竖直平面内的圆周运动(绳、杆模型)学校学案

竖直平面内的圆周运动（绳、杆模型）

学习目标：

1、加深对向心力的认识，会在绳、杆两类问题中分析向心力的来源。

2、知道两类问题的“最高点”、“最低点”临界条件。

注意知识点：

1、对于物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常分析两种模型：绳模型、杆模型。两种模型过最高点的临界条件不同，其实质原因主要是：

（1）“绳”（或圆轨道内侧）不能提供支撑力，只能提供拉力。

（2）“杆”（或在圆环状细管内）既能承受压力，又能提供支撑力。

一、绳模型：

如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为m，绳长为R，

1、在最低点时，对小球受力分析，小球受到重力、绳的拉力。由牛

顿第二定律得：向心力由重力mg和拉力F的合力提供：

F-mg =

2

v

m

R

得：F =mg+

2

v

m

R

在最低点拉力大于重力

2、在最高点时，我们对小球受力分析如图，小球受到重力、绳的拉力。可知小球做圆周运动的向心力由重力mg和拉力F共同提供：

F+mg =

2 v m

R

在最高点时，向心力由重力和拉力共同提供，v越大，所需的向心力越大，重力不变，因此大力就越大；反过来，v越小，所需的向心力越小，重力不变，因此拉力也就越小。如果v不断减小，那么绳的拉力就不断减小，在某时刻绳的拉力F就会减小到0，这时小球的向心力最小F向=mg，这时只有重力提供向心力。故：

（1）小球能过最高点的临界条件：绳子（或轨道）对小球刚好没有力的作用，只有重力提供向心力，小球做圆周运动刚好能过最高点。

mg =

2

v

m

R

v

临界

=Rg

（2）小球能过最高点条件：v≥Rg

（当v >Rg时，绳对球产生拉力或轨道对球产生压力，向心力由重力和绳的拉力共同提供）（3）不能过最高点条件：v

（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）

二、杆模型：

如图，小球在轻杆的约束下在竖直平面内做匀速圆周运动，小球质量为m，杆长为R，

1、在最低点时，对小球受力分析，向心力的来源是向心力由重力mg和拉力F

的合力提供，由牛顿第二定律得：F+mg =

2 v m

R

在最低点情况和绳模型一样

2、在最高点时，我们对小球受力分析如图,杆的弹力F N有可能是拉力，也可能是支持力。（1）若杆的作用力为支持力；

受力分析：小球受竖直向下的重力和竖直向上的支持力

列牛顿第二定律： mg -F=2v m R （2）若杆的作用力为拉力； 受力分析：小球受竖直向下的重力和竖直向下的拉力 列牛顿第二定律： mg +F=2v m R

（3）若杆的作用力为零时，小球仅受竖直向下的重力； 列牛顿第二定律： mg =2

v m R

(4)小球在最高点速度为零时，杆的支持力大小等于重力，小球的

向心力为零。

注：小球在圆形管道内运动过圆周最高点的情况与此相同。

故杆或者圆形管道内运动过圆周最高点的情况可总结为：

（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力）

（2）当0< v F > 0（F 为支持力）

（3）当v =Rg 时，F =0

（4）当v >Rg 时，F 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力）

例1．长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度0v ，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确

的是 （ ）

A ．球过最高点时，速度为零

B ．球过最高点时，绳的拉力为mg

C ．开始运动时，绳的拉力为2v m L

D ．球过最高点时，速度大小为Lg 解析：开始运动时，由小球受的重力mg 和绳的拉力F 的合力提供向心力，即20v F mg m L

-=，20v F m mg L

=+，可见C 不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，2v mg m L =，v Lg =，所以，A 、B 、C 均不正确。故选：D

例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端

O 为圆心，使小球做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是 （ ）

A ．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零

B ．球过最高点时，最小速度为Rg

C ．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反

D ．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力

解析：小球用轻杆支持过最高点时，0v =临，故B 不正确；当v Rg =时，F = 0故A 正确。当0< v F > 0，F 为支持力故D 正确。当v >Rg 时，F >0，F 为拉力，故C 不正确。故选：A 、D

例3．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg ，绳长L = 40cm ，求： （１）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？

（２）桶在最高点速率v = 3m/s 时，水对桶底的压力？

O

图6-11-3

解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需的向心力。即：20v mg m R ≤，则最小速率00.410v Rg ==⨯m/s = 2m/s

（2）水在最高点速率大于v 0 时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，

设为F ，由牛顿第二定律有F + mg =2

v m R

， F = 2v m R -mg = 6.25N ，由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力F / ＝F = 6.25N ，方向竖直向上。

巩固练习

1．汽车以—定速率通过拱桥时，下列说法中正确的是 ( )

A ．在最高点汽车对桥的压力大于汽车的重力

B ．在最高点汽车对桥的压力等于汽车的重力

C ．在最高点汽车对桥的压力小于汽车的重力

D ．汽车以恒定的速率过桥时，汽车所受的合力为零

2．乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m 的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是（ ）

A ．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来

B ．人在最高点时对座仍可能产生压力，但压力一定小于mg

C ．人在最低点时对座位的压力等于mg

D ．人在最低点时对座位的压力大于mg

3．把盛水的水桶拴在长为L 的绳子一端，使水桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水桶转到最高点时不从水桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是( )

.2A gL ./2B gL .C gL .2D gL

4．如图所示，用长为l 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )

A ．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力

B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零

C ．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为gL

D ．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力

5．一轻杆一端固定一质量为M 的小球，以另—端为轴在竖直面内做圆周运动。小球运动到最高点时，关于小球受力，下列说法中正确的是 ( )

A ．轻杆对小球的作用力不可能向下

B ．轻杆对小球的作用力不可能为零

C ．轻杆对小球的作用力和小球重力的合力提供向心力

D ．小球所受的向心力不可能为零

6．如图所示，长为L 的轻杆，一端固定着一个小球，另一端可绕光滑的水平轴转，使小球在竖直平面内运动，设小球在最高点的速度为v ，则 ( )

A ．v 的最小值为gL

B ．v 若增大，向心力也增大

C ．当v 由gL 逐渐增大时，杆对球的弹力也增大

D ．当v 由gL 逐渐减小时，杆对球的弹力也逐渐减小

7．如图所示，小球m 在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有 ( )

A ．小球通过最高点的最小速度为v Rg =

B ．小球通过最高点的最小速度为0

（第5题） （第7题） O L ω