赋值法的解题功能
【教学论文】赋值法——解决抽象函数问题的利器【教师职称评定】
赋值法——解决抽象函数问题的利器在高中数学学习中，我们经常遇到一类只给出函数符号()f x 而没有具体解析式的函数问题，这就是抽象函数问题．用抽象函数可考查思维的灵活性与深刻性，是历年高考中常考常新的一个热点．高考时抽象函数往往以选择题或填空题形式出现，结合函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性等进行考查．但由于没有具体解析式，很多同学感到很抽象，无从下手．其实，只要掌握了赋值法，就能比较迅速地解决这类抽象函数问题．下面请看几个例子． 例1、已知函数()f x 的定义域为R ，对任意的12,x x ，都满足1212()()()f x x f x f x +=+，且当0x >时，()0f x >．(1)求(0)f 的值；(2)试判断()f x 的奇偶性；(3)试判断()f x 的单调性，并证明．解：(1)令120x x ==，则(0)2(0)(0)0f f f =⇒=．(2)令12,x x x x ==-，则有0(0)()()()()f f x f x f x f x ==+-⇒-=-，∴()f x 为奇函数．(3)对任意的12,x x R ∈，设12x x <，则210x x ->，则由已知，21()0f x x -> ∴1212122112()()()()()()0()()f x f x f x f x f x x f x x f x f x -=+-=-=--<⇒<． ∴()f x 在R 上是增函数．【点评】(1)对于抽象函数问题，常用赋值法进行求值，并用定义法判断函数的奇偶性、单调性．(2)由1212()()()f x x f x f x +=+对任意实数12,x x 都成立，易联想到正比例函数()(0)f x k x k =≠，这可给解题带来明确的方向． 例2、函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意正实数12,x x 恒有1212()()()f x x f x f x ⋅=+．(1)设,x y 为任意两正数，求证：()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)若当1x >时，有()0f x <，求证：()f x 在(0,)+∞上是减函数；(3)已知(8)3f =，解不等式(21)1f x +>．解：(1)由已知()()()().x x x f x f y f f y f f x f y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=+∴=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)设任意的1212,(0,),x x x x ∈+∞<且，则211x x >．由(1)及已知得，设12x x < 221211()()0()()0x f x f x f f x f x x ⎛⎫-=<∴-< ⎪⎝⎭即12()()f x f x >∴()f x 在(0,)+∞上是减函数．(3)由3(8)(42)(4)(2)(22)(2)3(2)f f f f f f f ==⨯=+=⨯+=，得(2)1f =． ∴(21)1(21)(2)f x f x f +>⇔+>．由(2)()f x 在定义域(0,)+∞上是减函数，∴原不等式可化为0212x <+<，解得1122x -<<．原不等式解集为11|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 【点评】(1)解抽象函数不等式问题，常利用函数的单调性把函数符号“f ”去掉，化为普通不等式进行求解，同时应注意函数的定义域．(2)由1212()()()f x x f x f x ⋅=+对任意正数12,x x 都成立，可联想对数函数()log a f x x =． 例3、设函数()f x 是实数集R 上的增函数，令()()()2F x f x f x =--．(1)求证：()F x 在R 上是增函数；(2)若12()()0F x F x +>，求证：122x x +>．证明：(1)任取12,x x R ∈，且12x x <，则1222x x ->-．∵()f x 在R 上是增函数， ∴()()()()1212,22f x f x f x f x <->-即()()()()12120,220f x f x f x f x -<--->． ∴()()()()()()12112222F x F x f x f x f x f x -=-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()1221220f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+---<，即()()12F x F x <，∴()F x 在R 上是增函数．(2)∵12()()0F x F x +>，∴12()()F x F x >-．由于()()()2222F x f x f x -=---⎡⎤⎣⎦ ()()()()()2222222222f x f x f x f x F x =--=----=-⎡⎤⎣⎦，∴12()(2)F x F x >- 又∵()F x 在R 上是增函数，∴122x x >-，∴122x x +>．练一练：1、已知函数()y f x =对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，()213f =-． (1)判断并证明()f x 在R 上的单调性；(2)求()f x 在[-3，3]上的最大值、最小值．2、定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1),f x f x x R +=-∈．已知()f x 在[1，2]上是增函数，讨论它在[-1，0]上的单调性．3、已知定义域为[0，1]的函数()f x 同时满足以下三条性质：①对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则有1212()()()f x x f x f x +≥+成立．(1)求(0)f 的值；(2)函数()21xg x =-在区间[0，1]上是否同时满足①②③？并予以证明；(3)假设存在0[0,1]x ∈，使得0()[0,1]f x ∈且00[()]f f x x =，求证00()f x x =．答案：1、(1)()f x 是R 上的减函数；(2)()f x 在[-3，3]上的最大值是()()3312f f -=-=，最小值是()()3312f f ==-．2、∵(1)(1)f x f x +=-，用1+x 代换x ，得()()1111()f x f x f x ++=-+=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 又()f x 是偶函数，∴()2()()f x f x f x +=-=．设1210x x -≤<≤，则121222x x ≤+<+≤，∵()f x 在[1，2]上是增函数，∴12(2)(2)f x f x +<+，即12()()f x f x <，∴()f x 在[-1，0]上是增函数．3、(1)令120x x ==，由③得(0)(0)(0)(0)0f f f f ≥+⇒≤，由①(0)0f ≥，∴(0)0f =．(2)显然()21x g x =-在区间[0，1]上满足①()0g x ≥，②(1)1g =． 若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则12121212()[()()]21[2121]x x x x g x x g x g x ++-+=---+- 1212122221(21)(21)0x x x x x x +=--+=--≥，∴()21x g x =-在区间[0，1]上满足③． 综上，()21x g x =-在区间[0，1]上同时满足①②③．(3)由③知，对任意,[0,1],m n m n ∈<，有[0,1]n m -∈，∴()[()]()()()f n f n m m f n m f m f m =-+≥-+≥，即()()f m f n ≤． 若00()x f x <，则[]000()()f x f f x x ≤=，前后矛盾；若00()x f x >，则[]000()()f x f f x x ≥=，前后矛盾．∴00()f x x =．。
赋值法的原理及应用
赋值法的原理及应用1. 赋值法的原理赋值法，又称为等比法或逆推法，是一种用于解决数学问题的常用方法。
它通过已知条件中的变量之间的关系，利用等比或等差的规律，来确定未知量的值。
其基本原理如下：1.确定已知条件和未知量：–已知条件：已知数学关系式和其中的一些数值。
–未知量：问题中待求解的数值。
2.确定数学关系式：–根据问题中已知条件，确定数学关系式，可采用等比或等差的规律。
3.运用等比或等差规律解题：–若已知条件之间的关系为等比规律，则可采用等比的方法解题。
–若已知条件之间的关系为等差规律，则可采用等差的方法解题。
–运用已知条件中的关系式，逐步推导出未知量的值。
4.检验解答结果：–将求得的未知量代入原有的数学关系式中，验证是否符合已知条件。
2. 赋值法的应用赋值法在数学问题中有广泛的应用，尤其在等比数列和等差数列的求解中常常使用。
下面是一些常见的应用示例：2.1 等比数列问题描述：已知等比数列的首项为a，公比为r，且第n项为b，求解未知量a、r和b。
解题步骤：1.根据已知条件列出数学关系式：–第1项：a–第n项：b–公比：r2.运用等比规律解题：–根据等比数列的性质，可得通项公式：$a_n = a \\cdot r^{n-1}$。
–代入已知条件a n=b，解得 $a \\cdot r^{n-1} = b$。
3.求解未知量：–根据已知条件求得未知量a：$a = \\frac{b}{r^{n-1}}$。
–根据已知条件求得未知量r：$r = \\sqrt[n-1]{\\frac{b}{a}}$。
2.2 等差数列问题描述：已知等差数列的首项为a，公差为d，且前n项和为S，求解未知量a、d和S。
解题步骤：1.根据已知条件列出数学关系式：–第1项：a–公差：d–前n项和：S2.运用等差规律解题：–根据等差数列的性质，可得通项公式：$a_n = a + (n-1) \\cdot d$。
–根据等差数列的性质，可得前n项和公式：$S_n = \\frac{n}{2} \\cdot (a + a_n)$。
“赋值法”在解题中的应用
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四年级数学A班奥数专题-用“赋值法”解题
四年级数学A班奥数专题->用“赋值法”解题
同学们在解有些竞赛题时，由于缺少抽象思维能力而感到难以下手。
“赋值法”就能使比较抽象的数量关系变为更具体，从而使问题得到解决。
例：甲、乙两人沿铁路线相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒，从乙身边开过用了7秒，车头离甲后5分钟又与已相遇，从乙与车头相遇开始，再过多少分钟甲乙两人相遇？
题中只告诉了3个时间，求的也是时间，而时间与所行的速度及路程有关，要求出问题应知道甲、乙两人的速度。
根据题意应设火车的长度为56（通常设为7和8的公倍数），这样就可以求出人和火车的速度，故本题这样解：
解：设火车的长为56米，则
当车头遇乙时甲乙相距：（7.5-0.5）×（60×5）=2100（米）
甲乙两人的相遇时间为：2100÷（0.5×2）÷60=35（分）
练一练：
1．一辆汽车沿山路行驶，上山每小时行10千米，下山沿原路返回每小时行15千米，求这辆车上、下山的平均速度。
（设山路长）
2．搬运一堆土，若用200名工人需5天；若用25辆马车需4天；若用5辆卡车需2天。
现有100名工人、10辆马车、2辆卡车同时搬运。
问：运完这堆土需多少天？（设1名工人1天运土1）。
赋值法的特点及其应用
赋值法的特点及其应用
赋值法是一种快速、高效的数学优化算法，应用十分广泛。
它采用迭代的方法，可以将线性和非线性的最优化问题转化为求解多个线性赋值问题，而后通过赋值法迭代求解。
赋值法的特点是多项式时间复杂度、勾股定理及非线性问题的求解。
赋值法采用多项式时间复杂度，即在常量时间内能够在较短的时间内解决线性最优化问题，节约了大量的时间；其次，它的优势在于可以使用勾股定理解决非线性最优化问题；最后，赋值法可以求解复杂的非线性最优化问题。
赋值法的广泛应用概括可以分为线性规划、优化设计、最短路径应用、网络流等多种领域。
其中，线性规划是运用赋值法求解最优解最多的领域，其计算速度也是最快的；优化设计中，赋值法可以解决多种复杂的优化问题；在最短路径应用中，采用赋值法可以获取在网络图中最优路径；在网络流中，赋值法可以求解最大流、最小支撑、旅行商问题等网络流最优化问题。
总之，赋值法的特点是多项式时间复杂度，能够快速、高效的求解线性和非线性最优化问题，应用范围十分广泛，在不同的问题中都有各自的解决方法。
赋值法的解题功能
赋值法的解题功能浙江省奉化中学孙伟奇 315500所谓赋值，就是给命题中某些字母（或量）赋上一定的数值，这样做，常可以打通解题思路、简化某些解题过程，收到以简驭繁、化难为易的效果．本文就赋值法的解题功能谈谈自己的管见．１、探路功能对变量赋以某些满足命题条件的特殊值，常能有效地打通解题思路．例1、求1，2，3，……， EMBED Equation.3 中所以数字之和．分析：取 EMBED Equation.3 ，易求出数字和为EMBED Equation.3 ，其特点是“数字和”通过“数值和”而求得．再取 EMBED Equation.3 ，即求1，2，3，……，99中所有的数字的和，依照上述“数值和”的配对方法：1+99=100，2+98=100，…，不能得出数字和：1+9+9=19，2+9+8=19，…，究其原因，是配对中的进位干扰，造成了数字和的失真，若能找到一个不进位的的配对，如1+98=99，则两边的数字和与数值和就完全统一起来了．据此，我们设 EMBED Equation.3 中的所有数字和为 EMBED Equation.3 则EMBED Equation.3EMBED Equation.3解： EMBED Equation.3EMBED Equation.3= EMBED Equation.3２、筛选功能这里的筛选包括“筛”和“选”两种形式。
“筛”就是把一些特殊的不满足条件的元素筛除，“选”就是把一些特殊的满足条件元素选出。
例2、对于每一对实数 EMBED Equation.3 函数 EMBED Equation.3 满足 EMBED Equation.3 ，若 EMBED Equation.3 则满足 EMBED Equation.3 的整数EMBED Equation.3 有多少对？解：将 EMBED Equation.3 代入已知式可得： EMBED Equation.3EMBED Equation.3 ……①（1）用 EMBED Equation.3 连续代入①可知 EMBED Equation.3 为正整数时EMBED Equation.3 ，对于正整数 EMBED Equation.3 有 EMBED Equation.3 ，从而可知 EMBED Equation.3 无大于1的整数解，又 EMBED Equation.3 ……②，得 EMBED Equation.3EMBED Equation.3 ，现有 EMBED Equation.3 ，以及对 EMBED Equation.3 有EMBED Equation.3 ，这样对 EMBED Equation.3 有 EMBED Equation.3 无小于 EMBED Equation.3 的整数解，由此得满足 EMBED Equation.3 的整数 EMBED Equation.3 有2个。
赋值法在函数方程中的应用
赋值法在函数方程中的应用赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予恰当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法。
下面介绍它在函数方程中的应用。
一、判断函数的奇偶性例1 若f（x＋y）＝f（x）＋f（y）中令x＝y＝0，得f（0）＝0。
又在f（x＋y）＝f（x）＋f（y）令y＝－x，f（x－x）＝f（x）＋f（－x），即f（0）＝f（x）＋f（－x），又f（0）＝0.所以f（－x）＝－f（x）。
由于f（x）不恒为零，所以f（x）是奇函数。
例2 已知函数y＝f（x）（x∈R，x≠0），对任意非零实数x1x2都有f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2），试判断f（x）的奇偶性。
解：取x1＝－1，x2＝1得f（－1）= f（－1）＋（1），所以f（1）=0又取x1=x2=－1，得f（1）=f（－1）＋f（－1），所以f（－1）=0再取x1=x，x2=－1，则有f（－x）= f（x），即f（－x）=f（x）因为f（x）为非零函数，所以f（x）为偶函数。
例3．对任意x、y∈R，有（x＋y）＋f（x－y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0，判断f（x）的奇偶性。
解：令x=y=0得f（0）＋f（0）=2f2（0），因为f（0）≠0，所以f（0）=1，又令x=0得f（y）＋f（－y）=2f（y），即f（－y）=f（y）。
取x=y，得f（－x）=f （y）.所以函数y=f（x）。
二、讨论函数的单调性例4．设f（x）定义于实数集R上，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，有f（x＋y）= f（x）f（y），求证f（x）在R上为增函数。
证明：由f（x＋y）=f（x）f（y）中取x=y=0得f（0）=f2（0）。
若f（0）=0，令x＞0，y=0，则f（x）=0，与f（x）＞1矛盾。
所以f（0）≠0，即有f（0）=1。
当x＞0时，f（x）＞1＞0，当x<0时，f（－x）>1>0，而)(1)(xfxf-=，又x=0时，f（0）=>0，所以f（x）∈R，f（x）>0。
赋值法的应用1
赋值法的应用摘要：赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，本文将通过几道数学题分别赋值法在解各类数学题中的应用。
关键词：赋值法 导学功能 抽象一 赋值法的概念。
在解数学题时，人们一般运用逻辑推理方法，一步一步的寻求必要条件，最后求得结论。
但对于有些问题如果我们能根据具体情况，巧妙的，合理的对某些元素进行赋值，这样往往能找到简捷的解决问题的方法，这就是赋值法。
这种方法贯穿于整个数学学习的历程中，对于解各个阶段的数学题都有巨大的作用。
二 赋值法在代数式中的应用。
2.1 如果题目中关于某个未知数的等式对于任意值或者很多值成立，则可以运用赋值法为解题创造条件。
例1 对于一切x ,分式ax b x ++117总为定值，则a b =？解析根据题意，分式ax b x ++117总为定值，不妨设x 为0，1分式的值都为定值，则有 a b a b +⨯+⨯=+⨯+⨯1111701107即ab a b ++=117。
ab a ab b +=+∴711ab 711=117=a b 例2 已知()71-x =a 0+a 1x +a 22x +a 33x + 7a 7x .则1a +3a +5a 7a +的值为多少。
解析：因为对于一切x ，题目中的等式都成立，所以可以在已知等式中令1=x 和1-=x ，分别得0a +1a +2a + 7a =0， ① 0a -1a +2a - -7a =()72-。
② 由①-②得2（7531a a a a +++）=-()72-，所以有647531=+++a a a a 三 赋值法在函数中的应用。
3.1 赋值法在解抽象函数问题中的应用.例6（2006重庆高考）已知定义域为R 的函数()x f 满足()()()x x x f x x x f f +-=+-22（1）若()32=f ，求()1f ；又若()a f =0，求()a f ；（2）设有且仅有一个实数0x ，使得()00x x f =，求函数()x f 的解析表达式.解：（1） 取2=x ，又()32=f 得()()()22222222+⨯-=+⨯-f f f ，即()11=f .又()a f =0，故()()()00000022+-=+-f f f ，即()a a f =（2）又满足()00x x f =的实数0x 唯一，由()()()x x x f x x x f f +-=+-22.可知，对任意R x ∈有()02x x x x f =+-.在上式中令0x x =有()00200x x x x f =+-.再代()00x x f =得00=x 或10=x .若00=x ，方程()x x f =有两个根，故0≠x .若x0=1则有1)(2+-=x x x f 易验证，该函数满足题设条件。
赋值法在解题中的应用
赋值法在解题中的应用在解数学题时，人们运用逻辑推理方法，一步一步地寻求必要条件，最后求得结论，是一种常用的方法。
对于有些问题，若能根据其具体情况，合理地、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值（如0，1，-1等），往往能使问题获得简捷有效的解决，这就是赋值法。
例如下面这一类题，在已知中含有“x为任意数均成立”这样的条件，我们就可以根据“一般与特殊”的关系，利用“x为任意数均成立，则x为某些特殊值时也成立”这一特性取几个特殊值代入，借助于赋值法即可使问题获解。
现举例说明如下：例1、若能被整除，试求的值。
分析：代数式如何才能出现，注意到条件中有，若，则会出现代数式。
解：由能被整除设，当时，上等式变为：，所以，所以注：本题把多项式的除法与代数式求值结合在一起，能被整除，则是的一个因式，当时，，此时，多项式的值为0，有，应当指出：若一个多项式能被整除，则是这个多项式的一个因式，当时，多项式的值为0。
例2、对于任意有理数x、y，定义一种运算，规定，其中的a、b、c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算。
又知道，等式对于任意有理数x均成立，求常数m 的值。
解：根据题意，由，分别取，和代入得解得再根据对于任意有理数与原相同x均成立，设x=0得。
得，因为，所以从而得a=5，c=1，故。
再取，则，所以。
例3、某校研究性学习小组在研究二次函数及其图像性质的问题时发现：抛物线，当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上。
请你协助探讨实数a变化时，抛物线的顶点所在直线解析式。
解：根据题意，可取特殊值a=1，得，其顶点是A（-1，2），再取特殊值，得，其顶点是B（1，4）。
设过这两条抛物线的顶点的直线为有则所求直线解析式为例4、求证无论k取何值，二次函数的图像总过一定点，并求出这个定点。
证明：根据题意可对k先取特殊值，如，再取组成方程组将两解分别代入二次函数解析式验证知：不论k取何值时，点（1，1）都满足二次函数解析式，而点（-2，4）不满足二次函数解析式。
数资解题秒杀技：赋值法
在数量关系中，有些题目中具体数据给的不够，虽然可以通过设多个未知数求解，但是计算复杂会影响解题速度。
因此我们可以通过赋值法来巧妙转化一下，避免设多个未知数，将复杂问题简单化，从而提高解题速度。
赋值法容易学、可操作性强、运用范围广，是行测考试中节省时间的利器，因此大家要认真学习，多加练习。
01适用范围：（1）题干中没有出现具体的值，条件和问题都是以倍数、分数、比例、百分数的形式给出。
（2）在A=B×C这样的三量关系中，题干中至多给出其中一个量的具体值，其他的数据只是用比例关系表示甚至根本没有提到，则常用赋值的方法解决。
02常见题型：工程问题：总量=效率×时间行程问题：路程=速度×时间经济利润问题：总价=单价×数量总利润=单利润×数量浓度问题：溶质=溶液×浓度平均数问题：总数=人数×平均数03具体用法：若题干出现不变量，可考虑对不变量赋值，以连接所有题干条件，从而简化计算；若解题时需要总量，比如工程总量、总路程、总价钱等，可考虑对总量赋值为题干所给部分量的公倍数；若题干给出比例关系，比如效率之比、成本之比、销量之比、速度之比等，常结合比例关系赋值简单数，数字尽可能要便于计算和化简。
04实际应用：例1（2020国考）高架桥12:00~14:00每分钟车流量比9:00~11:00少20%，9:00~11:00、12:00 ~14:00、17:00~19:00三个时间段的平均每分钟车流量比9:00~11:00多1 0%。
问17:00~19:00每分钟的车流量比9:00~11:00多：A. 40%B. 50%C. 20%D. 30%【解析】题干中只有百分数，求的也是百分数，因此可以赋值。
根据“12:00~14:00每分钟车流量比9:00~11:00少20%…三个时间段的平均每分钟车流量比9:00~11:0 0多10%”，赋值9:00~11:00每分钟车流量为10，则12:00~14:00每分钟车流量为10×（1-20%）=8，9：00~11：00、12:00~14:00、17:00~19:00三个时间段的平均每分钟车流量为10×（1+10%）=11，则17:00~19:00每分钟车流量为11×3-10-8=15，(15-10)/10=50%，则17:00~19:00每分钟的车流量比9:0 0~11:00多50%。
赋值法的解题技巧
赋值法的解题技巧一、引言在众多数学解题方法中，赋值法是一种简单且实用的技巧。
它可以帮助学生快速理解题目，找到解题思路，提高解题效率。
本文将详细介绍赋值法的定义、解题步骤、在不同题型的应用以及如何提高赋值法解题能力。
二、赋值法的定义和作用赋值法是指在解题过程中，对题目中的未知量或复杂关系进行等价转换，使之变为易于处理的已知量或简单关系，从而达到简化问题、快速求解的目的。
赋值法的作用在于降低题目的难度，缩短解题时间，提升解题效果。
三、赋值法解题的步骤1.仔细阅读题目，理解题意。
2.分析题目中的已知条件和所求未知量，寻找合适的赋值对象。
3.对赋值对象进行等价转换，使之变为已知量或简单关系。
4.根据转换后的关系，建立方程或不等式，求解未知量。
5.检验解是否符合题意，若符合，则完成解题。
四、赋值法在不同题型的应用1.代数题：如求解方程、不等式、函数问题等，可以通过赋值法简化运算过程。
2.几何题：如求解几何图形的面积、周长、角度等，可以通过赋值法将复杂问题转化为简单问题。
3.应用题：如经济、物理、化学等领域的问题，赋值法可以帮助简化实际问题，快速求解。
五、赋值法的优缺点优点：1.简化了问题，提高了解题效率；2.适用于各种题型，具有较强的通用性；3.易于理解，操作简单。
缺点：1.适用范围有限，不是所有题目都适合使用赋值法；2.对学生的思维能力和赋值法的熟练程度有一定要求。
六、提高赋值法解题能力的建议1.多做练习，熟练掌握赋值法的应用；2.培养自己的观察能力和思维灵活性，善于发现题目中的隐含条件；3.学会灵活运用其他数学方法，如代数法、几何法等，与赋值法相互补充。
七、结语赋值法作为一种实用的解题技巧，在数学学习中具有重要意义。
通过掌握赋值法的定义、步骤和应用，我们可以更好地应对各种题型，提高解题能力。
初中赋值法例题
初中赋值法例题【原创版】目录1.赋值法的概念和作用2.赋值法的具体运用步骤3.赋值法在初中数学题中的实例解析4.运用赋值法的注意事项正文一、赋值法的概念和作用赋值法是一种在解决数学问题时常用的方法，特别是在没有明确解析式的情况下。
它是通过赋予某个量具体的整数值，使得其他量也为整数，从而简化计算过程。
赋值法在初中数学中被广泛应用，可以帮助学生更快地解决问题，提高解题效率。
二、赋值法的具体运用步骤1.仔细阅读题目，理解题意。
2.识别可以用赋值法解决的问题，通常是没有明确解析式的问题。
3.选择一个合适的值进行赋值，如 0、1 等，具体值要根据题目情况而定。
4.将赋值后的结果代入原问题，进行计算和推导。
5.根据已得到的情况推断并证明其他部分的值。
6.将所有部分的值代入原问题，得出最终结果。
三、赋值法在初中数学题中的实例解析例如，解方程 3x + 2y = 10，如果直接求解，可能需要进行复杂的代数运算。
但如果我们采用赋值法，假设 x = 2，则原方程变为 3(2) + 2y = 10，解得 y = 2.5。
这样，我们就得到了一个具体的解。
四、运用赋值法的注意事项1.赋值时要选择合适的值，不能随意赋值，否则可能导致计算错误。
2.在推导过程中，要注意保持等式的平衡，确保每一步都是正确的。
3.赋值法只能得到某一特定值的情况，如果要求解所有可能的解，则需要采用其他方法。
总之，赋值法是一种有效的数学解题方法，在初中数学中被广泛应用。
通过合理地选择值进行赋值，可以简化计算过程，更快地解决问题。
赋值法（点乘双根法）解决圆锥曲线大题
赋值法（点乘双根法）解决圆锥曲线大题这个方法的核心就是二次方程有然后我们就可以对赋值然后得出有关的式子，具体说是这一类式子例如令，可以得到即令得同乘移项化简得到的值那么为什么令？(赋值的方法)首先对比与的关系，调整系数乘得，与对比，得出则可得这与把和打开再带入联立得出的，相比是不是运算量小了很多运用前提:目标式子是对称结构，即全部可以用，表示的式子，而且是相乘的式子即的形式对于非对称结构我在上一篇文章有讲看看这个方法在有关考题的运用题1：(吉林一中等五校2018联考)已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为 (1)求椭圆标准方程(2)是否存在过点的直线与椭圆交于不同两点，且满足，若存在,求出直线的方程；若不存在，请说明理由.(1)(2)考试参考答案：当直线斜率不存在时，，不符合题意当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立与得解得或，因为所以解得满足故存在符合题意的直线，其方程为用赋值法做：当直线斜率不存在时，，不符合题意当直线斜率存在时，设直线的方程为，则联立与得令得即令得化简得则故解得带入满足故存在符合题意的直线，其方程为对比两种方法，明显第二种的运算量要小微信圈子，交易担保，放心买，投稿交流小程序题2：已知是坐标原点，若椭圆的离心率为，右顶点为上顶点为，的面积为 (1)求椭圆方的标准方程(2)已知点，为椭圆上两动点，若，证明：直线恒过定点.解:(1)(2)设 ,则又即整理得联立直线与得令得即令化简得则化简得解得故直线恒过定点看这比用韦达定理的代出来是不是要快题3(2013天津)：设椭圆的左焦点为，离心率为，过点 ,且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为 (1)设分别为椭圆的左右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若 ,求直线的斜率的值.解:(1)(2)由(1)得当斜率不存在时,设 ,则此时，故斜率必存在设则又则化简得联立与得令整理得令整理得故化简得得总结：通过赋值可快速得出这类式子的值可以很好地简化大题的运算，但是赋值不能得出单独的，所以遇到单独的是无法赋值得出的，还是老老实实联立韦达吧，或者因式分解成的形式，这也是这个方法的局限赋值法(点乘双根法)解决圆锥曲线大题。
怎样利用赋值法解题
怎样利用赋值法解题
赋值法是一种利用分步计算方法来求解复杂问题的解法，有着广泛的
应用。
赋值法解题的步骤主要包括：
1、明确问题的解空间，如有变量时，根据给定条件确定其可取值范围；
2、把该问题简化为一系列简单的计算步骤，明确每步要获得的数值；
3、逐步计算，依据之前计算的结果来更新未知量的值，直至最后得
到未知量的解。
赋值法解题在数学科学中有着重要的地位，也是解决复杂问题的有效
方法。
它不仅能有效解决复杂问题，而且能有效控制计算步骤，把复杂的
问题切分成小的计算，从而节省计算时间。
此外，赋值法不仅可以用于解
决多元函数的极值问题，也可以用于解决概率问题，甚至是物理和化学等
其他领域中的问题。
第26讲赋值法
第26讲赋值法第26讲赋值法数统治着宇宙.——毕达哥拉斯知识方法扫描在解数学题时，将问题中的某些元素赋于适当的数值，把问题“数学化”，然后利用这些数值的大小、正负、奇偶及相互之间的运算结果等来进行推理解题的方法叫做赋值法.常见的赋值方式有：对点赋值、对字母赋值、对线段赋值、对小方格赋值、对区域赋值、对方向赋值.电子线路中的开、关；数理逻辑中的是、非……就常用1，0来表示，这其实就是赋值。
赋值法的好处是：将实际问题转化为数学问题的同时，还将抽象的推理转化为具体的计算.染色方法也是一种赋值法，只不过赋的是色不是数而已.凡是能用染色方法来解的题目，一般都可以用赋值法来解，只需将染成某一种颜色换成赋于某一数值就行了.因此，赋值法的适用范围更为广泛.经典例题解析1.染色问题例1在一个圆周上，依次排列n个点：A1，A2，…，An，对每个点任意染上白色或黑色.证明：在连接相邻两点的n条圆弧中，端点颜色不同的圆弧的条数必是偶数.证明我们简称端点颜色不同(相同)的圆弧为异色(同色)圆弧，用数代表颜色，白色记为1，黑色记为-1.任一点Ak (k=1，2，…，n)都唯一地对应一个数a k，ak =1或ak=-1.为同色圆弧当且仅当ak·a1+k=1,显然，为异色圆弧当且仅当ak a1+k=-1.因为(a1a2)·(a2a3)·…·(ana1)=(a1a2…an)2=1，所以a1a2，a2a3，…，an a1这n个数中只能有偶数个-1.即这n条圆弧中必有偶数条异色圆弧. 评注若将题中的圆周从A1，An之间剪开，并将圆周拉成直线，附加条件A1与An异色，则得到如下问题：在直线l上依次排列着n个点A1，A2，…，An，对每个点任意染上白色或黑色，若线段A i A 1+i 的两端异色，就称线段A i A 1+i 为标准线段，又已知A 1与A n 异色，证明：直线l 上共有奇数条标准线段.证法与例1类似.例2 将正方形ABCD 分割成n 2个相等的小方格(n 是正整数)，把相对的顶点A 、C 染成红色，B 、D 染成蓝色，其交点染成红、蓝两色中任一种颜色.证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.分析与解不妨将红色记为1，蓝色记为-1，并将小方格编号，分别记为1，2，…，n 2，记第i 个小方格四个顶点相应数字的乘积为A i ，若恰有三个顶点同色，则A i =-1，否则A i =1.在乘积A 1A 2…A 2n 中，正方形内部的交点各点相应的代表数重复了4次；边上非顶点各点相应的代表数重复了2次；A 、B 、C 、D 四点相应的代表数乘积为1，所以A 1A 2…A 2n =1.这说明A 1，A 2，…，A 2n 中-1的个数必为偶数，也就是恰有三个顶点同色的小方格数必为偶数.评注上述两例都属于“两色分布”问题，这里我们将两种不同的颜色赋于+1，-1，使染色问题转化为对数值正负性的研究.对于例2也可以将红点记为0，蓝点记为1，并记第i 个小方格四个顶点相应数字之和为A (i =1，2，…，n 2).若恰有三个顶点同色，则A i =1或3，否则A i 为偶数，然后从考虑和A 1+A 2+…+A 2n 的奇偶性入手进行论证.例3 在一个圆上给定10个点，把其中6个点染成黑色的，余下的4个点染成白色的，它们把圆周划分为互不包含的弧段.我们规定：两端都是黑色的弧段标上数字2；两端白色的弧段标上数字21；两端异色的弧段标上数字1；把所有这些数字乘在一起，求它们的乘积.解把黑点都标上2，白点都标上21，则每段弧所标数字恰好是它两端的数字的乘积.因此所有这些弧段所标数字的乘积就是所有点所标有的数字乘积的平方，即[(2)6(21)4]2=4.①评注这个解法反映了题目的实质，即乘法满足交换律、结合律.对①中的20个数的乘积128 2 22个个②任意交换顺序，然后依次把两个两个作括号先结合，便对应着弧段上的一种染色方法.反过来，圆弧上的一种染色方法，也对应着②中的一次交换、结合过程.正因为解法反映了题目的本质，它不仅优美，而且推广立即成为可能：当黑点为m 个，白点为n 个时，答案为2n m -.2.棋盘问题例4 将8×8方格纸板的一角剪去一个2×2的正方形.问余下的60个方格能否剪成15块形如“”的小纸片？解将8×8方格纸板余下的60个小方格分别标上+1或-1(如图所示)，则任一符合要求的“四连格”中的数字之和，或者为2，或者为-2.假定这60个小方格能剪成15块符合要求的“四连格”，设其中数字之和为2的有x 块，数字之和为-2的有y 块，则=-=+.022,15y x y x 解之得==.215,215y x x 、y 不是整数，矛盾.因此，题中所给的60个小方格不可能剪成15块“四连格”小纸片.例5 如图是半张象棋盘.(1)一只马跳了n 步回到起点，证明：n 是偶数；(2)一只马能否跳遍这半张棋盘，每格都不重复，最后一步跳回起点？(3)证明：一只马不可能从位置B 出发，跳遍半张棋盘而每个格点只经过一次(不要求最后跳回起点)；(4)一只车从位置A 出发，在这半张棋盘上每步走一格，走了若干步后到了位置B ，证明：至多有一个格点没有被走过，或被走过不止一次.解在棋盘上打“×”号的格点记为+1，打“○”号的格点记为-1.(1)根据马的跳法，它每跳一步其符号改变一次，跳了n 步，符号改变了n 次.而它最后又回到了最初出发的地方，也就是经过n 次改变以后，其符号还与当初一样.显然，n 是偶数.(2)不可能.图中共有45个格点，马要想跳遍这半张棋盘，它要跳45次.这与结论(1)矛盾，由此得证.(3)图中有22个“×”，23个“○”，即有22个+1，有23个-1，所有这些数的和为-1，马是从B 处出发的，即从+1出发，以后反复经过-1和+1，不管它跳多少步，它所经过的这些数的和要么是0(跳奇数步)，要么是+1(跳偶数步)，而不可能是-1，即马不可能无重复地跳遍这半张棋盘.(4)车是从-1出发，反复经过+1，-1，…，然后走向+1，所以它所走过的数之和为0，而我们已指出过，这半张棋盘上所有数之和为-1，故这只车实际上没有走遍这半张棋盘，或者某些格点走过了不止一次.3.操作问题例6 图中，表甲是一个英文字母电子显示盘；每一次操作可以使某一行4个字母同时改变，或者使某一列4个字母同时改变.改变的规则是，按照英文字母表的顺序，每个英文字母变成下一个字母(即A 变成B ，B 变成C，……，最后的字母Z变成A)，问能否经过若干次操作，使表甲变为表乙？如果能，写出变化过程，如果不能，说明理由.SOBR KBDS 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1TZFD HEXG-1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1HOCN RTBS-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1ADVX CFYA 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1(甲) (乙) (丙) (丁)解不能.对26个英文字母，按字母表顺序，依次1，-1相间地标数，于是表甲与表乙分别变为表丙、表丁.据题意，对表甲的一次操作，相当于对表丙的如下一次操作：某行或某列各数都乘-1，故每经一次操作表丙中各数之积-1不变.但表丁中各数之积为1，故经若干次操作不能使表丙变为表丁.于是相应地表甲经上述若干次操作不能变为表乙.评注也可对26个英文字母，依次以1，0相间地标数，则对表甲每次操作，相当于标数后的表中1变0，0变1.由于每行(列)中有4个数同时改变奇偶性，因此每操作一次各数之和的奇偶性保持不变，利用和的奇偶性即可得证.例7桌面上有p(p＞100)个杯子，杯口全部向上.按如下规则对杯子进行操作：第1次任意翻动其中1个杯子，第2次任意翻动其中2个杯子，……，第n 次任意翻动其中n(n≤P)个杯子.每次操作都是把杯口的方向由原来的向上(或向下)改为向下(或向上)，求证：翻动100次以后，杯口向下的杯子必有偶数个.证明给杯口向上的杯子赋值+1，杯口向下的杯子赋值-1.则操作前各杯子的数值之积为a0=1.设第n次操作后各杯子的数值之积为an，依题意，如果有a100=1，则命题必成立.因为翻动一个杯子，相当于将该杯子的数值乘以-1，故an =(-1)n·a1-n(n≥1).由此得：a1=(－1)·a，a2=(－1)2·a1，a3=(－1)3·a2，…，a100=(－1)100·a99.将以上各式相乘，并约去公因式，即得a100=a·(－1)10021+++=1×(－1)5050=1.故命题获证.4.推理问题例8A、B、C、D、E五人参加一次考试，试题有7道，都是判断题.评分规则是：对于每道题，答对了得1分，答错了倒扣1分，不回答的不得分也不扣分，表中记录的是A、B、C、D、E五个人做的答案.现已知A、B、C、D各得了2分，问E应得多少分？每个题目正确的答案是什么？解设x k =-.,1;,1题结论错误如果第题结论正确如果第k k (k =1，2，…，7)，这样当第k 题结论正确，即x k =1，此时，如果判断其为正确(即画了符号“√”)，则得到x k 分，如果判断其为错误(即画了符号“×”)，则得到-x k 分；当第k 题结论错误，即x k =-1，此时，如果判断其为正确，则得x k 分，如果判断为错误，则得到-x k 分，由于A 、B 、C 、D 各得2分，于是可得方程组=++++---=+-+--+=+--++-=++-+-+.2·0,2·0,2·0,2·07654321765432176543217654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 把这四个方程相加，得x 1－x 2－2x 3+2x 4－x 6+x 7=8，注意到x i =±1(i =1，2，…，7)，因而上式左边≤8，而右边是8，故有x 1=1，x 2=-1，x 3=-1，x 4=1，x 6=-1，x 7=1，再把这些结果代入方程组的第1式，得x 5=1.所以第一、四、五、七题是正确的，第二、三、六题是错误的，于是据题设可知E 得4分.从以上各例可以看出，将某研究对象标以一个数，其实质仅是给这个研究对象标上一个记号而已.只要便于辨识、分析、运算、推理，达到解题的目的，至于标以什么样的数，往往没有定规，宜灵活选择.譬如，对于具有不同或相反性态的两个研究对象，往往既可标以±1，也可标以0、1，还可标以1、2等最简单的数.对于例5来说，棋盘上打“×”号的格点记为1，打“○”号的标点记为2，照样可以证明，这里不予赘述了.同步训练1. 某班学生(人数大于2)围成一圈席地而坐，并且按照以下规则戴上红帽或蓝帽：如果一个学生的两旁都是男生或都是女生，这个学生就戴红帽；否则就戴蓝帽.求证：戴蓝帽的学生数目必为偶数.2. 男女生若干人围坐一圆桌，相邻为同性者中间插一红花，异性者中间插一蓝花.如果所插红花与蓝花朵数一样，则男女总人数必是4的整数倍.3. 已知△ABC内有n个点(无三点共线)，连同A、B、C共n+3个点，以这些点为顶点，把△ABC分割为若干个互不重叠的小三角形，现把A、B、C分别染成红色、蓝色、黄色，而其余n个点，每点任意染上红、蓝、黄三色之一，证明：三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数.4. 在(2m+1)×(2n-1)的方格纸上，每个方格内有一只蚂蚁，假设在某一时刻所有的蚂蚁都爬到相邻(横向或纵向)的方格里去，证明：这时一定出现一个没有蚂蚁的方格.5. 能否用9块形如的小纸片及7块形如的小纸片盖满8×8的棋盘？为什么？6. 13只茶杯，开始时杯口全朝上，每次翻动其中的4只算一次翻转，能否经过有限次翻转把茶杯全翻成杯口朝下？为什么？7. 如图甲所示，a、b、c、d、e、f、g七个正六边形分别被涂上了黑、白两种颜色.然后对图甲的着色作这样的修改：每次修改都可以随意挑出一个正六边形，将它以及所有同它相邻的正六边形都改变颜色(即黑变白，白变黑).试问，对图甲进行有限步这样的修改之后，能否得到图乙所示的涂色方式？8. 某校大队部组织少先队员做游戏，首先任选8位同学(男生、女生都有)围坐在一个圆周上，然后对这8位同学作如下调整：如果某同学的左、右两个的性别相同，就将该同学换为男生(若原为男生，则另换一名男生)，否则就将该同学换为女生(若原为女生，则另换一名女生).求证：经过有限次调整之后，圆周上的8位同学都将变成男生.9. 在圆周上均匀地放4枚围棋子，规定操作规则如下：原来相邻棋子若同色，就在其间放一枚黑子；若异色，就在其间放一枚白子，然后把原来的4枚棋子取走，完成这一程序，就算一次操作.证明：无论开始时圆周上的黑白棋子的排列顺序如何，最多只须操作4次，圆周上就全是黑子了.10. 在一张8×8的方格表中，任意把其中32个方格涂上黑色，其余的32个方格涂上白色.然后对涂上颜色的方格进行操作.每次操作都是把方格表的任意一条横行(或竖列)中的8个方格都改变颜色(即黑变白，白变黑).问通过有限次操作后，能否使方格表中恰好只剩下一个黑色方格？11. 设A、B、C、D、E五人参加一场考试，试题是十道判断题，判断正确得1分，判断错误反扣1分，不答不得分，再设五个人的答案如下表所示：已知A 、B 、C 、D 、E 的得分分别是5、-1、3、0、4，问：正确的答案是什么？12. 圆周上有101024100?个点，依次编号为101024100,,3,2,1? ，按下列规则涂色，（1）先将1号涂色；（2）若上次涂色点编号为n 号，那么沿编号方向数n 个点并将最后数到的那个点涂色。
赋值法在解决几类问题中的应用_仵锋
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（2）又满足（f x0）=x0的实数x0唯一，由（f （f x）- x2+x）=f （x）- x2+x可知，对任意x∈R有（f x）- x2+x=x0.在上式中令 x=x0有（f x0）- x02+x0=x0.再代（f x0）=x0得x0- x02=0，故x0=0或 x0=1.
若x0=0，方程（f x）=x有两个根，故x0≠0.若x0=1则有f （x）=x2- x+1，易验证该函数满足题设.
【学法指导】
赋值法在解决几类问题中的应用
仵锋 （河南省镇平县教师进修学校，河南 镇平 474250）
摘要：赋值法是数学中的一种重要方法，给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值， 从而达到便于解决问题的目的.实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，它在数学问题中的应用非常 广泛。本文选取数学中的几个典型例题加以说明，仅供参考。
（1）若（f 2）=3，求（f 1）；又若（f 0）=a，求（f a）；
（2）设有且仅有一个实数x0，使得（f x0）=x0，求函数f （x）的解析表达式.
解：（1） 取x=2，又f（2）=3得f（f（2）- 22+2）=（f 2） ห้องสมุดไป่ตู้ 22+2，即（f 1）=1.又（f 0）=a，故（f （f 0）- 02+0）=a- 02+0，即f （a）=a.
关键词：赋值法；数学问题；应用
在解数学题时，赋值法解题的关键是灵活运用题
设条件合理赋值，赋值要有明确的目标、依据和灵活的 策略。下面介绍它在解答几类问题中的应用。
赋值法在解函数问题中的妙用
ʏ孙鹏瑛1 杜红全2在解答函数问题时,可根据题设条件及所给函数的有关性质,将变量赋予某些特殊值,并进行恰当的运算和代换,从而使问题解决的方法称为赋值法㊂下面举例说明赋值法在解函数问题中的常见妙用,供大家参考㊂一㊁妙用赋值法求函数的值例1 定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2x y (x ,y ɪR ),f (1)=2,则f (-3)等于( )㊂A.2 B .3 C .6 D .9解:令x =y =0,可得f (0)=f (0)+f (0)+0,即f (0)=0㊂令x =y =1,可得f (2)=f (1)+f (1)+2=6㊂令x =2,y =1,可得f (3)=f (2)+f (1)+4=12㊂令x =3,y =-3,可得f (0)=f (3)+f (-3)-18=0,解得f (-3)=6㊂应选C㊂本题主要考查抽象函数的有关运算和性质,解题的关键是利用赋值法求出f (0),f (2),f (3)的值㊂二㊁妙用赋值法求参数的值例2 若函数f (x )=x(2x +1)(x -a )为奇函数,则a =㊂解:由f (x )=x (2x +1)(x -a )为奇函数,令x =-1,可得f (-1)=-f (1),所以-1(-2+1)(-1-a )=-1(2+1)(1-a ),所以a +1=3(1-a ),解得a =12㊂本题主要考查函数的奇偶性的灵活应用㊂三㊁妙用赋值法求函数的解析式例3 对于一切实数x ,y ,关系式f (x +2y )=f (x )+(x +2y -1)y 都成立,且f (0)=-1,求f (x )的解析式㊂解:令x =0,可得f (2y )=f (0)+(0+2y -1)y =-1+2y 2-y ㊂令x =2y ,可得y =x2㊂据此代入得函数f (x )=-1+2x2()2-x 2=x 22-x2-1㊂变量取特殊值时,既要达到减少未知元的目的,还要便于利用已知条件求解㊂四㊁妙用赋值法比较大小例4 定义在区间(-ɕ,+ɕ)上的奇函数f (x )为增函数,偶函数g (x )在区间[0,+ɕ)上的图像与f (x )的图像重合㊂设a >b >0,给出下列四个不等式:①f (b )-f (-a )>g (a )-g (-b ),②f (b )-f (-a )<g (a )-g (-b ),③f (a )-f (-b )>g (b )-g (-a ),④f (a )-f (-b )<g (b )-g (-a )㊂其中成立的是( )㊂A.①与④ B .②与③C .①与③D .②与④解:依据题意可设f (x )=x ,g (x )=|x |㊂设a =2,b =1,可得f (a )=a ,g (a )=|a |,f (b )=b ,g (b )=|b |㊂因为f (a )-f (-b )=f (2)-f (-1)=2+1=3,g (b )-g (-a )=g (1)-g (-2)=1-2=-1,所以f (a )-f (-b )>g (b )-g (-a ),即③成立㊂因为f (b )-f (-a )=f (1)-f (-2)=1+2=3,g (a )-g (-b )=g (2)-g (-1)=2-1=1,所以f (b )-f (-a )>g (a )-g (-b ),即①成立㊂应选C㊂赋值法解某些选择题有快速简捷㊁化繁为简的功效,同学们在学习中要深刻体会㊂五㊁妙用赋值法解不等式例5 已知f (x )是定义在(0,+ɕ)上的增函数,且fx y ()=f (x )-f (y ),f (2)=8知识结构与拓展 高一数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1,解不等式f (x )-f 1x -3()ɤ2㊂解:因为fx y ()=f (x )-f (y ),所以f (y )+f x y()=f (x )㊂令x =4,y =2,可得f (2)+f (2)=f (4)㊂因为f (2)=1,所以f (4)=2㊂f (x )-f 1x -3()ɤ2可变形为f (x )-f1x -3()ɤf (4)㊂由f x y()=f (x )-f (y ),可得f (x )-f (y )=f x y(),所以f (x )-f 1x -3()=f [x (x -3)],所以f [x (x -3)]ɤf (4)㊂又f (x )是定义在(0,+ɕ)上的增函数,所以x (x -3)ɤ4,x >0,x -3>0,ìîíïïï解得3<x ɤ4,即所求解集为{x |3<x ɤ4}㊂解题时,利用函数的单调性去掉函数符号 f,使抽象的不等式问题转化为具体的不等式,其中利用赋值法求出f (4)=2是关键㊂六㊁妙用赋值法证明函数的单调性例6 设f (x )是定义在R 的函数,且对任意实数x ,y 都有f (x +y )=f (x )+f (y )㊂当x >0时,f (x )>0,证明f (x )在R 上是增函数㊂证明:令x =y =0,则f (0)=0㊂令y =-x ,则f (0)=f (x )+f (-x )㊂因为f (0)=0,所以f (-x )=-f (x )㊂设任意x 1,x 2ɪR ,且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,所以f (x 2)-f (x 1)=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2-x 1)㊂因为当x >0时,f (x )>0,所以f (x 2-x 1)>0,所以f (x 2)>f (x 1)㊂故f (x )在R 上是增函数㊂证明抽象函数的单调性,需要适当赋值,按照函数单调性的定义进行证明㊂七㊁妙用赋值法判断函数的奇偶性例7 设f (x )是定义在R 的函数,若对任意x ,y ɪR ,都有f (x +y )+f (x -y )=2f (x )㊃f (y ),且f (0)ʂ0,试判断f (x )的奇偶性㊂解:令x =y =0,则f (0)+f (0)=2f (0)㊃f (0),即2f (0)=2f (0)㊃f (0)㊂因为f (0)ʂ0,所以f (0)=1㊂令x =0,则f (y )+f (-y )=2f (y ),所以f (-y )=f (y ),所以f (-x )=f (x )㊂故f (x )为偶函数㊂判断抽象函数的奇偶性,赋值法是解决问题的关键㊂常用f (0),f (ʃ1)来研究函数f (x )的性质㊂八㊁妙用赋值法证明函数的周期性例8 已知函数y =f (x )的定义域关于原点对称,且满足以下两个条件:①若x 1,x 2是定义域内的值时,有f (x 1-x 2)=f (x 1)f (x 2)+1f (x 2)-f (x 1);②f (a )=1(常数a >0)㊂求证:函数y =f (x )是周期函数㊂证明:令x =x 1-x 2,则-x =x 2-x 1,故f (-x )=f (x 2-x 1)=f (x 1)f (x 2)+1f (x 1)-f (x 2)=-f (x 1-x 2)=-f (x ),所以函数y =f (x )是奇函数,即f (-x )=-f (x )㊂又因为f (a )=1,所以f (-a )=-f (a )=-1㊂再令x 1=x ,x 2=-a ,因此f (x +a )=f (x )f (-a )+1f (-a )-f (x )=f (x )-1f (x )+1,则f (x +2a )=f (x +a )-1f (x +a )+1=-1f (x ),所以f (x +4a )=-1f (x +2a )=f (x ),即f (x +4a )=f (x )㊂故y =f (x )是周期T =4a 的周期函数㊂求解本题的关键是利用赋值法对已知式进行变形㊂说明:本文系甘肃省陇南市2021年度教育科学研究立项课题 高中生数学解题失败的成因及纠正的策略研究以甘肃省陇南市康县第一中学学生为研究个案 (课题批准号:L N [2021]141)的研究成果㊂作者单位:1.甘肃省康县第一中学 2.甘肃省康县教育局教研室(责任编辑 郭正华)9知识结构与拓展高一数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
赋值法的解题技巧
赋值法的解题技巧赋值法是一种在解决问题时常用的方法，它通过将未知量用字母表示，并逐步推导出各个未知量之间的关系，从而解决问题。
通过使用赋值法，我们能够解决许多数学、物理和工程等领域的问题。
本文将探讨一些常见的赋值法解题技巧。
一、确定未知量在运用赋值法解题时，首先要明确问题中的未知量，并用一个字母来表示。
例如，假设有一个速度问题，我们可以用v来表示速度。
而对于涉及到多个未知量的问题，可以使用不同的字母来表示每个未知量，如v、a、t等分别表示速度、加速度和时间。
二、建立方程有了未知量的表示，接下来需要建立方程来描述问题。
方程是用于表示各个未知量之间关系的数学等式。
在建立方程时，需要根据问题中的条件和已知信息来确定方程的形式。
例如，当涉及到速度、时间和距离时，我们可以使用公式v = s/t来建立方程，其中v表示速度，s 表示距离，t表示时间。
三、解决方程建立方程后，我们需要解决方程以求解未知量。
这一步通常需要运用代数运算的规则来推导和简化方程。
我们可以使用移项、合并同类项、分式化简等方法，将方程转化为更简单的形式。
不断推导和简化方程，直到得到未知量的具体数值或者与其他已知量之间的关系。
四、检验和解释在得到未知量的数值后，我们需要用这些数值来检验和解释方程是否符合实际情况。
通过将求解得到的数值代入原始方程中，我们可以确认方程的准确性。
此外，还可以将方程与问题的其他条件进行比较，进一步解释和验证方程的正确性。
总结起来，赋值法是一种解题的有效方法，它帮助我们通过建立方程和推导求解，解决了许多实际问题。
在运用赋值法时，需要明确未知量、建立方程、解决方程，并进行检验和解释。
只有熟练掌握这些解题技巧，我们才能更好地运用赋值法解决实际问题。
通过学习和实践，我们可以不断提升赋值法的运用能力，并将其应用到更广泛的问题领域中。
无论是数学、物理、工程还是其他领域中的问题，赋值法都能够提供一种可靠的解题方法。
希望本文所提供的赋值法解题技巧对您有所帮助，并能在解决问题时发挥出更大的作用。
高中数学赋值法解决二项式展开系数和问题
高中数学赋值法解决二项式展开系数和问题
赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解
决问题的目的。
实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别
是在二项式定理中的应用尤为明显。
二项式定理在高考中一般以小题形式出现，分值为5分，常考
的题型为求二项式某一项的系数或者系数和的问题。
今天我们主要讲下怎么利用赋值法求二项展
开式系数和的问题。
一
基础知识
1. 含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。
所以通常可对变
量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质
2. 二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项
式系数）的等式
3. 常用赋值举例：
二
典型例题
三
变式训练
四
总结。
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赋值法的解题功能
浙江省奉化中学孙伟奇 315500
所谓赋值，就是给命题中某些字母（或量）赋上一定的数值，这样做，常可以打通解题思路、简化某些解题过程，收到以简驭繁、化难为易的效果．本文就赋值法的解题功能谈谈自己的管见．
１、探路功能
对变量赋以某些满足命题条件的特殊值，常能有效地打通解题思路．
例1、求1，2，3，……， EMBED Equation.3 中所以数字之和．
分析：取 EMBED Equation.3 ，易求出数字和为
EMBED Equation.3 ，其特点是“数字和”通过“数值和”而求得．
再取 EMBED Equation.3 ，即求1，2，3，……，99中所有的数字的和，依照上述“数值和”的配对方法：1+99=100，2+98=100，…，不能得出数字和：1+9+9=19，2+9+8=19，…，究其原因，是配对中的进位干扰，造成了数字和的失真，若能找到一个不进位的的配对，如1+98=99，则两边的数字和与数值和就完全统一起来了．
据此，我们设 EMBED Equation.3 中的所有数字和为 EMBED Equation.3 则EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
解： EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
２、筛选功能
这里的筛选包括“筛”和“选”两种形式。
“筛”就是把一些特殊的不满足条件的元素筛除，“选”就是把一些特殊的满足条件元素选出。
例2、对于每一对实数 EMBED Equation.3 函数 EMBED Equation.3 满足 EMBED Equation.3 ，若 EMBED Equation.3 则满足 EMBED Equation.3 的整数EMBED Equation.3 有多少对？
解：将 EMBED Equation.3 代入已知式可得： EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ……①
（1）用 EMBED Equation.3 连续代入①可知 EMBED Equation.3 为正整数时EMBED Equation.3 ，对于正整数 EMBED Equation.3 有 EMBED Equation.3 ，从而可知 EMBED Equation.3 无大于1的整数解，又 EMBED Equation.3 ……②，得 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ，现有 EMBED Equation.3 ，以及对 EMBED Equation.3 有EMBED Equation.3 ，这样对 EMBED Equation.3 有 EMBED Equation.3 无小于 EMBED Equation.3 的整数解，由此得满足 EMBED Equation.3 的整数 EMBED Equation.3 有2个。
以上对 EMBED Equation.3 所进行的赋值，不仅起到了“筛”的作用，也发挥了“选”的功能。
３、转化功能
大家熟知的多项式的因式分解，是一种带有较强技巧性的数学问题，对于一些次数较高或元数较多的多项式因式分解，解答就更加困难，而利用赋值法可把式中的字母用数字代换，这
样因式分解的问题就可以转化为质因数的分解问题，从而“化难为易”．
例3、因式分解 EMBED Equation.3
解：用10代 EMBED E
quation.3 将924分解质因数：
EMBED Equation.3 考虑到常数项是 EMBED Equation.3 进行适当组合：
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
４、构造功能
通过赋值构造一些等式也是赋值法的一个常用的解题功能
例4、因式分解 EMBED Equation.3
解：设原式可以分解为 EMBED Equation.3 ,
令 EMBED Equation.3 则上式变为 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
所以， EMBED Equation.3 ,可得
EMBED Equation.3 .
经检验知，原式＝ EMBED Equation.3
例5、（2001年高中数学联赛试题）若 EMBED Equation.3 的展开式为
EMBED Equation.3 的值．
解：令 EMBED Equation.3
令 EMBED Equation.3 则 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
以上三式相加得：
本题利用赋值法．首先，令，其次，又令．构造出三个等式，然后通过叠加，巧妙的得出了结果．
5、模式识别功能
我们知道解题中生发思路的过程，就其实质而言是模式识别与模式构造的过程，而恰到好处的赋值有时可以帮助我们将待解决的陌生问题转化，归结为一个我们比较熟悉的问题．
例5、在线段AB的两个端点处，一个标以红色，一个标以蓝色，在线段中间插入 EMBED Equation.3 个分点，在各个分点上随意地标上红色或者蓝色，这样就把原来的线段分成为 EMBED Equation.3 段不重合的线段，这些小线段的两端颜色不同叫做标准线段．试证：标准线段的个数是奇数．
证明：这是一道可用数学归纳法证明的问题，其思路和证明过程是较复杂的．现先把这些涂色的点赋值，比如红色赋上 EMBED Equation.3 ，再把这些赋了值的点在图上标出，然后把相邻点间连以线段，组成折线，这些标准线段都穿过线段AB，而非标准线段则不然．（如图）因A、B异色，它们分别赋以 EMBED Equation.3 ,这样折线穿过线段AB的次数应为奇数，些即说标准线段的条数为奇数．
例6、男女若干人围坐一圆桌，若相邻为同性者中间插一红花，异性者中间插一蓝花，若所
插红花与蓝花朵数一样，则男女总人数必是4的整数倍．
证明：我们把男人女人分别用 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 表示，这
样 EMBED Equation.3 或 EMBED Equation.3 时插红花， EMBED Equation.3 或 EMBED Equation.3 时插蓝花，即：两“数”积为“ EMBED Equation.3 时插
红花，为“ EMBED Equation.3 ”时插蓝花，这样问题化为：
EMBED Equation.3 是一种排列，它们均为EMBED Equation.3 或EMBED Equation.3 ，若 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 必为4的倍数．
由上题的结论知，在点 EMBED Equation.3
之间的标准线段个数人偶数( EMBED Equation.3 ),即在EMBED Equation.3 中 EMBED Equation.3 的个数是偶数个，不妨记为 EMBED Equation.3 又这些和为0，故其中 EMBED Equation.3 的个数亦为 EMBED Equation.3 ，故 EMBED Equation.3 共有 EMBED Equation.3 和( EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 ，从而证明了命题．
6、批判功能
对于一些些问题解答，赋于一些特殊值可检验答案是否正确，如果发现不对，可引导我们去
追寻解答的错误之所在．
例6、求函数 EMBED Equation.3 的最小正周期．
分析：很多学生是这样求解的： EMBED Equation.3
上述过程从表面上看，似乎没有有问题，但如果给予 EMBED Equation.3 赋以特殊值，
即令 EMBED Equation.3 时，对题目中的 EMBED Equation.3 如果周期是 EMBED Equation.3 ，那么应有 EMBED Equation.3 无意义，可知解答是错误的．错误的
原因是变形扩大了原来函数的定义域，从而影响其周期．
解：考虑到原函数的定义域，应有如下变形：EMBED Equation.3 且EMBED Equation.3 ．
注意到 EMBED Equation.3 的周期为 EMBED Equation.3 ，…，但由于 EMBED Equation.3 有意义，而 EMBED Equation.3 不在 EMBED Equation.3 的定义
域内故 EMBED Equation.3 因此 EMBED Equation.3 不是 EMBED Equation.3 的周期，从而函数 EMBED Equation.3 的最小正周期是 EMBED Equation.3
由上可知，赋值法解题是一种神奇的好方法．它能起到打通思路，简化解题的作用．在教学
中若能经常指导学生熟悉并能运用它，对提高学生的数学解题能力，拓宽知识面都是有益的．PAGE
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