人教版八年级第二学期5月份月考数学试卷及答案

一、选择题
1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边AB 上，AE ＝1，若点P 为对角线BD 上的一个动点，则△PAE 周长的最小值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 的中点，BE DP ⊥的延长线于点E ，连接AE ，过点A 作FA AE ⊥交DP 于点F ，连接BF 、FC.下列结论中：ABE ①≌ADF ；PF EP EB =+②；BCF ③是等边三角形；ADF DCF ④∠∠=；APF CDF S
S .=⑤其
中正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．②④⑤
D ．①③⑤
3．如图，在菱形ABCD 中，AB =5cm ，∠ADC =120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB ．CB 方向向点B 匀速移动(到点B 为止)，点E 的速度为1c m/s ，点F 的速度为2c m/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为( )
A ．34
B ．43
C ．32
D ．53
4．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点且AE CF =，下列说法中正确的是（ ）
①BE DF =；②//BE DF ；③AB DE =；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤ADE ABE S S ∆∆=；⑥AF CE =．
A ．①⑥
B ．①②④⑥
C ．①②③④
D ．①②④⑤⑥
5．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，分别以直角边AB 、斜边AC 为边，向外作等边ABD ∆和等边ACE ∆，F 为AC 的中点，DE 与AC 交于点O ，DF 与AB 交于点G ．给出如下结论：①四边形ADFE 为菱形；②DF AB ⊥；③14AO AE =；④4CE FG =；其中正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
6．如图，在ABC ∆中，4BC =，BD 平分ABC ∠，过点A 作AD BD ⊥于点D ，过点D 作//DE CB ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若2EF DF =，则AB 的长为（ ）
A ．10
B ．8
C ．7
D ．6
7．如图，长方形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，且点F 在长方形ABCD 内，将AF 延长交边BC 于点G ，若BG=3CG ，则AD AB
=（ ）
A ．54
B ．1
C 5
D 68．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为边，在AB 的同侧
作正方形ABHI ，ACFG ，BCED ．若图中两块阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，则对1S ，2S 的大小判断正确的是（ ）
A ．12S S >
B ．12S S
C ．12S S <
D ．无法确定
9．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，下列结论中：①AB ⊥AC ；②四边形AEFD 是平行四边形；③∠DFE ＝150°；④S 四边形AEFD ＝5．正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．如图，在□ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：（1）∠DCF=12
∠BCD ；（2）EF=CF ；（3）S △BEC = 2S △CEF ；（4）∠DFE=3∠AEF ；其中正确的结论是（ ）
A ．（1）（2）
B ．（1）（2）（4）
C ．（2）（3）（4）
D ．（1）（3）（4）
二、填空题
11．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．
12．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，对角线长为1cm，过点O任作一条直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分的面积是_____．
13．如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD 边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E 在运动过程中，有如下结论：
①可以得到无数个平行四边形EGFH；
②可以得到无数个矩形EGFH；
③可以得到无数个菱形EGFH；
④至少得到一个正方形EGFH．
所有正确结论的序号是__．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝120°，E是AB的中点，点F在平行四边形ABCD的边上，若△AEF为等腰三角形，则EF的长为_____．
15．已知在矩形ABCD中，
3
,3,
2
AB BC
==点P在直线BC上，点Q在直线CD上，且
,
AP PQ
⊥当AP PQ
=时，AP=________________．
16．如图,长方形纸片ABCD中,AB＝6 cm,BC＝8 cm点E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠, 得到△AEB′，以C，E，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE的长为
___________cm.
17．如图，在平行四边形ABCD ，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：①∠BCD ＝2∠DCF ；②EF ＝CF ；③S △CDF ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)
18．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．
19．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若∠CBF=20°，则∠AED 等于__度．
20．如图，矩形ABCD 的面积为36，BE 平分ABD ∠，交AD 于E ，沿BE 将ABE ∆折叠，点A 的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F 处．则ABE ∆的面积为________．
三、解答题
21．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F
（1）求证：四边形ADCF 是菱形
（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积
22．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．
（1）若1n =，
①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；
②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN
的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；
（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则
CF BF
的值为_______（结果用含n 的式子表示）．
23．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；
（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；
②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．
24．如图，四边形OABC 中，BC ∥AO ，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．
（1）当t 为何值时，四边形BNMP 为平行四边形？
（2）设四边形BNPA 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．
（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．
（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，BD ⊥CD ，AB =3，BD =4，求BC 的长；
（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；
（3）如图2，在△ABC 中，AB =2，∠BAC =90°．在AB 的垂直平分线上是否存在点
P ，使得以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为“准等边四边形”． 若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．
26．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.
（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；
（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.
27．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．
(1)如图1，求证：CF ⊥EF;
(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;
(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.
28．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.
（1）当1x =时，点M 的坐标为（ ， ）
（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围.
（3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）
29．已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，AF ，DE 相交于点G ，当E ，F 分别为边BC ，CD 的中点时，有：①AF=DE ；②AF ⊥DE 成立．
试探究下列问题：
（1）如图1，若点E 不是边BC 的中点，F 不是边CD 的中点，且CE=DF ，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）
（2）如图2，若点E ，F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE=DF ，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE 和BF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．
30．已知三角形纸片ABC 的面积为48，BC 的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC 进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，沿三角形ABC 的中位线DE 将纸片剪成两部分．在线段DE 上任意．．取一点F ，在线段BC 上任意．．
取一点H ，沿FH 将四边形纸片DBCE 剪成两部分； 第二步：如图2，将FH 左侧纸片绕点D 旋转180°，使线段DB 与DA 重合；将FH 右侧纸片绕点E 旋转180°，使线段EC 与EA 重合，再与三角形纸片ADE 拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．
图1 图2
（1）当点F，H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；
（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案．
【详解】
解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称，
∴AP＝CP，
即AP+PE＝CE，此时AP+PE的值最小，
所以此时△PAE周长的值最小，
∵正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，
∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：CE＝5，
∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6，
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质与轴对称——最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得AB AD =，再根据同角的余角相等求出BAE DAF ∠∠=，再根据等角的余角相等求出ABE ADF ∠∠=，然后利用“角边角”证明ABE ≌ADF ；根据全等三角形对应边相等可得AE AF =，判断出AEF 是等腰直角三角形，过点A 作AM EF ⊥于M ，根据等腰直角三角形点的性质可得AM MF =，再根据点P 是AB 的中点得到AP BP =，然后利用“角角边”证明APM 和BPE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE AM =，EP MP =，然后求出PF EP EB =+；根据全等三角形对应边相等求出DF BE AM ==，再根据同角的余角相等求出DAM CDF ∠∠=，然后利用“边角边”证明ADM 和DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得ADF DCF ∠∠=，CFD DMA 90∠∠==；再求出CD CF ≠，判定BCF 不是等边三角形；求出CF FP >，AM DF =，然后求出APF CDF S
S <．
【详解】
在正方形ABCD 中，AB AD =，DAF BAF 90∠∠+=， FA AE ⊥，
BAE BAF 90∠∠∴+=，
BAE DAF ∠∠∴=，
BE DP ⊥，
ABE BPE 90∠∠∴+=，
又
ADF APD 90∠∠+=，BPE APD(∠∠=对顶角相等)，
ABE ADF ∠∠∴=，
在ABE 和ADF 中， BAE DAF AB AD
ABE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ABE ∴≌()ADF ASA ，故①正确；
AE AF ∴=，BE DF =，
AEF ∴是等腰直角三角形，
过点A 作AM EF ⊥于M ，则AM MF =，
点P 是AB 的中点，
AP BP ∴=，
在APM 和BPE 中，
90BPE APD BEP AMP AP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
APM ∴≌()BPE AAS ，
BE AM ∴=，EP MP =，
PF MF PM BE EP ∴=+=+，故②正确；
BE DF =，FM AM BE ==，
AM DF ∴=，
又
ADM DAM 90∠∠+=，ADM CDF 90∠∠+=，
DAM CDF ∠∠∴=，
在ADM 和DCF ， AD DC DAM CDF AM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
ADM ∴≌()DCF SAS ，
CF DM ∴=，ADF DCF ∠∠=，CFD DMA 90∠∠==，故④正确； 在Rt CDF 中，CD CF >，
BC CD =，
CF BC ∴≠，
BCF ∴不是等边三角形，故③错误；
CF DM DF FM EM FM EF FP ==+=+=≠，
又AM DF =，
APF CDF S S ∴<，故⑤错误；
综上所述，正确的有①②④，
故选B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角或等角度余角相等的性质，三角形的面积，综合性较强，难度较大，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，作辅助线利用等腰直角三角形的性质并构造出全等三角形是本题的难点．
3．D
解析：D
【分析】
由题意知道AE=t ，CF=2t ，连接BD ，证明△DEB ≌△DFC，得到EB=FC=2t ，进而
AB=AE+EB=3t=5，进而求出t 的值.
【详解】
解：连接DB ，如下图所示，
∵四边形ABCD 为菱形，且∠ADC=120°，
∴∠CDB=60°
∴△CDB 为等边三角形，∴DB=DC
又∵△DEF 为等边三角形，∴∠EDF=60°，DE=DF
∴∠CDB=∠EDF
∴∠CDB-∠BDF=∠EDF-∠BDF
∴∠CDF=∠BDE
在△EDB 和△FDC 中：
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
DE DF EDB FDC DB DC ，∴△EDB ≌△FDC(SAS)
∴FC=BE=2t
∴AB=AE+EB=t+2t=3t=5
∴t=53
. 故答案为：D.
【点睛】
本题考查了三角形全等、菱形的性质等相关知识，关键是能想到连接BD 后证明三角形全等，本题是动点问题，将线段长用t 的代数式表示，化动为静.
4．D
解析：D
【分析】
先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出OD=OF ，得出四边形
BEDF 是平行四边形，求出BM=DM 即可判断④和⑤，最后根据AE=CF ，即可判断⑥.
【详解】
①∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB ∥DC，AB=DC,
∴∠BAC=∠ADC,
在△ABE 和△DFC 中
BAC ADC AB A F C E D C ∠=∠=⎧=⎪⎨⎪⎩
∴△ABE≌△DFC（SAS ）,
∴BE=DF,
故①正确.
②∵△ABE≌△DFC,
∴∠AEB=∠DFC,
∴∠BEF=∠DFE,
∴BE∥DF,
故②正确.
③根据已知的条件不能推AB=DE ，故③错误.
④连接BD 交AC 于O ，过D 作DM⊥AC 于M ，过B 作BN⊥AC 于N,
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴DO=BO，OA=OC,
∵AE=CF,
∴OE=OF,
∴四边形BEDF 是平行四边形,
故④正确.
⑤∵BN⊥AC，DM⊥AC,
∴∠BNO=∠DMO=90°,
在△BNO 和△DMO 中
∠BNO=∠DMO ∠BON=∠DOM OB=OD ⎧⎪⎨⎪⎩
△ADE △ABE ∴△BNO ≌△DMO （AAS ）
∴BN=DM
11∵S =AE DM ，S =AE BN 22⨯⨯⨯⨯
∴△ADE △ABE S =S ,
故⑤正确.
⑥∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE,
故⑥正确.
故答案是D.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
5．D
解析：D
【分析】
由题意得出条件证明△ABC ≌△DAF,根据对应角相等可推出②正确;由F 是AB 中点根据边长转换可以推出④正确;先推出△ECF ≌△DFA 得出对应边相等推出ADFE 为平行四边形且有组临边不等得出①错误;再由以上全等即可得出④正确.
【详解】
∵△ABD 是等边三角形，
∴∠BAD=60°，AB=AD ，
∵∠BAC=30°，知
∴∠FAD=∠ABC=90°，AC=2BC ，
∵F 为AC 的中点道，
∴AC=2AF ，
∴BC=AF ，
∴△ABC ≌△DAF ，
∴FD=AC ，
∴∠ADF=∠BAC=30°，
∴DF ⊥AB ，故②正确，
∵EF ⊥AC ，∠ACB=90°，
∴FG ∥BC ，
∵F 是AB 的中点，
∴GF=
12BC ， ∵BC=12
AC ，AC=CE ，
∴GF=
14
CE ，故④说法正确； ∵AE=CE ，CF=AF ，
∴∠EFC=90°，∠CEF=30°，
∵∠FAD=∠CAB+∠BAD=90°，
∴∠EFC=∠DAF ，
∵DF ⊥AB ，
∴∠ADF=30°，
∴∠CEF=∠ADF ，
∴△ECF ≌△DFA （AAS ），
∴AD=EF ，
∵FD=AC ， ∴四边形属ADFE 为平行四边形，
∵AD≠DF ，
∴四边形ADFE 不是菱形；
故①说法不正确；
∴AO=
12AF ， ∴AO=12
AC ， ∵AE=AC ，
则AE=4AO ，故③说法正确，
故选D ．
【点睛】
本体主要考查平行四边形的判定，等边三角形，三角形全等的判定，关键在于熟练掌握基础知识，根据图形结合知识点进行推导.
6．D
解析：D
【分析】
延长AD 、BC 交于点G ，根据三线合一性质推出ABG ∆是等腰三角形，从而可得D 是AG 的中点，E 是AB 的中点，再利用中位线定理即可得.
【详解】
如图，延长AD 、BC 交于点G
∵BD 平分ABC ∠，AD BD ⊥于点D
,90ABD GBD ADB GDB ∴∠=∠∠=∠=︒
∴BAD G ∠=∠
AB BG ∴=，D 是AG 的中点
∵//DE BG
∴E 是AB 的中点，F 是AC 的中点，DE 是ABG ∆的中位线，EF 是ABC ∆的中位线
∴12,22
EF BC BG DE === 又∵2EF DF =
∴1DF =
∴3DE EF DF =+=
∴26BG DE ==
∴6AB =
故选：D.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定定理与性质、中位线定理，通过作辅助线，构造等腰三角形是解题关键.错因分析：容易题.失分原因是对特殊三角形的性质及三角形的重要线段掌握不到位.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据中点定义得出DE=CE ，再根据折叠的性质得出DE=EF ，AF=AD ，∠AFE=∠D=90°，从而得出CE=EF ，连接EG ，利用“HL”证明△ECG ≌△EFG ，根据全等三角形性质得出CG=FG ，设CG=a ，则BC=4a ，根据长方形性质得出AD=BC=4a ，再求出AF=4a ，最后求出AG=AF+FG=5a ，最后利用勾股定理求出AB ，从而进一步得出答案即可.
【详解】
如图，连接EG ，
∵点E 是CD 中点，
∴DE=EC ，
根据折叠性质可得：AD=AF ，DE=EF ，∠D=∠AFE=90°，
∴CE=EF ，
在Rt △ECG 与Rt △EFG 中，
∵EG=EG ，EC=EF ，
∴Rt △ECG ≌Rt △EFG （HL ），
∴CG=FG ，
设CG=a ，
∴BG=3CG=3
a ， ∴BC=4
a ， ∴AF=AD=BC=4
a . ∴AG=5
a . 在Rt △ABG 中，
∴4AB a =， ∴1AD AB
=, 故选B.
【点睛】
本题主要考查了长方形与勾股定理及全等三角形判定和性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键,
8．B
解析：B
【分析】
连接EH ，过点H 作HK ⊥BF 于点K ，令AE 与BH 交于点J ，HL 与BF 交于点L ，根据已知条件易证△BHK ≌△ABC ，继而由全等三角形的性质得S △BHK ＝S △ABC ，BC ＝HK ，∠ABC ＝∠BHK ，再由全等三角形的判定可得△BCJ ≌△HKL ，进而可得S 1＝S △BHK ＝S △ABC ，由正方形的性质和全等三角形的判定可知△ABC ≌△AIG ，继而可得S △ABC ＝S △AIG ＝S 2，等量代换即可求解．
【详解】
解：连接EH ，过点H 作HK ⊥BF 于点K ，令AE 与BH 交于点J ，HL 与BF 交于点L ， 由题意可知：四边形BCED 是正方形，四边形ACFG 是正方形，四边形ABHI 是正方形，∠ACB ＝90°
∴∠CEH ＝∠ECK ＝90° ,CE ＝BC
∵∠BKH ＝90°,
∴四边形CEHK 是矩形，
∴ CE ＝HK
又∠HBK ＋∠ABC ＝90°, ∠BAC ＋∠ABC ＝90°
∴∠HBK ＝∠BAC
∴△BHK ≌△ABC （AAS ）
∴S △BHK ＝S △ABC ，BC ＝HK ，∠ABC ＝∠BHK ，
∵∠ABC ＋∠CBJ ＝90°，∠BHK ＋∠KHL ＝90°
∴∠CBJ ＝∠KHL
∴△BCJ ≌△HKL （ASA ）
∴S △BCJ ＝S △HKL ，
∴S 1＝S △BHK ＝S △ABC ，
∵四边形ACFG 是正方形，四边形ABHI 是正方形，
∴AB ＝AI ，AC ＝AG ，∠G ＝∠ACB ＝90°
∴△ABC ≌△AIG （SAS ）
∴S △ABC ＝S △AIG ＝S 2，
即S 1＝S 2
故选：B
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定方法．
9．C
解析：C
【分析】
由222AB AC BC +=，得出∠BAC =90°，则①正确；由等边三角形的性质得
∠DAB =∠EAC =60°，则∠DAE =150°，由SAS 证得△ABC ≌△DBF ，得AC =DF =AE =4，同理△ABC ≌△EFC （SAS ），得AB =EF =AD =3，得出四边形AEFD 是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE =150°，则③正确；∠FDA =180°－∠DFE =30°，过点A 作AM DF ⊥于点M ，1143622
AEFD S
DF AM DF AD ===⨯⨯=，则④不正确；即可得出结果．
【详解】
解：∵22234=5+，
∴222AB AC BC +=，
∴∠BAC=90°，
∴AB ⊥AC ，故①正确； ∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
又∴∠BAC=90°，
∴∠DAE=150°，
∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，
∴BD=BA ，BF=BC ，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC ，
在△ABC 与△DBF 中，
BD BA DBF ABC BF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△DBF （SAS ），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证：△ABC ≌△EFC （SAS ），
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形AEFD 是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确；
∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°，
过点A 作AM DF ⊥于点M ， ∴1
143622
AEFD S DF AM DF AD ===⨯⨯=， 故④不正确；
∴正确的个数是3个，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平角、周角、平行是四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF ≌△DMF （ASA ），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】
（1）∵F 是AD 的中点，
∴AF=FD ，
∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，
∴AF=FD=CD ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠FCB ，
∴∠DCF=∠BCF ，
∴∠
DCF=12
∠BCD ，故正确； （2）延长EF ，交CD 延长线于M ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠A=∠MDF ，
∵F 为AD 中点，
∴AF=FD ，
在△AEF 和△DFM 中，
A FDM AF DF
AFE DFM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），
∴FE=MF ，∠AEF=∠M ，
∵CE ⊥AB ，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF ，
∴EF=CF ，故正确；
（3）∵EF=FM ，
∴S △EFC =S △CFM ，
∵MC ＞BE ，
∴S △BEC ＜2S △EFC
故S △BEC =2S △CEF 错误；
（4）设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x ，
∴∠EFC=180°-2x ，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x ，
∵∠AEF=90°-x ，
∴∠DFE=3∠AEF ，故正确，
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF ≌△DME ．
二、填空题
11．
42
【分析】
首先由对边分别平行可判断四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 和BD ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度.
【详解】
解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，
∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，
∴四边形ABCD 为平行四边形，
∴∠ADF=∠ABE ，
∵两纸条宽度相同， ∴AF=AE ，
∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△ADF ≌△ABE ，
∴AD=AB ，
∴四边形ABCD 为菱形，
∴AC 与BD 相互垂直平分，
∴BD=22242AB AO -=故本题答案为：2
【点睛】
本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.
12．218
cm 【分析】
根据正方形的性质可以证明△AEO ≌CFO ，就可以得出S △AEO =S △CFO ，就可以求出△AOD 面积等于正方形面积的
14
，根据正方形的面积就可以求出结论． 【详解】
解：如图：
∵正方形ABCD 的对角线相交于点O ，
∴△AEO 与△CFO 关于O 点成中心对称，
∴△AEO ≌CFO ，
∴S △AEO ＝S △CFO ，
∴S △AOD ＝S △DEO +S △CFO ，
∵对角线长为1cm ，
∴S 正方形ABCD ＝
1112⨯⨯＝12cm 2， ∴S △AOD ＝18
cm 2， ∴阴影部分的面积为
18cm 2． 故答案为：
18
cm 2． 【点睛】 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形的面积公式的运用，在解答时证明△AEO ≌CFO 是关键．
13．①③④
【分析】
由“AAS ”可证△AOE ≌△COF ，△AHO ≌△CGO ，可得OE =OF ，HO =GO ，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF ⊥GH ，可得四边形EGFH 是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA ”可证△BOG ≌△COF ，可得OG =OF ，可证四边形EGFH 是正方形，可判断④正确，即可求解．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，∴GH过点O，GH⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，
∴△AHO≌△CGO（AAS），
∴HO＝GO，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形，
∵点E是AB上的一个动点，
∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，
故①③正确；
若四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF＝90°；
∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，
∴∠BOG＝∠COF；
在△BOG和△COF中，
∵
BOG COF BO CO
GBO FCO ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG＝OF，
同理可得：EO＝OH，
∴GH＝EF；
∴四边形EGFH是正方形，
∵点E是AB上的一个动点，
∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．
14．33或3或
572 【分析】
△AEF 为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．
【详解】
解：当AE AF =时，如图，过点A 作AH EF ⊥于H ，
E 是AB 的中点，
132
AE AB ∴==， =AE AF ，AH EF ⊥，120A ∠=︒，
30AEF AFE ∴∠=∠=︒，FH EH =，
1322AH AE ∴==，333EH AH ==， 233EF EH ∴==，
当AF EF =时，如图2，
过点A 作AN CD ⊥于N ，过点F 作FM AB ⊥于M ，
图2
在平行四边形ABCD 中，6AB =，4BC =，120A ∠=︒，
4AD BC ∴==，60ADC ∠=︒，
30DAN ∴∠=︒，
122DN AD ∴==，323AN DN ==， //AB CD ，AN CD ⊥，FM AB ⊥，
23AN MF ∴==，
AF EF =，FM AB ⊥，
32
AM ME ∴==， 22957124EF ME MF ∴=+=+
=； 当3AE EF ==时，如图3，
图3
3EF ∴=，
综上所述：EF 的长为3
3357． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
153223102
【分析】 根据点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，分两种情况：1.P 、Q 点位于线段上；2.P 、Q 点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.
【详解】
解：当P 点位于线段BC 上，Q 点位于线段CD 上时:
∵四边形ABCD 是矩形
,AP PQ ⊥
∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC
∵AP PQ =
∴ABP PCQ ≅
∴PC=AB=32，BP=BC-PC=3-32=32
∴223
322+（）（）322
当P 点位于线段BC 的延长线上，Q 点位于线段CD 的延长线上时:
∵四边形ABCD 是矩形
,AP PQ ⊥
∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC
∵AP PQ =
∴ABP PCQ ≅
∴PC=AB=32，BP=BC+PC=3+32=92
∴AP=223
922+（）（）=3102
故答案为：
322或3102
【点睛】 此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题的关键.
16．3或6
【详解】
①∠B′EC=90°时，如图1，∠BEB′=90°，
由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=
12
×90°=45°， ∴△ABE 是等腰直角三角形，
∴BE=AB=6cm ；
②∠EB′C=90°时，如图2， 由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°，
∴A 、B′、C 在同一直线上，
AB′=AB ，BE=B′E ，
由勾股定理得，AC=222268AB BC +=+=10cm ， ∴B′C=10-6=4cm ，
设BE=B′E=x ，则EC=8-x ，
在Rt △B′EC 中，B′E 2+B′C 2=EC 2，
即x 2+42=（8-x ）2，
解得x=3，
即BE=3cm ，
综上所述，BE 的长为3或6cm ．
故答案为3或6．
17．①②④
【分析】
①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断；
②延长EF ，交CD 延长线于点M ，首先根据平行四边形的性质证明AEF
DFM ≅△△，得出,FE MF AEF
M =∠=∠，进而得出90ECD AEC ∠=∠=︒，从而利用直角三角形斜边中线的性质即可判断；
③由FE MF =，得出EFC CFM S
S =，从而可判断正误； ④设FEC x ∠= ，利用三角形内角和定理分别表示出∠DFE 和∠AEF ，从而判断正误．
【详解】
①∵点F 是AD 的中点，
∴AF FD = ．
∵在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ， //,AD BC AF FD CD ∴==，
,DFC FCB DFC DCF ∴∠=∠∠=∠ ，
FCB DCF ∴∠=∠，
∴∠BCD ＝2∠DCF ，故①正确；
②延长EF ，交CD 延长线于点M ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
//AB CD ∴，
A MDF ∴∠=∠，
∵点F 是AD 的中点，
∴AF FD = ．
在AEF 和DFM 中，A FDM AF DF
AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()AEF DFM ASA ∴≅△△
,FE MF AEF M ∴=∠=∠．
CE AB ⊥ ，
90AEC ∴∠=︒，
90ECD AEC ∴∠=∠=︒，
12
CF EM EF ∴==，故②正确； ③∵FE MF =，
∴EFC CFM S S = ．
CFM CDF MDF S S S =+△△△
CDF EFC S S ∴<△△，故③错误；
④设FEC x ∠= ，则FCE x ∠=，
90DCF DFC x ∴∠=∠=︒- ，
1802EFC x ∴∠=︒-，
9018022703EFD x x x ∴∠=︒-+︒-=︒- ．
90AEF x ∠=︒- ，
3DFE AEF ∴∠=∠，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为 ：①②④．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是解题的关键．
18
．
【分析】
连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，判定△AOC ≌△FOB （ASA ），即可得出AO=FO ，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．
【详解】
解：连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，
∵O 是正方形DBCE 的对称中心，
∴BO=CO ，∠BOC=90°，
∵FO ⊥AO ，
∴∠AOF=90°，
∴∠BOC=∠AOF ，
即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA ，
∴∠AOC=∠FBO ，
∵∠BAC=90°，
∴在四边形ABOC 中，∠ACO+∠ABO=180°，
∵∠FBO+∠ABO=180°，
∴∠ACO=∠FBO ，
在△AOC 和△FOB 中，
AOC FOB AO FO
ACO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AOC ≌△FOB （ASA ），
∴AO=FO ，FB=FC=6，
∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，
∴AO=AF×cos45°=14×
22=2 故答案为2．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．
19．65
【分析】
先由正方形的性质得到∠ABF 的角度，从而得到∠AEB 的大小，再证△AEB ≌△AED ，得到∠AED 的大小
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形
∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD
∵∠FBC=20°，∴ABF=70°
∴在△ABE 中，∠AEB=65°
在△ABE 与△ADE 中
45AB AD BAE EAD AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△ABE≌△ADE
∴∠AED=∠AEB=65°
故答案为：65°
【点睛】
本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出∠AEB 的大小.
20．6
【分析】
先证明△AEB ≌△FEB ≌△DEF ，从而可知S △ABE =
13S △DAB ，即可求得△ABE 的面积． 【详解】
解：由折叠的性质可知：△AEB ≌△FEB
∴∠EFB=∠EAB=90°
∵ABCD 为矩形
∴DF=FB
∴EF 垂直平分DB
∴ED=EB
在△DEF 和△BEF 中
DF=BF EF=EF ED=EB
∴△DEF ≌△BEF
∴△AEB ≌△FEB ≌△DEF ∴13666
AEB FEB DEF ABCD S S S S ∆∆∆====
⨯=矩形． 故答案为6．
【点睛】
本题主要考查的是折叠的性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质，证得△AEB ≌△FEB ≌△DEF 是解题的关键． 三、解答题
21．（1）见解析（2）10
【分析】
（1）先证明AFE DBE ∆≅∆，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12
AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。

（2）连接DF ，证明四边形ABDF 是平行四边形，得到5DF AB ==，利用菱形的求面积公式即可求解。

【详解】
（1）证明： ∵//BC AF ，∴AFE DBE ∠=∠，
∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，∴,AE DE BD CD ==，
在AFE ∆和DBE ∆中，
AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()AFE DBE AAS ∆≅∆，∴AF DB =．
∵DB DC =，∴AF CD =．
∵//BC AF ，∴四边形ADCF 是平行四边形，
∵090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点， ∴
12
AD DC BC ==
，∴四边形ADCF 是菱形； （2）如图，连接DF ，
∵//,AF BD AF BD =，
∴四边形ABDF 是平行四边形，∴5DF AB ==，
∵四边形ADCF 是菱形，∴11451022
ADCF S AC DF =
=⨯⨯=菱形． 【点睛】
本题主要考查全等三角形的应用，菱形的判定定理以及菱形的性质，熟练掌握菱形的的判定定理和性质是解此题的关键。

22．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（221n ；（3）241n -
【分析】
（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．
②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．
（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，n=1，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴AE=BF；
②结论：AG=BF+AE．
理由：如图2中，过点A作AK⊥HD交BC于点K，
由（1）可知AE=BK，
∵AH=AD，AK⊥HD，
∴∠HAK=∠DAK，
∵AD∥BC，
∴∠DAK=∠AKG，
∴∠HAK=∠AKG，
∴AG=GK，
∵GK=GB+BK=BF+AE，
∴AG=BF+AE；
（2）如图3中，设AB=a，AD=na，
当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF 的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值=()222na 1a n +=+•a ，
当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，
∴ME NF 的最大值=21a n +⋅=21n +， 故答案为：21n +；
（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，
∵AD ∥BH ，
∴∠ADE=∠H ，
∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，
∴△AED ≌△BEH （ASA ），
∴AD=BH=2kn ，
∴CH=4kn ，
∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ，
∴∠H=∠EDF ，
∴FD=FH ，设DF=FH=x ，
在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2，
∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2，
∴2
142n x k n
+=⋅，。