(3) ∵∠ ECD=∠ OAB=60°， ∴ ∠ EAD+∠ ECD=180°，∠ CEA+∠ ADC=180°， ∴∠ PEC=∠ ADC，
∠PCH=30°，过点 C 作 CH⊥AB，在 Rt△ PCH 中 利用勾股定理可求得 CH= 3 5 m ，再
2
由 S= 1 AB • CH 代入相关数据进行整理即可得； 2
(3) 先求得∠ PEC=∠ ADC，设∠ OPA= ，则∠ OPC= ∠ ADC= ∠ PEC=60°+ ，在 BA 延长线上
2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？ 【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是 20%；（2）到 2018 年底中外古典名著的册数 占藏书总量的 10%． 【解析】 【分析】 （1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到 2018 年底中外古 典名著的册数占藏书总量的百分之几. 【详解】
由勾股定理可得 OB= 5 3 ，
∴B(0， 5 3 )，
设 AB 解析式为 y kx b ，把点 A(5，0)，B(0， 5
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)分别代入，得
0
5k
b
，
5 3 b
∴
k
3
，
b 5 3
∴直线解析式为 y 3x 5 3 ；
(2)∵CP//OD，OP//CD， ∴ 四边形 ODCP 是平行四边形，∠ OAB=∠ APC=60°， ∴ PC=OD=5+m，∠PCH=30°，